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1、抽象函數(shù)訓(xùn)練1. 已知函數(shù)y = f (x)(xR,x0)對(duì)任意的非零實(shí)數(shù),恒有f()=f()+f(),試判斷f(x)的奇偶性。2 已知定義在-2,2上的偶函數(shù),f (x)在區(qū)間0,2上單調(diào)遞減,若f (1-m)<f (m),求實(shí)數(shù)m的取值范圍3. 設(shè)f(x)是R上的奇函數(shù),且f(x+3) =-f(x),求f(1998)的值。4. 設(shè)函數(shù)f(x)對(duì)任意都有f(=f(, 已知f(1)=2,求f(5. 已知f(x)是定義在R上的函數(shù),且滿足:f(x+2)1f(x)=1+f(x),f(1)=1997,求f(2001)的值。6. 設(shè)f(x)是定義R在上的函數(shù),對(duì)任意x,yR,有 f(x+y)+f
2、(x-y)=2f(x)f(y)且f(0)0.(1)求證f(0)=1;(2)求證:y=f(x)為偶函數(shù).7. 已知定義在R上的偶函數(shù)y=f(x)的一個(gè)遞增區(qū)間為(2,6),試判斷(4,8)是y=f(2-x)的遞增區(qū)間還是遞減區(qū)間?8. 設(shè)f(x)是定義在R上的奇函數(shù),且對(duì)任意a,b,當(dāng)a+b0,都有0(1).若ab,試比較f(a)與f(b)的大小;(2).若f(k0對(duì)x1,1恒成立,求實(shí)數(shù)k的取值范圍。9.已知函數(shù)是定義在(-,3上的減函數(shù),已知對(duì)恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍。10已知函數(shù)當(dāng)時(shí),恒有.(1)求證: 是奇函數(shù);(2)若.11.已知是定義在R上的不恒為零的函數(shù),且對(duì)于任意的都滿足: .(
3、1)求的值;(2)判斷的奇偶性,并證明你的結(jié)論;(3)若,求數(shù)列的前項(xiàng)和.12.已知定義域?yàn)镽的函數(shù)滿足.(1)若(2)設(shè)有且僅有一個(gè)實(shí)數(shù),使得,求函數(shù)的解析表達(dá)式.13.已知函數(shù)的定義域?yàn)镽,對(duì)任意實(shí)數(shù)都有,且,當(dāng)時(shí), >0.(1)求;(2)求和;(3)判斷函數(shù)的單調(diào)性,并證明.14.函數(shù)的定義域?yàn)镽,并滿足以下條件:對(duì)任意,有>0;對(duì)任意,有;.(1)求的值;(2)求證: 在R上是單調(diào)減函數(shù);(3)若且,求證:.15.已知函數(shù)的定義域?yàn)镽,對(duì)任意實(shí)數(shù)都有,且當(dāng)時(shí),.(1)證明:;(2)證明: 在R上單調(diào)遞減;(3)設(shè)A=,B=,若=,試確定的取值范圍.16.已知函數(shù)是定義在R上
4、的增函數(shù),設(shè)F.(1)用函數(shù)單調(diào)性的定義證明:是R上的增函數(shù);(2)證明:函數(shù)=的圖象關(guān)于點(diǎn)(成中心對(duì)稱圖形.17.已知函數(shù)是定義域?yàn)镽的奇函數(shù),且它的圖象關(guān)于直線對(duì)稱.(1)求的值;(2)證明: 函數(shù)是周期函數(shù);(3)若求當(dāng)時(shí),函數(shù)的解析式,并畫出滿足條件的函數(shù)至少一個(gè)周期的圖象.18函數(shù)對(duì)于x>0有意義,且滿足條件減函數(shù)。(1)證明:;(2)若成立,求x的取值范圍。19設(shè)函數(shù)在上滿足,且在閉區(qū)間0,7上,只有(1)試判斷函數(shù)的奇偶性;(2)試求方程=0在閉區(qū)間-2005,2005上的根的個(gè)數(shù),并證明你的結(jié)論20. 已知函數(shù)f(x)對(duì)任意實(shí)數(shù)x,y,均有f(xy)f(x)f(y),且當(dāng)
5、x0時(shí),f(x)0,f(1)2,求f(x)在區(qū)間2,1上的值域。21. 已知函數(shù)f(x)對(duì)任意,滿足條件f(x)f(y)2 + f(xy),且當(dāng)x0時(shí),f(x)2,f(3)5,求不等式的解。22. 設(shè)函數(shù)f(x)的定義域是(,),滿足條件:存在,使得,對(duì)任何x和y,成立。求:(1)f(0); (2)對(duì)任意值x,判斷f(x)值的正負(fù)。23. 是否存在函數(shù)f(x),使下列三個(gè)條件:f(x)0,x N;f(2)4。同時(shí)成立?若存在,求出f(x)的解析式,如不存在,說明理由。24. 設(shè)函數(shù)yf(x)的反函數(shù)是yg(x)。如果f(ab)f(a)f(b),那么g(ab)g(a)·g(b)是否正確
6、,試說明理由。25. 己知函數(shù)f(x)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,且滿足以下三條件:當(dāng)是定義域中的數(shù)時(shí),有;f(a)1(a0,a是定義域中的一個(gè)數(shù));當(dāng)0x2a時(shí),f(x)0。1. 解:令= -1,=x,得f (-x)= f (-1)+ f (x) 為了求f (-1)的值,令=1,=-1,則f(-1)=f(1)+f(-1),即f(1)=0,再令=-1得f(1)=f(-1)+f(-1)=2f(-1) f(-1)=0代入式得f(-x)=f(x),可得f(x)是一個(gè)偶函數(shù)。2. 分析:根據(jù)函數(shù)的定義域,-m,m-2,2,但是1- m和m分別在-2,0和0,2的哪個(gè)區(qū)間內(nèi)呢?如果就此討論,將十分復(fù)雜,如果注
7、意到偶函數(shù),則f (x)有性質(zhì)f(-x)= f (x)=f ( |x| ),就可避免一場(chǎng)大規(guī)模討論。解:f (x)是偶函數(shù), f (1-m)<f(m) 可得,f(x)在0,2上是單調(diào)遞減的,于是 ,即 化簡(jiǎn)得-1m<。3. 解:因?yàn)閒(x+3) =-f(x),所以f(x+6)=f(x+3)+3) =-f(x+3)=f(x),故6是函數(shù)f(x)的一個(gè)周期。又f(x)是奇函數(shù),且在x0處有定義,所以f(x)=0從而f(1998)=f(6×333)=f(0)=0。4. 解:由f(=f(,知 f(x)=f(0,x , f(1)=2, 同理可得5.解:從自變量值2001和1進(jìn)行比較
8、及根據(jù)已知條件來看,易聯(lián)想到函數(shù)f(x)是周期函數(shù)。由條件得f(x)1,故f(x+2)=f(x+4)=. 所以f(x+8)=. 所以f(x)是以8為周期的周期函數(shù), 從而f(2001)=f(1)=1997說明:這類問題出現(xiàn)應(yīng)緊扣已知條件,需用數(shù)值或變量來迭代變換,經(jīng)過有限次迭代可直接求出結(jié)果,或者在迭代過程中發(fā)現(xiàn)函數(shù)具有周期性,利用周期性使問題巧妙獲解。6.證明:(1)問題為求函數(shù)值,只需令x=y=0即可得。 (2)問題中令x=0即得f(y)+f(- y)=2f(0)f(y),且f(0)=1.所以f(y)+f(-y)=2f(y),因此y=f(x)為偶函數(shù).說明:這類問題應(yīng)抓住f(x)與f(-x
9、)的關(guān)系,通過已知條件中等式進(jìn)行變量賦值。7. 解:由y=f(x)是偶函數(shù)且在(2,6)上遞增可知,y=f(x)在(6,2)上遞減。令u=2-x,則當(dāng)x(4,8)時(shí),u是減函數(shù)且u(-6,-2),而f(u)在(6,2)上遞減,故y=f(2-x)在(4,8)上遞增。所以(4,8)是y=f(2-x)的單調(diào)遞增區(qū)間。8. 解:(1).因?yàn)閍b,所以a-b0,由題意得0,所以f(a)+f(b)0,又f(x)是定義在R上的奇函數(shù),所以f(b)=f(b), f(a)f(b)0,即f(a)f(b)(2).由(1)知f(x)在R上是單調(diào)遞增函數(shù),又ff0,得ff,故,所以k令t,所以kt+,而t+2,即k21
10、9.解:等價(jià)于10.(1)證明:令,得 令,則 是奇函數(shù)。(2) 又11.(1)解:令,則令,則 (2)證明:令,則, 令,則 是奇函數(shù)。(3)當(dāng)時(shí),令,則 故,所以,故12.解:(1)對(duì)任意,函數(shù)滿足,且 ,=f(a)=a(2) 對(duì)任意,函數(shù)滿足,有且僅有一個(gè)實(shí)數(shù),使得對(duì)任意,有上式中,令,則,故若,則,則,但方程有兩個(gè)不相同的實(shí)根與題設(shè)茅盾,故若,則,則,此時(shí)方程有兩個(gè)相等的實(shí)根,即有且僅有一個(gè)實(shí)數(shù),使得13.(1)解:令,則 (2)數(shù)列是以為首項(xiàng),1為公差的等差數(shù)列,故=(3)任取,則 =函數(shù)是R上的單調(diào)增函數(shù).14.(1)解: 對(duì)任意,有>0, 令得,(2)任取任取,則令,故 函
11、數(shù)的定義域?yàn)镽,并滿足以下條件:對(duì)任意,有>0;對(duì)任意,有;函數(shù)是R上的單調(diào)減函數(shù).(3) 由(1)(2)知,而15. (1)證明:令,則當(dāng)時(shí),故,當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí),則(2)證明: 任取,則,0<,故<0,又,故函數(shù)是R上的單調(diào)減函數(shù).(3) 由(2)知,是R上的減函數(shù),B=又,方程組無解,即直線的內(nèi)部無公共點(diǎn),故的取值范圍是-16.(1)任取,則F=, 又函數(shù)是定義在R上的增函數(shù), ,故>0是R上的增函數(shù);(2)設(shè)為函數(shù)=的圖象上任一點(diǎn),則點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)(的對(duì)稱點(diǎn)為N(),則,故把代入F得, =-函數(shù)=的圖象關(guān)于點(diǎn)(成中心對(duì)稱圖形.17.(1)解:為R上的奇函數(shù), 對(duì)任意都有,令
12、則=0(2)證明: 為R上的奇函數(shù), 對(duì)任意都有,的圖象關(guān)于直線對(duì)稱, 對(duì)任意都有, 用代得,即是周期函數(shù),4是其周期.(3)當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí),圖象如下: y -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 x18.(1)證明:令,則,故(2),令,則, 成立的x的取值范圍是。19解:(1)由f(2-x)=f(2+x),f(7-x)=f(7+x)得函數(shù)的對(duì)稱軸為,從而知函數(shù)不是奇函數(shù),由,從而知函數(shù)的周期為又,故函數(shù)是非奇非偶函數(shù);(2)由又故f(x)在0,10和-10,0上均有有兩個(gè)解,從而可知函數(shù)在0,2005上有402個(gè)解,在-2005.0上有400個(gè)解,所以函數(shù)在-2005,2005上有802
13、個(gè)解.20. 解:設(shè),當(dāng),即,f(x)為增函數(shù)。在條件中,令yx,則,再令xy0,則f(0)2 f(0), f(0)0,故f(x)f(x),f(x)為奇函數(shù),f(1)f(1)2,又f(2)2 f(1)4, f(x)的值域?yàn)?,2。21. 解:設(shè),當(dāng),則, 即,f(x)為單調(diào)增函數(shù)。 , 又f(3)5,f(1)3。, 即,解得不等式的解為1 < a < 3。22. 解:(1)令y0代入,則,。若f(x)0,則對(duì)任意,有,這與題設(shè)矛盾,f(x)0,f(0)1。(2)令yx0,則,又由(1)知f(x)0,f(2x)0,即f(x)0,故對(duì)任意x,f(x)0恒成立。23. 分析:由題設(shè)可猜想存在,又由f(2)4可得a2故猜測(cè)存在函數(shù),用數(shù)學(xué)歸納法證明如下:(1)x1時(shí),又x N時(shí),f(x)0,結(jié)論正確。(2)假設(shè)時(shí)有,則xk1時(shí),xk1時(shí),結(jié)論正確。綜上所述,x為一切自然數(shù)時(shí)。24. 解:設(shè)f(a)m,f(b)n,由于g(x)是f(x)的反函數(shù),g(m)a,g(n)b,從而,g(m)·g(n)g(mn),以a、b分別代替上式中的m、n即得g(ab)g(a)·g(b)。25. 解:(1)f(x)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,且是定義域中的數(shù)時(shí)有,在定義域中。,f(x)是奇函數(shù)。(2)設(shè)0x1x22a,則0x2x12a,在(0,2a)上f(
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