高斯光束研究

1、 高斯光束通過非線性介質(zhì)的自聚焦現(xiàn)象摘要：隨著信息技術和納米技術的迅速發(fā)展，要求光信息存儲器件中的最小信息位尺寸、大規(guī)模集成電路和微電子技術中的光刻線寬和光學顯微鏡的分辨率等均能達到納米量級（<100nm），而由于光衍射本身的限制，無法達到實際需求。非線性薄膜材料的研究，通過選擇非線性強的光學薄膜材料，調(diào)節(jié)激光能量和控制薄膜厚度及結(jié)構(gòu)，在非線性薄膜結(jié)構(gòu)的出射面能使光斑尺寸進一步下降，實現(xiàn)納米光斑。該光斑通過近場耦合作用在信息存儲薄膜或光刻薄膜上，從而實現(xiàn)納米信息存儲、納米光刻或納米成像。本文主要研究高斯激光束通過非線性均勻絕緣介質(zhì)后光強的改變。由電磁場基本原理，推導出高斯光束是緩變振幅條

2、件下波動方程的近似解，研究其在介質(zhì)突變面處的反射透射。重點研究高斯激光束在非線性介質(zhì)中的傳播問題，這一過程中有自聚焦現(xiàn)象。研究過程主要采用數(shù)值計算方法用差分方程代替偏微分方程研究問題的數(shù)值解。比較光強的變化。關鍵詞：高斯光束，非線性，自聚焦，差分方程一、引言隨著信息技術和納米技術的迅速發(fā)展，要求光信息存儲器件中的最小信息位尺寸、大規(guī)模集成電路和微電子技術中的光刻線寬和光學顯微鏡的分辨率等均能達到納米量級（<100nm），而由于光衍射本身的限制，無法達到實際需求。而通過非線性薄膜材料的研究，通過選擇非線性強的光學薄膜材料，調(diào)節(jié)激光能量和控制薄膜厚度及結(jié)構(gòu)，在非線性薄膜結(jié)構(gòu)的出射面能使光斑尺

3、寸進一步下降，實現(xiàn)納米光斑。該光斑通過近場耦合作用在信息存儲薄膜或光刻薄膜上，從而實現(xiàn)納米信息存儲、納米光刻或納米成像。實驗中我們常常采用高斯光束作為光源進行問題研究。高斯光束是波動方程在緩變振幅下的一個特解，非線性介質(zhì)的折射率隨光強的變化而變化，因而高斯光束通過非線性介質(zhì)發(fā)生自聚焦和衍射現(xiàn)象，從而改變能量分布。本文主要研究光強的變化，通過具體數(shù)值建立數(shù)學模型，采用差分方程代替偏微分方程以求得問題的數(shù)值解，研究光束通過非線性介質(zhì)后能量的變化。二、預備知識（一）波動方程波動理論認為，光是一定頻率范圍內(nèi)的電磁波，其運動規(guī)律可用Maxwell方程組來描述： (1-1)其中， 上式中為電場強度，為電位

4、移，為磁場強度，為磁感應強度，一般情況下他們都是矢量且為時間空間坐標的函數(shù)，還滿足物質(zhì)方程： (1-2)式中為電極化強度，為電流密度，為自由電荷密度，為電導率，為磁化強度。在線性極化情況下式中為介質(zhì)的線性極化率。在非磁，各向同性均勻介質(zhì)中， ，在區(qū)域中，由(1-1)的第二式、(1-2)中第一式，有，將(1-2)第二式代入(1-1)第一式，等式兩邊取旋度，有 (1-3)由(1-1)第三式、(1-2)第一、三式可得 (1-4)將(1-4)代入(1-3)，由可得 (1-5)因為，(1-5)整理后可得 (1-6)對于無損介質(zhì)（等效于）有 (1-7)式中為真空中的光速： (1-8)(1-6)、(1-7)

5、為線性光學的基本方程。（二）赫姆霍茨方程激光光學中常用復數(shù)E（公式中用代替方便輸入）表示電場強度： (2-1) (2-2)介質(zhì)的電極化強度也可以用復數(shù)表達式： (2-3) (2-4) (2-5)式中帶“”量為共軛量。利用(2-1)(2-5)式可將(1-7)式化為 (2-6)式中為復折射率 (2-7)在標量場假設下，(2-6)式成為 (2-8)在真空中，于是有 (2-9)(2-8)、(2-9)式都稱為赫姆霍茨方程。（三）高斯光束表達式推導由前面分析可知穩(wěn)態(tài)傳輸電磁場滿足赫姆霍茨方程 (3-1)式中與電場強度的復表式間有關系： (3-2)由數(shù)理方程基本知識可知，平面波和球面波都是（3-1）式的特解

6、。高斯光束則不同，它不是（3-1）式的精確解，而是在緩變振幅近似下的一個特解。設 (3-3)在SVA（緩變振幅）近似下有 (3-4)利用(3-4)式可將(3-1)式在柱坐標下寫為 (3-5)在旋轉(zhuǎn)對稱情況下與無關，(3-5)式簡化為如下的拋物方程 (3-6)為了求得(3-6)式的一個特解，可設在處有一振幅為 (3-7)的高斯光束，然后求在任意處的。式中為振幅常數(shù)，如果只考慮相對值，則可由歸一化條件求出。定義為處場振幅減小到最大值的值，稱為腰斑（或光腰，束腰），它是高斯光束光斑半徑的最小值。設試探解為 (3-8)式中、為待定函數(shù)，滿足 (3-9)將(3-8)式微分后代入(3-6)，整理得到 (3

7、-10) 由(3-10)對任意成立條件得到下面兩個關系式 (3-11)式中 ' 表示。微分方程組(3-11)在邊界條件為(3-9)式時的解為 (3-12)式中 (3-13)稱為共交參數(shù)。于是我們證明了，形如 (3-14)的高斯光束是赫姆霍茨方程(3-1)在SVA近似下的一個特解。其物理意義為：如果在處有一形如(3-7)式的高斯光束，則它將以(3-14)式非均勻高斯球面波的形式在空間傳播。(3-14)式可改寫為 (3-15)式中 (3-16)利用(3-16)式可將改寫為 (3-17) (3-18)三、問題研究：下面研究高斯光束在非線性薄膜介質(zhì)中的折射系數(shù)透射系數(shù)的計算問題。計算中物理量取

8、常用單位。如上圖所示，為了使問題簡單化，我們假設高斯光束垂直入射介質(zhì)，非線性薄膜介質(zhì)絕緣，面積無窮大，厚度為h。折射率表達式為： (4-1)式中為入射光光強。在波動光學中，光強為振幅的平方。、為常數(shù)。實際上值還與有關，但由于待研究的非線性介質(zhì)薄膜厚度極小，簡化問題，我們默認非線性薄膜介質(zhì)垂直方向值不隨的改變而改變。我們將問題研究分為兩個：1、高斯光束在非線性薄膜上表面發(fā)生的反射透射2、進入介質(zhì)后光束的傳播（一）光束在介質(zhì)上表面反射透射光波是波長很短的電磁波，因此光的反射、折射現(xiàn)象就是電磁波在不同介質(zhì)分界面上的反射、折射。任何波動在兩個不同介質(zhì)分層面上的反射、折射都屬邊值問題，因此電磁波在兩種不

9、同介質(zhì)分界面上的反射與折射是由電磁場和在分界面上所滿足的邊值關系確定的。邊值關系： (4-2)式中表示突變面（即分界面）的上的單位外法線。如圖，在處平面為分界面的兩種不同的均勻各向同性介質(zhì)中，由(3-16)可知，入射波i，反射波r，折射波d的電場強度可表示為 (4-3)式中，、未知。因為在絕緣介質(zhì)分層面上電荷面密度，電流面密度，因此在分界面上只需滿足如下邊值關系 (4-4)式中的下標t代表切向分量。綜上，要滿足(4-4)條件，首先要求入射波，反射波，折射波的相位在平面上任何一點，任何時刻都要相同，即 (4-5)由此必有，說明反射波，折射波與入射波頻率相等。接下來繼續(xù)分析反射波，折射波的振幅。由于，入射的高斯光束表達式為 (4-6)由此可得薄膜折射率為對r進行泰勒展開后取前兩項，有即其中 正入射情況下，有透射波d： （二）進入介質(zhì)后光束的傳播當折射率為上述定義表示時，赫姆霍茨方程有其中整理后，有（若考慮吸收，吸收系數(shù)定義為設復折射率，可將方程改為其中，）設在SAV條件下，可得設該方程解具有高斯函數(shù)形式帶入方程，對任意r成立，滿足微分方程組根據(jù)邊界條件有根據(jù)上式，我們得到了高斯光束在薄膜中的傳播方程，下面討論過程中電場表達式E均用此式表示。通過