高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽專題練習(xí)——排列組合

1、高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽專題講座之 排列組合 二項(xiàng)式定理和概率一 排列組合二項(xiàng)式定理1 (2005年浙江)設(shè)，求的值（ ） （A） （B） （C） （D） 【解】： 令 得 ；（1） 令 得 ； （2）令 得 ； （3）（2）（3）得 ，故 ，再由（1）得 。 選 【 C 】2、（2004 全國(guó)）設(shè)三位數(shù)，若以a，b，c為三條邊的長(zhǎng)可以構(gòu)成一個(gè)等腰（含等邊）三角形，則這樣的三位數(shù)n有 （ ）A. 45個(gè)B. 81個(gè)C. 165個(gè)D. 216個(gè)解：a，b，c要能構(gòu)成三角形的邊長(zhǎng)，顯然均不為0。即（1）若構(gòu)成等邊三角形，設(shè)這樣的三位數(shù)的個(gè)數(shù)為，由于三位數(shù)中三個(gè)數(shù)碼都相同，所以，。（2）若構(gòu)成等腰（非等邊）三角

2、形，設(shè)這樣的三位數(shù)的個(gè)數(shù)為，由于三位數(shù)中只有2個(gè)不同數(shù)碼。設(shè)為a、b，注意到三角形腰與底可以置換，所以可取的數(shù)碼組（a，b）共有。但當(dāng)大數(shù)為底時(shí)，設(shè)ab，必須滿足。此時(shí)，不能構(gòu)成三角形的數(shù)碼是a987654321b4，32，14，32，13，213，211，21，211共20種情況。 同時(shí)，每個(gè)數(shù)碼組（a，b）中的二個(gè)數(shù)碼填上三個(gè)數(shù)位，有種情況。故。綜上，。3（2005四川）設(shè)，若“方程滿足，且方程至少有一根”，就稱該方程為“漂亮方程”。則“漂亮方程”的個(gè)數(shù)為（A）8（B）10（C）12（D）14解：，由題可知，方程的兩根均為整數(shù)且兩根一正一負(fù)，當(dāng)有一根為時(shí)，有9個(gè)滿足題意的“漂亮方程”，當(dāng)一

3、根為時(shí)，有3個(gè)滿足題意的“漂亮方程”。共有12個(gè)，故選C。4（2005四川）設(shè)是的任一排列，是到的映射，且滿足，記數(shù)表。若數(shù)表的對(duì)應(yīng)位置上至少有一個(gè)不同，就說(shuō)是兩張不同的數(shù)表。則滿足條件的不同的數(shù)表的張數(shù)為 （ ）（A）144（B）192（C）216（D）576解：對(duì)于的一個(gè)排列，可以9個(gè)映射滿足，而共有個(gè)排列，所以滿足條件的數(shù)表共有張，故選C。5(2005江西)連結(jié)正五邊形的對(duì)角線交另一個(gè)正五邊形，兩次連結(jié)正五邊形的對(duì)角線，又交出一個(gè)正五邊形（如圖），以圖中線段為邊的三角形中，共有等腰三角形的個(gè)數(shù)為 ( )（A）50 （B）75 （C）85 （D）100解：對(duì)于其中任一點(diǎn)P，以P為“頂”（兩

4、腰的公共點(diǎn)）的等腰三角形的個(gè)數(shù)記為P則., 由于圖中沒(méi)有等邊三角形，則每個(gè)等腰三角形恰有一個(gè)“頂”。據(jù)對(duì)稱性可知.因此等腰三角形共有個(gè).6. (2005全國(guó))將關(guān)于的多項(xiàng)式表為關(guān)于的多項(xiàng)式其中則.解：由題設(shè)知，和式中的各項(xiàng)構(gòu)成首項(xiàng)為1，公比為的等比數(shù)列，由等比數(shù)列的求和公式，得：令得取有7.如果自然數(shù)的各位數(shù)字之和等于7，那么稱為“吉祥數(shù)”.將所有“吉祥數(shù)”從小到大排成一列若則5200.解：方程的非負(fù)整數(shù)解的個(gè)數(shù)為.而使的整數(shù)解個(gè)數(shù)為.現(xiàn)取，可知，位“吉祥數(shù)”的個(gè)數(shù)為2005是形如的數(shù)中最小的一個(gè)“吉祥數(shù)”，且對(duì)于四位“吉祥數(shù)”，其個(gè)數(shù)為滿足的非負(fù)整數(shù)解個(gè)數(shù)，即個(gè)。2005是第1+7+28+2

5、8+165個(gè)“吉祥數(shù)”，即從而又而從大到小最后六個(gè)五位“吉祥數(shù)”依次是：70000，61000,60100,60010,60001,52000.第325個(gè)“吉祥數(shù)”是52000，即8（2004四川）某城市的機(jī)動(dòng)車牌照是從“10000”到“99999”連續(xù)編號(hào)，則在這90000個(gè)牌照中數(shù)字9至少出現(xiàn)一個(gè)，并且各數(shù)字之和是9的倍數(shù)的車牌照共有 4168 個(gè).二、概率部分1. （2006吉林預(yù)賽）在6個(gè)產(chǎn)品中有4個(gè)正品，2個(gè)次品，現(xiàn)每次取出1個(gè)作檢查（檢查完后不再放回），直到兩個(gè)次品都找到為止，則經(jīng)過(guò)4次檢查恰好將2個(gè)次品全部都找到的概率是 （ D ）A. 1/15 B. 2/15 C. 1/5 D

6、. 4/152（2006年南昌市）甲、乙兩人進(jìn)行乒乓球單打決賽,采用五局三勝制(即先勝三局者獲冠軍),對(duì)于每局比賽,甲獲勝的概率為,乙獲勝的概率為,則爆出冷門(乙獲冠軍)的概率為_(kāi).3（2006年浙江省預(yù)賽）在中隨機(jī)選取三個(gè)數(shù)，能構(gòu)成遞增等差數(shù)列的概率是 。解： 三個(gè)數(shù)成遞增等差數(shù)列，設(shè)為 ，按題意必須滿足 。 對(duì)于給定的d，a可以取1，2，2006-2d。 故三數(shù)成遞增等差數(shù)列的個(gè)數(shù)為 三數(shù)成遞增等差數(shù)列的概率為 。4. （2006吉林預(yù)賽）骰子是一個(gè)質(zhì)量均勻的正方體，6個(gè)面上分別刻有1、2、3、4、5、6點(diǎn)?，F(xiàn)在桌面上有3只骰子分別為木制、骨制、塑料制的。重復(fù)下面操作，直到桌子上沒(méi)有骰子：

7、將桌上的骰子全部擲出，然后去掉那些奇數(shù)點(diǎn)的骰子。求完成以上操作的次數(shù)多于三次的概率。.（169/512）5（2004湖南）如果一元二次方程中，a、b分別是投擲骰子所得的數(shù)字，則該二次方程有兩個(gè)正根的概率P= ( )ABCD 6. (2005江西)從3名男生和n名女生中，任選3人參加比賽，已知3人中至少有1名女生的概率為，則n=_.7. (2005江西)有10名乒乓球選手進(jìn)行單循環(huán)賽，比賽結(jié)果顯示，沒(méi)有和局，且任意5人中既有1人勝其余4人，又有1人負(fù)其余4人，則恰好勝了兩場(chǎng)的人數(shù)為_(kāi)個(gè).8.將編號(hào)為1,2，9的九個(gè)小球隨機(jī)放置在圓周的九個(gè)等分點(diǎn)上，每個(gè)等分點(diǎn)上各有一個(gè)小球.設(shè)圓周上所有相鄰兩球號(hào)

8、碼之差的絕對(duì)值之和為要S.求使S達(dá)到最小值的放法的概率.（注：如果某種放法，經(jīng)旋轉(zhuǎn)或鏡面反射后可與另一種放法重合，則認(rèn)為是相同的放法）解：九個(gè)編號(hào)不同的小球放在圓周的九個(gè)等分點(diǎn)上，每點(diǎn)放一個(gè)，相當(dāng)于九個(gè)不同元素在圓周上的一個(gè)圓形排列，故共有8！種放法，考慮到翻轉(zhuǎn)因素，則本質(zhì)不同的放法有種. 5分下求使S達(dá)到最小值的放法數(shù)：在圓周上，從1到9有優(yōu)弧與劣弧兩條路徑，對(duì)其中任一條路徑，設(shè)是依次排列于這段弧上的小球號(hào)碼，則上式取等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)，即每一弧段上的小球編號(hào)都是由1到9遞增排列.因此.10分由上知，當(dāng)每個(gè)弧段上的球號(hào)確定之后，達(dá)到最小值的排序方案便唯一確定.在1,2，9中，除1與9外，剩下7個(gè)球

9、號(hào)2,3，8，將它們分為兩個(gè)子集，元素較少的一個(gè)子集共有種情況，每種情況對(duì)應(yīng)著圓周上使S值達(dá)到最小的唯一排法，即有利事件總數(shù)是種，故所求概率20分8、（2004全國(guó)）一項(xiàng)“過(guò)關(guān)游戲”規(guī)則規(guī)定：在第n關(guān)要拋擲一顆骰子n次，如果這n次拋擲所出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)之和大于，則算過(guò)關(guān)。問(wèn)：（）某人在這項(xiàng)游戲中最多能過(guò)幾關(guān)？（）他連過(guò)前三關(guān)的概率是多少？（注：骰子是一個(gè)在各面上分別有1，2，3，4，5，6點(diǎn)數(shù)的均勻正方體。拋擲骰子落地靜止后，向上一面的點(diǎn)數(shù)為出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)。）解：由于骰子是均勻的正方體，所以拋擲后各點(diǎn)數(shù)出現(xiàn)的可能性是相等的。（）因骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)最大為6，而，因此，當(dāng)時(shí)，n次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)之和大于已不可能。即這

10、是一個(gè)不可能事件，過(guò)關(guān)的概率為0。所以最多只能連過(guò)4關(guān)。.5分（）設(shè)事件為“第n關(guān)過(guò)關(guān)失敗”，則對(duì)立事件為“第n關(guān)過(guò)關(guān)成功”。第n關(guān)游戲中，基本事件總數(shù)為個(gè)。第1關(guān)：事件所含基本事件數(shù)為2（即出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)為1和2這兩種情況），過(guò)此關(guān)的概率為：。第2關(guān)：事件所含基本事件數(shù)為方程當(dāng)a分別取2，3，4時(shí)的正整數(shù)解組數(shù)之和。即有（個(gè)）。過(guò)此關(guān)的概率為：。 .10分第3關(guān)：事件所含基本事件為方程當(dāng)a分別取3，4，5，6，7，8時(shí)的正整數(shù)解組數(shù)之和。即有（個(gè)）。過(guò)此關(guān)的概率為：。.15分故連過(guò)前三關(guān)的概率為：。.20分（說(shuō)明：第2，3關(guān)的基本事件數(shù)也可以列舉出來(lái)）10、（2006年浙江省預(yù)賽）六個(gè)面分別寫上1，2，3，4，5，6的正方體叫做骰子。問(wèn)1） 共有多少種不同的骰子；2） 骰子相鄰兩個(gè)面上數(shù)字之差的絕對(duì)值叫做這兩個(gè)面之間的變差，變差的總和叫做全變差V。在所有的骰子中，求V的最大值和最小值。解：1）設(shè)臺(tái)子上有一個(gè)與骰子的側(cè)面全等的正方形。我們把一個(gè)骰子放到該正方形上的放法共64種。所以不同的骰子共有種。 （5分）2） 由16的六個(gè)數(shù)字所能產(chǎn)