高中數(shù)學(xué)導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 131 單調(diào)性習(xí)題 蘇教版選修22

1、1.3.1單調(diào)性明目標(biāo)、知重點(diǎn)1結(jié)合實(shí)例，探索并掌握函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系.2.能利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，并能夠利用單調(diào)性證明一些簡單的不等式.3.會(huì)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間(其中多項(xiàng)式函數(shù)一般不超過三次)導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系(1)在區(qū)間(a，b)內(nèi)，由導(dǎo)數(shù)的正、負(fù)判斷函數(shù)的單調(diào)性導(dǎo)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性f(x)>0單調(diào)遞增f(x)<0單調(diào)遞減f(x)0常數(shù)函數(shù)(2)在區(qū)間(a，b)內(nèi)，由函數(shù)的單調(diào)性判斷導(dǎo)數(shù)的符號(hào)函數(shù)的單調(diào)性導(dǎo)數(shù)單調(diào)遞增f(x) 0單調(diào)遞減f(x)0常數(shù)函數(shù)f(x)0情境導(dǎo)學(xué)以前，我們用定義來判斷函數(shù)的單調(diào)性，在假設(shè)x1<x2的前提下，比較f(x1)與f(x2)的大小

2、但在函數(shù)yf(x)比較復(fù)雜的情況下，比較f(x1)與f(x2)的大小并不容易如果利用導(dǎo)數(shù)來判斷函數(shù)的單調(diào)性就比較簡單本節(jié)我們就來研究這個(gè)問題探究點(diǎn)一函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)函數(shù)正負(fù)的關(guān)系思考1觀察高臺(tái)跳水運(yùn)動(dòng)員的高度h隨時(shí)間t變化的函數(shù)h(t)4.9t26.5t10的圖象，及運(yùn)動(dòng)員的速度v隨時(shí)間t變化的函數(shù)v(t)h(t)9.8t6.5的圖象，思考運(yùn)動(dòng)員從起跳到最高點(diǎn)，從最高點(diǎn)到入水的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)有什么區(qū)別答(1)從起跳到最高點(diǎn)，h隨t的增加而增加，即h(t)是增函數(shù)，h(t)>0；(2)從最高點(diǎn)到入水，h隨t的增加而減小，即h(t)是減函數(shù)，h(t)<0.思考2觀察下面四個(gè)函數(shù)的圖象，回答函

3、數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)有何關(guān)系？答(1)在區(qū)間(，)內(nèi)，y1>0，y是增函數(shù)；(2)在區(qū)間(，0)內(nèi)，y2x<0，y是減函數(shù)；在區(qū)間(0，)內(nèi)，y2x>0，y是增函數(shù)；(3)在區(qū)間(，)內(nèi)，y3x20，y是增函數(shù)；(4)在區(qū)間(，0)，(0，)內(nèi)，y<0，y是減函數(shù)小結(jié)一般地，函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系：在某個(gè)區(qū)間(a，b)內(nèi)，如果f(x)>0，那么函數(shù)yf(x)在這個(gè)區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增；如果f(x)<0，那么函數(shù)yf(x)在這個(gè)區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減思考3若函數(shù)f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)單調(diào)遞增，那么f(x)一定大于零嗎？答不一定由思考2中(3)知f(

4、x)0恒成立思考4(1)如果一個(gè)函數(shù)具有相同單調(diào)性的單調(diào)區(qū)間不止一個(gè)，那么如何表示這些區(qū)間？試寫出思考2中(4)的單調(diào)區(qū)間(2)函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與其定義域滿足什么關(guān)系？答(1)不能用“”連結(jié)，只能用“，”或“和”字隔開思考2中(4)的單調(diào)遞減區(qū)間為(，0)，(0，)(2)函數(shù)的單調(diào)性是對函數(shù)定義域內(nèi)的某個(gè)子區(qū)間而言的，故單調(diào)區(qū)間是定義域的子集例1已知導(dǎo)函數(shù)f(x)的下列信息：當(dāng)1<x<4時(shí)，f(x)>0；當(dāng)x>4，或x<1時(shí)，f(x)<0；當(dāng)x4，或x1時(shí)，f(x)0.試畫出函數(shù)f(x)圖象的大致形狀解當(dāng)1<x<4時(shí)，f(x)>0，可知f(x

5、)在此區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增；當(dāng)x>4，或x<1時(shí)，f(x)<0，可知f(x)在這兩個(gè)區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減；當(dāng)x4，或x1時(shí)，f(x)0，這兩點(diǎn)比較特殊，我們稱它們?yōu)椤芭R界點(diǎn)”綜上，函數(shù)f(x)圖象的大致形狀如圖所示反思與感悟本題具有一定的開放性，圖象不唯一，只要能抓住問題的本質(zhì)，即在相應(yīng)區(qū)間上的單調(diào)性符合題意就可以了跟蹤訓(xùn)練1函數(shù)yf(x)的圖象如圖所示，試畫出導(dǎo)函數(shù)f(x)圖象的大致形狀解f(x)圖象的大致形狀如下圖：注：圖象形狀不唯一例 2求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間：(1)f(x)2x33x236x1；(2)f(x)sin xx(0<x<)；(3)f(x)3x22ln x；(4

6、)f(x)3txx3.解(1)f(x)6x26x36.由f(x)>0解得x<3，或x>2，由f(x)<0解得3<x<2，故函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(，3)，(2，)；單調(diào)遞減區(qū)間是(3,2)(2)f(x)cos x10恒成立，故函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(0，)，無單調(diào)遞增區(qū)間(3)函數(shù)的定義域?yàn)?0，)，f(x)6x2·.令f(x)>0，即2·>0，解得<x<0或x>.又x>0，x>.令f(x)<0，即2·<0，解得x<或0<x<.又x>0，0

7、<x<.函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(，)，單調(diào)遞減區(qū)間為(0，)(4)f(x)3t3x2.令f(x)0時(shí)，得3t3x20，即tx2，當(dāng)t0時(shí)，無解；當(dāng)t>0時(shí)，函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是，令f(x)0時(shí)，得3t3x20，即tx2，當(dāng)t0時(shí)，f(x)0恒成立，函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(，)；當(dāng)t>0時(shí)，函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(，)綜上所述，當(dāng)t0時(shí)，函數(shù)f(x)的單調(diào)減區(qū)間是(，)，無單調(diào)增區(qū)間；當(dāng)t>0時(shí)，函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間是，單調(diào)減區(qū)間是(，)反思與感悟求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的具體步驟：(1)優(yōu)先確定f(x)的定義域；(2)計(jì)算導(dǎo)數(shù)f(x)；(3)

8、解f(x)>0和f(x)<0；(4)定義域內(nèi)滿足f(x)>0的區(qū)間為增區(qū)間，定義域內(nèi)滿足f(x)<0的區(qū)間為減區(qū)間跟蹤訓(xùn)練2求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間：(1)f(x)x2ln x；(2)f(x)x3x2x.解(1)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0，)f(x)2x.由f(x)>0得<x<0或x>，又x>0，x>，函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為；由f(x)<0得x<或0<x<，又x>0，0<x<，函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為.(2)f(x)3x22x1(3x1)(x1)由f(x)>0得x<或x>

9、;1；由f(x)<0得<x<1，故函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(，)和(1，)，單調(diào)遞減區(qū)間為(，1)探究點(diǎn)二函數(shù)的變化快慢與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系思考我們知道導(dǎo)數(shù)的符號(hào)反映函數(shù)yf(x)的增減情況，怎樣反映函數(shù)yf(x)增減的快慢呢？能否從導(dǎo)數(shù)的角度解釋變化的快慢呢？答一般地，如果一個(gè)函數(shù)在某一范圍內(nèi)導(dǎo)數(shù)的絕對值較大，那么函數(shù)在這個(gè)范圍內(nèi)變化得快，這時(shí)，函數(shù)的圖象就比較“陡峭”(向上或向下)；反之，函數(shù)的圖象就“平緩”一些如圖所示，函數(shù)yf(x)在(0，b)或(a,0)內(nèi)的圖象“陡峭”，在(b，)或(，a)內(nèi)的圖象“平緩”例3如圖，水以恒速(即單位時(shí)間內(nèi)注入水的體積相同)注入下面四種底

10、面積相同的容器中，請分別找出與各容器對應(yīng)的水的高度h與時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系圖象解(1)B，(2)A，(3)D，(4)C.反思與感悟通過函數(shù)圖象，不僅可以看出函數(shù)的增減，還可以看出函數(shù)增減的快慢從導(dǎo)數(shù)的角度研究了函數(shù)的單調(diào)性及增減快慢后，我們就能根據(jù)函數(shù)圖象大致畫出導(dǎo)函數(shù)的圖象，反之亦可行跟蹤訓(xùn)練3已知f(x)是f(x)的導(dǎo)函數(shù)，f(x)的圖象如圖所示，則f(x)的圖象只可能是_(填圖象對應(yīng)的序號(hào))答案解析從f(x)的圖象可以看出，在區(qū)間內(nèi)，導(dǎo)數(shù)遞增；在區(qū)間內(nèi)，導(dǎo)數(shù)遞減即函數(shù)f(x)的圖象在內(nèi)越來越陡，在內(nèi)越來越平緩所以比較符合1f(x)是函數(shù)yf(x)的導(dǎo)函數(shù)，若yf(x)的圖象如圖所示，則函數(shù)y

11、f(x)的圖象可能是_(填圖象對應(yīng)的序號(hào))答案解析由導(dǎo)函數(shù)的圖象可知，當(dāng)x<0時(shí)，f(x)>0，即函數(shù)f(x)為增函數(shù)；當(dāng)0<x<2時(shí)，f(x)<0，即f(x)為減函數(shù)；當(dāng)x>2時(shí)，f(x)>0，即函數(shù)f(x)為增函數(shù)觀察選項(xiàng)易知正確2函數(shù)f(x)ln xax(a>0)的單調(diào)增區(qū)間為_答案解析f(x)的定義域?yàn)閤|x>0，由f(x)a>0，得0<x<.3函數(shù)f(x)ln(x2x2)的單調(diào)遞減區(qū)間為_答案(，1)解析f(x)，令f(x)<0得x<1或<x<2，注意到函數(shù)定義域?yàn)?，1)(2，)，故單調(diào)

12、遞減區(qū)間為(，1)4函數(shù)yx24xa的單調(diào)遞增區(qū)間為_，單調(diào)遞減區(qū)間為_答案(2，)(，2)解析y2x4，令y>0，得x>2；令y<0，得x<2，所以yx24xa的單調(diào)遞增區(qū)間為(2，)，單調(diào)遞減區(qū)間為(，2)呈重點(diǎn)、現(xiàn)規(guī)律1導(dǎo)數(shù)的符號(hào)反映了函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上的單調(diào)性，導(dǎo)數(shù)絕對值的大小反映了函數(shù)在某個(gè)區(qū)間或某點(diǎn)附近變化的快慢程度2利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間的一般步驟：(1)確定函數(shù)f(x)的定義域；(2)求導(dǎo)數(shù)f(x)；(3)在函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)解不等式f(x)>0和f(x)<0；(4)根據(jù)(3)的結(jié)果確定函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間.一、基礎(chǔ)過關(guān)1命題甲

13、：對任意x(a，b)，有f(x)>0；命題乙：f(x)在(a，b)內(nèi)是單調(diào)遞增的則甲是乙的_條件答案充分不必要解析f(x)x3在(1,1)內(nèi)是單調(diào)遞增的，但f(x)3x20(1<x<1)，故甲是乙的充分不必要條件2函數(shù)yx2ln x的單調(diào)遞減區(qū)間是_答案(0,1)解析yx2ln x的定義域?yàn)?0，)，yx，令y<0，即x<0，解得0<x<1或x<1.又x>0，0<x<1.3已知函數(shù)f(x)ln x，則f(2)、f(e)、f(3)的大小關(guān)系為_答案f(2)<f(e)<f(3)解析因?yàn)樵诙x域(0，)上f(x)>0

14、，所以f(x)在(0，)上是增函數(shù)，所以有f(2)<f(e)<f(3)4下列函數(shù)中，在(0，)內(nèi)為增函數(shù)的是_ysin x；yxe2；yx3x；yln xx.答案解析顯然ysin x在(0，)上既有增又有減；對于函數(shù)yxe2，因e2為大于零的常數(shù)，不用求導(dǎo)就知yxe2在(0，)內(nèi)為增函數(shù)；對于，y3x213(x)(x)，故函數(shù)在(，)，(，)上為增函數(shù)，在(，)上為減函數(shù)；對于，y1 (x>0)故函數(shù)在(1，)上為減函數(shù)，在(0,1)上為增函數(shù)故只有符合5函數(shù)yf(x)在其定義域內(nèi)可導(dǎo)，其圖象如圖所示，記yf(x)的導(dǎo)函數(shù)為yf(x)，則不等式f(x)0的解集為_答案2,3)

15、6若三次函數(shù)f(x)ax3x在區(qū)間(，)內(nèi)是增函數(shù)，則a的取值范圍是_答案(0，)解析f(x)3ax21，f(x)在R上為增函數(shù)，3ax210在R上恒成立又a0，a>0.7.已知函數(shù)yf(x)的導(dǎo)函數(shù)f(x)的圖象如圖所示，試畫出函數(shù)yf(x)的大致圖象解由yf(x)的圖象可以得到以下信息：當(dāng)x<2或x>2時(shí)，f(x)<0，函數(shù)f(x)為減函數(shù)；當(dāng)2<x<2時(shí)，f(x)>0，函數(shù)f(x)為增函數(shù)；f(2)0，f(2)0.故原函數(shù)yf(x)的圖象大致如圖：二、能力提升8如果函數(shù)f(x)的圖象如圖，那么導(dǎo)函數(shù)yf(x)的圖象可能是_(填序號(hào))答案解析由f(

16、x)與f(x)關(guān)系可知符合9若函數(shù)f(x)x3bx2cxd的單調(diào)減區(qū)間為1，2，則b_，c_.答案6解析f(x)3x22bxc，函數(shù)f(x)的單調(diào)減區(qū)間為1,2f(x)3x22bxc0，x1,21,2是方程3x22bxc0的兩個(gè)根由根與系數(shù)的關(guān)系，得b，c6.10若函數(shù)f(x)x2ax在(，)內(nèi)是增函數(shù)，則a的取值范圍是_答案3，)解析由題意知f(x)0對任意的x恒成立，又f(x)2xa，所以2xa0對任意的x恒成立，分離參數(shù)得a2x，若滿足題意，需amax.令h(x)2x，x.因?yàn)閔(x)2，所以當(dāng)x時(shí)，恒有h(x)0，即h(x)在上單調(diào)遞減，所以h(x)h3，故a3.11求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)

17、間：(1)yxln x；(2)yln(2x3)x2.解(1)函數(shù)的定義域?yàn)?0，)，y1，由y>0，得x>1；由y<0，得0<x<1.函數(shù)yxln x的單調(diào)增區(qū)間為(1，)，單調(diào)減區(qū)間為(0,1)(2)函數(shù)yln(2x3)x2的定義域?yàn)?，)yln(2x3)x2，y2x.當(dāng)y>0，即<x<1或x>時(shí)，函數(shù)yln(2x3)x2單調(diào)遞增；當(dāng)y<0，即1<x<時(shí)，函數(shù)yln(2x3)x2單調(diào)遞減故函數(shù)yln(2x3)x2的單調(diào)遞增區(qū)間為(，1)和(，)，單調(diào)遞減區(qū)間為(1，)12.已知函數(shù)f(x)x3bx2cxd的圖象經(jīng)過點(diǎn)P(

18、0,2)，且在點(diǎn)M(1，f(1)處的切線方程為6xy70.(1)求函數(shù)yf(x)的解析式；(2)求函數(shù)yf(x)的單調(diào)區(qū)間解(1)由yf(x)的圖象經(jīng)過點(diǎn)P(0,2)，知d2，f(x)x3bx2cx2，f(x)3x22bxc.由在點(diǎn)M(1，f(1)處的切線方程為6xy70，知6f(1)70，即f(1)1，f(1)6.即解得bc3.故所求的解析式是f(x)x33x23x2.(2)f(x)3x26x3.令f(x)>0，得x<1或x>1；令f(x)<0，得1<x<1.故f(x)x33x23x2的單調(diào)遞增區(qū)間為(，1)和(1，)，單調(diào)遞減區(qū)間為(1，1)三、探究與拓展13.已知函數(shù)f(x)mx3nx2 (m、nR，m0)，函數(shù)yf(x)的圖象在點(diǎn)(2，f(2)處的