高一物理勻速圓周運(yùn)動(dòng)專題

1、勻速圓周運(yùn)動(dòng)專題從現(xiàn)行高中知識(shí)體系來(lái)看，勻速圓周運(yùn)動(dòng)上承牛頓運(yùn)動(dòng)定律，下接萬(wàn)有引力，因此在高一物理中占據(jù)極其重要的地位，同時(shí)學(xué)好這一章還將為高二的帶電粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)及高三復(fù)習(xí)中解決圓周運(yùn)動(dòng)的綜合問(wèn)題打下良好的基礎(chǔ)。（一）基礎(chǔ)知識(shí)1. 勻速圓周運(yùn)動(dòng)的基本概念和公式（1）線速度大小，方向沿圓周的切線方向，時(shí)刻變化；（2）角速度，恒定不變量；（3）周期與頻率；（4）向心力，總指向圓心，時(shí)刻變化，向心加速度，方向與向心力相同；（5）線速度與角速度的關(guān)系為，、的關(guān)系為。所以在、中若一個(gè)量確定，其余兩個(gè)量也就確定了，而還和有關(guān)。2. 質(zhì)點(diǎn)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的條件（1）具有一定的速度；（2）受到的合力（向心

2、力）大小不變且方向始終與速度方向垂直。合力（向心力）與速度始終在一個(gè)確定不變的平面內(nèi)且一定指向圓心。3. 向心力有關(guān)說(shuō)明向心力是一種效果力。任何一個(gè)力或者幾個(gè)力的合力，或者某一個(gè)力的某個(gè)分力，只要其效果是使物體做圓周運(yùn)動(dòng)的，都可以認(rèn)為是向心力。做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的物體，向心力就是物體所受的合力，總是指向圓心；做變速圓周運(yùn)動(dòng)的物體，向心力只是物體所受合外力在沿著半徑方向上的一個(gè)分力，合外力的另一個(gè)分力沿著圓周的切線，使速度大小改變，所以向心力不一定是物體所受的合外力。（二）解決圓周運(yùn)動(dòng)問(wèn)題的步驟1. 確定研究對(duì)象；2. 確定圓心、半徑、向心加速度方向；3. 進(jìn)行受力分析，將各力分解到沿半徑方向和垂直

3、于半徑方向；4. 根據(jù)向心力公式，列牛頓第二定律方程求解?；疽?guī)律：徑向合外力提供向心力（三）常見(jiàn)問(wèn)題及處理要點(diǎn)1. 皮帶傳動(dòng)問(wèn)題例1：如圖1所示，為一皮帶傳動(dòng)裝置，右輪的半徑為r，a是它邊緣上的一點(diǎn)，左側(cè)是一輪軸，大輪的半徑為4r，小輪的半徑為2r，b點(diǎn)在小輪上，到小輪中心的距離為r，c點(diǎn)和d點(diǎn)分別位于小輪和大輪的邊緣上，若在傳動(dòng)過(guò)程中，皮帶不打滑，則（ ）A. a點(diǎn)與b點(diǎn)的線速度大小相等B. a點(diǎn)與b點(diǎn)的角速度大小相等C. a點(diǎn)與c點(diǎn)的線速度大小相等D. a點(diǎn)與d點(diǎn)的向心加速度大小相等圖1解析：皮帶不打滑，故a、c兩點(diǎn)線速度相等，選C；c點(diǎn)、b點(diǎn)在同一輪軸上角速度相等，半徑不同，由，b點(diǎn)與

4、c點(diǎn)線速度不相等，故a與b線速度不等，A錯(cuò)；同樣可判定a與c角速度不同，即a與b角速度不同，B錯(cuò)；設(shè)a點(diǎn)的線速度為，則a點(diǎn)向心加速度，由，所以，故，D正確。本題正確答案C、D。點(diǎn)評(píng)：處理皮帶問(wèn)題的要點(diǎn)為：皮帶（鏈條）上各點(diǎn)以及兩輪邊緣上各點(diǎn)的線速度大小相等，同一輪上各點(diǎn)的角速度相同。2. 水平面內(nèi)的圓周運(yùn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤(pán)：物體在轉(zhuǎn)盤(pán)上隨轉(zhuǎn)盤(pán)一起做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，物體與轉(zhuǎn)盤(pán)間分無(wú)繩和有繩兩種情況。無(wú)繩時(shí)由靜摩擦力提供向心力；有繩要考慮臨界條件。例1：如圖2所示，水平轉(zhuǎn)盤(pán)上放有質(zhì)量為m的物體，當(dāng)物塊到轉(zhuǎn)軸的距離為r時(shí)，連接物塊和轉(zhuǎn)軸的繩剛好被拉直（繩上張力為零）。物體和轉(zhuǎn)盤(pán)間的最大靜摩擦力是其正壓力的倍。求：

5、（1）當(dāng)轉(zhuǎn)盤(pán)的角速度時(shí)，細(xì)繩的拉力。（2）當(dāng)轉(zhuǎn)盤(pán)的角速度時(shí)，細(xì)繩的拉力。圖2解析：設(shè)轉(zhuǎn)動(dòng)過(guò)程中物體與盤(pán)間恰好達(dá)到最大靜摩擦力時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度為，則，解得（1）因?yàn)?，所以物體所需向心力小于物與盤(pán)間的最大摩擦力，則物與盤(pán)產(chǎn)生的摩擦力還未達(dá)到最大靜摩擦力，細(xì)繩的拉力仍為0，即。（2）因?yàn)?，所以物體所需向心力大于物與盤(pán)間的最大靜摩擦力，則細(xì)繩將對(duì)物體施加拉力，由牛頓第二定律得，解得。點(diǎn)評(píng)：當(dāng)轉(zhuǎn)盤(pán)轉(zhuǎn)動(dòng)角速度時(shí)，物體有繩相連和無(wú)繩連接是一樣的，此時(shí)物體做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力是由物體與圓臺(tái)間的靜摩擦力提供的，求出。可見(jiàn)，是物體相對(duì)圓臺(tái)運(yùn)動(dòng)的臨界值，這個(gè)最大角速度與物體的質(zhì)量無(wú)關(guān)，僅取決于和r。這一結(jié)論同樣適用于汽

6、車(chē)在平路上轉(zhuǎn)彎。圓錐擺：圓錐擺是運(yùn)動(dòng)軌跡在水平面內(nèi)的一種典型的勻速圓周運(yùn)動(dòng)。其特點(diǎn)是由物體所受的重力與彈力的合力充當(dāng)向心力，向心力的方向水平。也可以說(shuō)是其中彈力的水平分力提供向心力（彈力的豎直分力和重力互為平衡力）。例2：小球在半徑為R的光滑半球內(nèi)做水平面內(nèi)的勻速圓周運(yùn)動(dòng)，試分析圖3中的（小球與半球球心連線跟豎直方向的夾角）與線速度v、周期T的關(guān)系。（小球的半徑遠(yuǎn)小于R）。圖3解析：小球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的圓心在和小球等高的水平面上（不在半球的球心），向心力F是重力G和支持力的合力，所以重力和支持力的合力方向必然水平。如圖3所示有由此可得，可見(jiàn)，越大（即軌跡所在平面越高），v越大，T越小。點(diǎn)評(píng)：本

7、題的分析方法和結(jié)論同樣適用于火車(chē)轉(zhuǎn)彎、飛機(jī)在水平面內(nèi)做勻速圓周飛行等在水平面內(nèi)的勻速圓周運(yùn)動(dòng)的問(wèn)題。共同點(diǎn)是由重力和彈力的合力提供向心力，向心力方向水平。3. 豎直面內(nèi)的圓周運(yùn)動(dòng)豎直面內(nèi)圓周運(yùn)動(dòng)最高點(diǎn)處的受力特點(diǎn)及題型分類（圖4）。圖4這類問(wèn)題的特點(diǎn)是：由于機(jī)械能守恒，物體做圓周運(yùn)動(dòng)的速率時(shí)刻在改變，所以物體在最高點(diǎn)處的速率最小，在最低點(diǎn)處的速率最大。物體在最低點(diǎn)處向心力向上，而重力向下，所以彈力必然向上且大于重力；而在最高點(diǎn)處，向心力向下，重力也向下，所以彈力的方向就不能確定了，要分三種情況進(jìn)行討論。（1）彈力只可能向下，如繩拉球。這種情況下有，即，否則不能通過(guò)最高點(diǎn)；（2）彈力只可能向上，

8、如車(chē)過(guò)橋。在這種情況下有，否則車(chē)將離開(kāi)橋面，做平拋運(yùn)動(dòng)；（3）彈力既可能向上又可能向下，如管內(nèi)轉(zhuǎn)（或桿連球、環(huán)穿珠）。這種情況下，速度大小v可以取任意值。但可以進(jìn)一步討論：a. 當(dāng)時(shí)物體受到的彈力必然是向下的；當(dāng)時(shí)物體受到的彈力必然是向上的；當(dāng)時(shí)物體受到的彈力恰好為零。b. 當(dāng)彈力大小時(shí)，向心力有兩解；當(dāng)彈力大小時(shí)，向心力只有一解；當(dāng)彈力時(shí)，向心力等于零，這也是物體恰能過(guò)最高點(diǎn)的臨界條件。結(jié)合牛頓定律的題型例3：如圖5所示，桿長(zhǎng)為，球的質(zhì)量為，桿連球在豎直平面內(nèi)繞軸O自由轉(zhuǎn)動(dòng)，已知在最高點(diǎn)處，桿對(duì)球的彈力大小為，求這時(shí)小球的瞬時(shí)速度大小。圖5解析：小球所需向心力向下，本題中，所以彈力的方向可能

9、向上也可能向下。（1）若F向上，則，；（2）若F向下，則，點(diǎn)評(píng)：本題是桿連球繞軸自由轉(zhuǎn)動(dòng)，根據(jù)機(jī)械能守恒，還能求出小球在最低點(diǎn)的即時(shí)速度。需要注意的是：若題目中說(shuō)明小球在桿的帶動(dòng)下在豎直面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，則運(yùn)動(dòng)過(guò)程中小球的機(jī)械能不再守恒，這兩類題一定要分清。例4：如圖10，光滑的水平桌面上釘有兩枚鐵釘A、B，相距，長(zhǎng)的柔軟細(xì)線一端拴在A上，另一端拴住一個(gè)質(zhì)量為500g的小球，小球的初始位置在AB連線上A的一側(cè)，把細(xì)線拉直，給小球以2m/s的垂直細(xì)線方向的水平速度，使它做圓周運(yùn)動(dòng)，由于釘子B的存在，使細(xì)線逐步纏在A、B上，若細(xì)線能承受的最大拉力，則從開(kāi)始運(yùn)動(dòng)到細(xì)線斷裂的時(shí)間為多少？圖10解析：

10、小球轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，由于細(xì)線逐步繞在A、B兩釘上，小球的轉(zhuǎn)動(dòng)半徑逐漸變小，但小球轉(zhuǎn)動(dòng)的線速度大小不變。小球交替地繞A、B做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，線速度不變，隨著轉(zhuǎn)動(dòng)半徑的減小，線中拉力不斷增大，每轉(zhuǎn)半圈的時(shí)間t不斷減小。在第一個(gè)半圓內(nèi)，在第二個(gè)半圓內(nèi)，在第三個(gè)半圓內(nèi)，在第n個(gè)半圓內(nèi)，令，得，即在第8個(gè)半圓內(nèi)線還未斷，n取8，經(jīng)歷的時(shí)間為結(jié)合能量的題型例4：一內(nèi)壁光滑的環(huán)形細(xì)圓管，位于豎直平面內(nèi)，環(huán)的半徑為R（比細(xì)管的半徑大得多），在圓管中有兩個(gè)直徑與細(xì)管內(nèi)徑相同的小球A、B，質(zhì)量分別為、，沿環(huán)形管順時(shí)針運(yùn)動(dòng)，經(jīng)過(guò)最低點(diǎn)的速度都是，當(dāng)A球運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)時(shí)，B球恰好到最高點(diǎn)，若要此時(shí)作用于細(xì)管的合力為零，那么、R和

11、應(yīng)滿足的關(guān)系是 。解析：由題意分別對(duì)A、B小球和圓環(huán)進(jìn)行受力分析如圖6所示。對(duì)于A球有對(duì)于B球有根據(jù)機(jī)械能守恒定律由環(huán)的平衡條件而，由以上各式解得圖6點(diǎn)評(píng)：圓周運(yùn)動(dòng)與能量問(wèn)題常聯(lián)系在一起，在解這類問(wèn)題時(shí)，除要對(duì)物體受力分析，運(yùn)用圓周運(yùn)動(dòng)知識(shí)外，還要正確運(yùn)用能量關(guān)系（動(dòng)能定理、機(jī)械能守恒定律）。連接問(wèn)題的題型例5：如圖7所示，一根輕質(zhì)細(xì)桿的兩端分別固定著A、B兩個(gè)質(zhì)量均為m的小球，O點(diǎn)是一光滑水平軸，已知，使細(xì)桿從水平位置由靜止開(kāi)始轉(zhuǎn)動(dòng)，當(dāng)B球轉(zhuǎn)到O點(diǎn)正下方時(shí)，它對(duì)細(xì)桿的拉力大小是多少？圖7解析：對(duì)A、B兩球組成的系統(tǒng)應(yīng)用機(jī)械能守恒定律得因A、B兩球用輕桿相連，故兩球轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度相等，即設(shè)B球運(yùn)

12、動(dòng)到最低點(diǎn)時(shí)細(xì)桿對(duì)小球的拉力為，由牛頓第二定律得解以上各式得，由牛頓第三定律知，B球?qū)?xì)桿的拉力大小等于，方向豎直向下。說(shuō)明：桿件模型的最顯著特點(diǎn)是桿上各點(diǎn)的角速度相同。這是與后面解決雙子星問(wèn)題的共同點(diǎn)。（四）難點(diǎn)問(wèn)題選講1. 極值問(wèn)題例6：如圖8所示，用細(xì)繩一端系著的質(zhì)量為的物體A靜止在水平轉(zhuǎn)盤(pán)上，細(xì)繩另一端通過(guò)轉(zhuǎn)盤(pán)中心的光滑小孔O吊著質(zhì)量為的小球B，A的重心到O點(diǎn)的距離為。若A與轉(zhuǎn)盤(pán)間的最大靜摩擦力為，為使小球B保持靜止，求轉(zhuǎn)盤(pán)繞中心O旋轉(zhuǎn)的角速度的取值范圍。（?。﹫D8解析：要使B靜止，A必須相對(duì)于轉(zhuǎn)盤(pán)靜止具有與轉(zhuǎn)盤(pán)相同的角速度。A需要的向心力由繩拉力和靜摩擦力合成。角速度取最大值時(shí)，A有

13、離心趨勢(shì)，靜摩擦力指向圓心O；角速度取最小值時(shí)，A有向心運(yùn)動(dòng)的趨勢(shì)，靜摩擦力背離圓心O。對(duì)于B：對(duì)于A：，聯(lián)立解得，所以點(diǎn)評(píng)：在水平面上做圓周運(yùn)動(dòng)的物體，當(dāng)角速度變化時(shí)，物體有遠(yuǎn)離或向著圓心運(yùn)動(dòng)的（半徑有變化）趨勢(shì)。這時(shí)要根據(jù)物體的受力情況，判斷物體受的某個(gè)力是否存在以及這個(gè)力存在時(shí)方向朝哪（特別是一些接觸力，如靜摩擦力、繩的拉力等）。2. 微元問(wèn)題例7：如圖9所示，露天娛樂(lè)場(chǎng)空中列車(chē)是由許多完全相同的車(chē)廂組成，列車(chē)先沿光滑水平軌道行駛，然后滑上一固定的半徑為R的空中圓形光滑軌道，若列車(chē)全長(zhǎng)為（），R遠(yuǎn)大于一節(jié)車(chē)廂的長(zhǎng)度和高度，那么列車(chē)在運(yùn)行到圓環(huán)前的速度至少要多大，才能使整個(gè)列車(chē)安全通過(guò)固定

14、的圓環(huán)軌道（車(chē)廂間的距離不計(jì)）？圖9解析：當(dāng)列車(chē)進(jìn)入軌道后，動(dòng)能逐漸向勢(shì)能轉(zhuǎn)化，車(chē)速逐漸減小，當(dāng)車(chē)廂占滿環(huán)時(shí)的速度最小。設(shè)運(yùn)行過(guò)程中列車(chē)的最小速度為v，列車(chē)質(zhì)量為m，則軌道上的那部分車(chē)的質(zhì)量為由機(jī)械能守恒定律得由圓周運(yùn)動(dòng)規(guī)律可知，列車(chē)的最小速率，聯(lián)立解得3. 數(shù)理問(wèn)題例8：如圖10，光滑的水平桌面上釘有兩枚鐵釘A、B，相距，長(zhǎng)的柔軟細(xì)線一端拴在A上，另一端拴住一個(gè)質(zhì)量為500g的小球，小球的初始位置在AB連線上A的一側(cè)，把細(xì)線拉直，給小球以2m/s的垂直細(xì)線方向的水平速度，使它做圓周運(yùn)動(dòng)，由于釘子B的存在，使細(xì)線逐步纏在A、B上，若細(xì)線能承受的最大拉力，則從開(kāi)始運(yùn)動(dòng)到細(xì)線斷裂的時(shí)間為多少？圖1

15、0解析：小球轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，由于細(xì)線逐步繞在A、B兩釘上，小球的轉(zhuǎn)動(dòng)半徑逐漸變小，但小球轉(zhuǎn)動(dòng)的線速度大小不變。小球交替地繞A、B做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，線速度不變，隨著轉(zhuǎn)動(dòng)半徑的減小，線中拉力不斷增大，每轉(zhuǎn)半圈的時(shí)間t不斷減小。在第一個(gè)半圓內(nèi)，在第二個(gè)半圓內(nèi)，在第三個(gè)半圓內(nèi)，在第n個(gè)半圓內(nèi)，令，得，即在第8個(gè)半圓內(nèi)線還未斷，n取8，經(jīng)歷的時(shí)間為【模擬試題】1. 關(guān)于互成角度（不為零度和180°）的一個(gè)勻速直線運(yùn)動(dòng)和一個(gè)勻變速直線運(yùn)動(dòng)的合運(yùn)動(dòng)，下列說(shuō)法正確的是（ ）A. 一定是直線運(yùn)動(dòng) B. 一定是曲線運(yùn)動(dòng) C. 可能是直線，也可能是曲線運(yùn)動(dòng)D. 以上答案都不對(duì)2. 一架飛機(jī)水平勻速飛行，從飛機(jī)上每隔

16、1s釋放一個(gè)鐵球，先后釋放4個(gè)，若不計(jì)空氣阻力，則這4個(gè)球（ ）A. 在空中任何時(shí)刻總是排列成拋物線，它們的落地點(diǎn)是等間距的B. 在空中任何時(shí)刻總是排列成拋物線，它們的落地點(diǎn)是不等間距的C. 在空中任何時(shí)刻總是在飛機(jī)的正下方排列成豎直直線，它們的落地點(diǎn)是不等間距的D. 在空中任何時(shí)刻總是在飛機(jī)的正下方排列成豎直直線，它們的落地點(diǎn)是等間距的3. 圖1中所示為一皮帶傳動(dòng)裝置，右輪的半徑為r，a是它邊緣上的一點(diǎn)，左側(cè)是一輪軸，大輪的半徑為，小輪的半徑為、點(diǎn)在小輪上，到小輪中心的距離為。點(diǎn)和點(diǎn)分別位于小輪和大輪的邊緣上。若在傳動(dòng)過(guò)程中，皮帶不打滑。則（ ）A. a點(diǎn)與b點(diǎn)的線速度大小相等B. a點(diǎn)與b

17、點(diǎn)的角速度大小相等C. a點(diǎn)與c點(diǎn)的線速度大小相等D. a點(diǎn)與d點(diǎn)的周期大小相等圖14. 在抗洪搶險(xiǎn)中，戰(zhàn)士駕駛摩托艇救人，假設(shè)江岸是平直的，洪水沿江向下游流去，水流速度為，摩托艇在靜水中的航速為，戰(zhàn)士救人的地點(diǎn)A離岸邊最近處O的距離為d，如戰(zhàn)士想在最短時(shí)間內(nèi)將人送上岸，則摩托艇登陸的地點(diǎn)離O點(diǎn)的距離為（ ）A. B. C. D. 5. 火車(chē)軌道在轉(zhuǎn)彎處外軌高于內(nèi)軌，其高度差由轉(zhuǎn)彎半徑與火車(chē)速度確定。若在某轉(zhuǎn)彎處規(guī)定行駛速度為，則下列說(shuō)法中正確的是（ ） 當(dāng)以的速度通過(guò)此彎路時(shí)，火車(chē)重力與軌道面支持力的合力提供向心力 當(dāng)以的速度通過(guò)此彎路時(shí)，火車(chē)重力、軌道面支持力和外軌對(duì)輪緣彈力的合力提供向心

18、力 當(dāng)速度大于v時(shí)，輪緣擠壓外軌 當(dāng)速度小于v時(shí)，輪緣擠壓外軌A. B. C. D. 6. 在做“研究平拋物體的實(shí)驗(yàn)”時(shí)，讓小球多次沿同一軌道運(yùn)動(dòng)，通過(guò)描點(diǎn)法畫(huà)小球做平拋運(yùn)動(dòng)的軌跡，為了能較準(zhǔn)確地描繪運(yùn)動(dòng)軌跡，下面列出了一些操作要求，將你認(rèn)為正確的選項(xiàng)前面的字母填在橫線上： 。A. 通過(guò)調(diào)節(jié)使斜槽的末端保持水平B. 每次釋放小球的位置必須不同C. 每次必須由靜止釋放小球D. 記錄小球位置用的木條（凹槽）每次必須嚴(yán)格地等距離下降E. 小球運(yùn)動(dòng)時(shí)不應(yīng)與木板上的白紙（或方格紙）相接觸F. 將球的位置記錄在紙上后，取下紙，用直尺將點(diǎn)連成折線7. 試根據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)原理設(shè)計(jì)測(cè)量彈射器彈丸出射初速的實(shí)驗(yàn)方法。根據(jù)實(shí)驗(yàn)器材：彈射器（含彈丸，見(jiàn)圖2所示）：鐵架臺(tái)（帶有夾具）；米尺。（1）在安裝彈射器時(shí)應(yīng)注意： ；（2）實(shí)驗(yàn)中需要測(cè)量的量是： ；（3）由于彈射器每次射出的彈丸初速不可能完全相等，在實(shí)驗(yàn)中應(yīng)采取的方法是： ；（4）計(jì)算公式： 圖28. 在一次“飛車(chē)過(guò)黃河”的表演中，汽車(chē)在空中飛經(jīng)最高點(diǎn)后在對(duì)岸著地。