高中數(shù)學(xué)橢圓超經(jīng)典知識點典型例題講解

1、學(xué)生姓名性別男年級高二學(xué)科數(shù)學(xué)授課教師上課時間2014年12月13日第（ ）次課共（ ）次課課時： 課時教學(xué)課題 橢圓教學(xué)目標(biāo)教學(xué)重點與難點選修2-1橢圓知識點一：橢圓的定義平面內(nèi)一個動點到兩個定點、的距離之和等于常數(shù)()，這個動點的軌跡叫橢圓.這兩個定點叫橢圓的焦點，兩焦點的距離叫作橢圓的焦距.注意：若，則動點的軌跡為線段；若，則動點的軌跡無圖形.講練結(jié)合一.橢圓的定義方程化簡的結(jié)果是 2若的兩個頂點，的周長為，則頂點的軌跡方程是 3.已知橢圓=1上的一點P到橢圓一個焦點的距離為3,則P到另一焦點距離為 知識點二：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程1當(dāng)焦點在軸上時，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：，其中；2當(dāng)焦點在軸上時，橢圓

2、的標(biāo)準(zhǔn)方程：，其中；注意：1只有當(dāng)橢圓的中心為坐標(biāo)原點，對稱軸為坐標(biāo)軸建立直角坐標(biāo)系時，才能得到橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；2在橢圓的兩種標(biāo)準(zhǔn)方程中，都有和；3橢圓的焦點總在長軸上.當(dāng)焦點在軸上時，橢圓的焦點坐標(biāo)為，；當(dāng)焦點在軸上時，橢圓的焦點坐標(biāo)為，。講練結(jié)合二利用標(biāo)準(zhǔn)方程確定參數(shù)1.若方程+=1（1）表示圓，則實數(shù)k的取值是 .（2）表示焦點在x軸上的橢圓，則實數(shù)k的取值范圍是 .（3）表示焦點在y型上的橢圓，則實數(shù)k的取值范圍是 .（4）表示橢圓，則實數(shù)k的取值范圍是 .2.橢圓的長軸長等于 ，短軸長等于 , 頂點坐標(biāo)是 ,焦點的坐標(biāo)是 ,焦距是 ，離心率等于 ,3橢圓的焦距為，則= 。4橢圓的一個

3、焦點是，那么 。講練結(jié)合三待定系數(shù)法求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程1若橢圓經(jīng)過點，則該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 。2焦點在坐標(biāo)軸上，且，的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 3焦點在軸上，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為4. 已知三點P（5，2）、（6，0）、（6，0），求以、為焦點且過點P的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；知識點三：橢圓的簡單幾何性質(zhì)橢圓的的簡單幾何性質(zhì)（1）對稱性對于橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程，把x換成x，或把y換成y，或把x、y同時換成x、y，方程都不變，所以橢圓是以x軸、y軸為對稱軸的軸對稱圖形，且是以原點為對稱中心的中心對稱圖形，這個對稱中心稱為橢圓的中心。（2）范圍橢圓上所有的點都位于直線x=±a和y=±b所圍成的矩形內(nèi)，所以橢圓上

4、點的坐標(biāo)滿足|x|a，|y|b。（3）頂點橢圓的對稱軸與橢圓的交點稱為橢圓的頂點。橢圓（ab0）與坐標(biāo)軸的四個交點即為橢圓的四個頂點，坐標(biāo)分別為A1（a，0），A2（a，0），B1（0，b），B2（0，b）。線段A1A2，B1B2分別叫做橢圓的長軸和短軸，|A1A2|=2a，|B1B2|=2b。a和b分別叫做橢圓的長半軸長和短半軸長。（4）離心率橢圓的焦距與長軸長度的比叫做橢圓的離心率，用e表示，記作。因為ac0，所以e的取值范圍是0e1。e越接近1，則c就越接近a，從而越小，因此橢圓越扁；反之，e越接近于0，c就越接近0，從而b越接近于a，這時橢圓就越接近于圓。當(dāng)且僅當(dāng)a=b時，c=0，這時

5、兩個焦點重合，圖形變?yōu)閳A，方程為x2+y2=a2。注意：橢圓的圖像中線段的幾何特征（如下圖）：（1），；（2），；（3）,，；講練結(jié)合四焦點三角形1橢圓的焦點為、，是橢圓過焦點的弦，則的周長是 。2設(shè)，為橢圓的焦點，為橢圓上的任一點，則的周長是多少？的面積的最大值是多少？3設(shè)點是橢圓上的一點，是焦點，若是直角，則的面積為 。變式：已知橢圓，焦點為、，是橢圓上一點若，求的面積五離心率的有關(guān)問題1.橢圓的離心率為，則 2.從橢圓短軸的一個端點看長軸兩端點的視角為，則此橢圓的離心率為 3橢圓的一焦點與短軸兩頂點組成一個等邊三角形，則橢圓的離心率為 4.設(shè)橢圓的兩個焦點分別為F1、F2，過F2作橢圓長

6、軸的垂線交橢圓于點P，若F1PF2為等腰直角三角形，求橢圓的離心率。5.在中，若以為焦點的橢圓經(jīng)過點，則該橢圓的離心率 講練結(jié)合六.最值問題1.橢圓兩焦點為F1、F2，點P在橢圓上，則|PF1|·|PF2|的最大值為_，最小值為_2、橢圓兩焦點為F1、F2，A(3，1)點P在橢圓上，則|PF1|+|PA|的最大值為_，最小值為 _3、已知橢圓，A(1，0)，P為橢圓上任意一點，求|PA|的最大值 最小值 。4.設(shè)F是橢圓=1的右焦點,定點A(2,3)在橢圓內(nèi),在橢圓上求一點P使|PA|+2|PF|最小,求P點坐標(biāo) 最小值 .知識點四：橢圓與（ab0）的區(qū)別和聯(lián)系標(biāo)準(zhǔn)方程圖形性質(zhì)焦點，

7、焦距范圍，對稱性關(guān)于x軸、y軸和原點對稱頂點，軸長軸長=，短軸長= 離心率準(zhǔn)線方程焦半徑，注意：橢圓，（ab0）的相同點為形狀、大小都相同，參數(shù)間的關(guān)系都有ab0和，a2=b2+c2；不同點為兩種橢圓的位置不同，它們的焦點坐標(biāo)也不相同。1如何確定橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程？ 任何橢圓都有一個對稱中心，兩條對稱軸。當(dāng)且僅當(dāng)橢圓的對稱中心在坐標(biāo)原點，對稱軸是坐標(biāo)軸，橢圓的方程才是標(biāo)準(zhǔn)方程形式。此時，橢圓焦點在坐標(biāo)軸上。確定一個橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程需要三個條件：兩個定形條件a、b，一個定位條件焦點坐標(biāo)，由焦點坐標(biāo)的形式確定標(biāo)準(zhǔn)方程的類型。2橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程中的三個量a、b、c的幾何意義橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程中，a、b、c三個量的大

8、小與坐標(biāo)系無關(guān)，是由橢圓本身的形狀大小所確定的，分別表示橢圓的長半軸長、短半軸長和半焦距長，均為正數(shù)，且三個量的大小關(guān)系為：ab0，ac0，且a2=b2+c2?？山柚聢D幫助記憶：a、b、c恰構(gòu)成一個直角三角形的三條邊，其中a是斜邊，b、c為兩條直角邊。3如何由橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程判斷焦點位置橢圓的焦點總在長軸上，因此已知標(biāo)準(zhǔn)方程，判斷焦點位置的方法是：看x2、y2的分母的大小，哪個分母大，焦點就在哪個坐標(biāo)軸上。4方程Ax2+By2=C（A、B、C均不為零）表示橢圓的條件方程Ax2+By2=C可化為，即，所以只有A、B、C同號，且AB時，方程表示橢圓。當(dāng)時，橢圓的焦點在x軸上；當(dāng)時，橢圓的焦點在y軸上

9、。5求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的常用方法： 待定系數(shù)法：由題目條件確定焦點的位置，從而確定方程的類型，設(shè)出標(biāo)準(zhǔn)方程，再由條件確定方程中的參數(shù)、的值。其主要步驟是“先定型，再定量”；定義法：由題目條件判斷出動點的軌跡是什么圖形，然后再根據(jù)定義確定方程。6共焦點的橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程形式上的差異共焦點，則c相同。與橢圓（ab0）共焦點的橢圓方程可設(shè)為（kb2）。此類問題常用待定系數(shù)法求解。7判斷曲線關(guān)于x軸、y軸、原點對稱的依據(jù)： 若把曲線方程中的x換成x，方程不變，則曲線關(guān)于y軸對稱；若把曲線方程中的y換成y，方程不變，則曲線關(guān)于x軸對稱；若把曲線方程中的x、y同時換成x、y，方程不變，則曲線關(guān)于原點對稱。8如何解

10、決與焦點三角形PF1F2（P為橢圓上的點）有關(guān)的計算問題？ 與焦點三角形有關(guān)的計算問題時，?？紤]到用橢圓的定義及余弦定理（或勾股定理）、三角形面積公式相結(jié)合的方法進(jìn)行計算與解題，將有關(guān)線段、，有關(guān)角()結(jié)合起來，建立、之間的關(guān)系. 9如何研究橢圓的扁圓程度與離心率的關(guān)系？ 長軸與短軸的長短關(guān)系決定橢圓形狀的變化。離心率，因為c2=a2b2，ac0，用a、b表示為，當(dāng)越小時，橢圓越扁，e越大；當(dāng)越大，橢圓趨近圓，e越小，并且0e1。課后作業(yè)1已知F1(-8，0)，F(xiàn)2(8，0)，動點P滿足|PF1|+|PF2|=16，則點P的軌跡為( )A 圓 B 橢圓 C線段 D 直線 2、橢圓左右焦點為F1

11、、F2，CD為過F1的弦，則CDF1的周長為_ 3已知方程表示橢圓，則k的取值范圍是( ) A -1<k<1 B k>0 C k0 D k>1或k<-14、求滿足以下條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 (1)長軸長為10，短軸長為6 (2)長軸是短軸的2倍，且過點(2，1) (3) 經(jīng)過點(5，1)，(3，2) 5、若ABC頂點B、C坐標(biāo)分別為(-4，0)，(4，0)，AC、AB邊上的中線長之和為30，則ABC的重心G的軌跡方程為_6.橢圓的左右焦點分別是F1、F2，過點F1作x軸的垂線交橢圓于P點。若F1PF2=60°，則橢圓的離心率為_7、已知正方形ABCD，則以

12、A、B為焦點，且過C、D兩點的橢圓的的離心率為_橢圓方程為 _.8已知橢圓的方程為，P點是橢圓上的點且,求的面積 9.若橢圓的短軸為AB，它的一個焦點為F1，則滿足ABF1為等邊三角形的橢圓的離心率為 10.橢圓上的點P到它的左焦點的距離是12，那么點P到它的右焦點的距離是 11已知橢圓的兩個焦點為、，且，弦AB過點，則的周長 12.在橢圓+=1上求一點P,使它到左焦點的距離是它到右焦點的距離的兩倍 13、中心在原點、長軸是短軸的兩倍,一條準(zhǔn)線方程為,那么這個橢圓的方程為 。14、橢圓的兩個焦點三等分它的兩準(zhǔn)線間的距離,則橢圓的離心率=_.15、橢圓的中心在原點,焦點在x軸上,準(zhǔn)線方程為,橢圓上一點到兩焦點的距離分別為10和14,則橢圓方程為 _.16.已知P是橢圓上的點,若P到橢圓右準(zhǔn)線的距離為8.5,則P到左焦點的距離為_.17橢圓內(nèi)有兩點，P為橢圓上一點，若使最小，則最小值為