高中數(shù)學(xué)競賽講座07面積問題和面積方法

1、競賽講座07 -面積問題和面積方法基礎(chǔ)知識1面積公式由于平面上的凸多邊形都可以分割成若干三角形，故在面積公式中最基本的是三角形的面積公式它形式多樣，應(yīng)在不同場合下選擇最佳形式使用設(shè)，分別為角的對邊，為的高，、分別為外接圓、內(nèi)切圓的半徑，則的面積有如下公式：（1）； （2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）2面積定理（1）一個(gè)圖形的面積等于它的各部分面積這和；（2）兩個(gè)全等形的面積相等；（3）等底等高的三角形、平行四邊形、梯形（梯形等底應(yīng)理解為兩底和相等）的面積相等；（4）等底（或等高）的三角形、平行四邊形、梯形的面積的比等于其所對應(yīng)的高（或底）的比；（5）兩個(gè)相似三角形的面積的比等于相

2、似比的平方；（6）共邊比例定理：若和的公共邊所在直線與直線交于，則；（7）共角比例定理：在和中，若或，則3張角定理：如圖，由點(diǎn)出發(fā)的三條射線，設(shè)，則三點(diǎn)共線的充要條件是：例題分析例1梯形的對角線相交于，且，求例2在凸五邊形中，設(shè)，求此五邊形的面積例3是內(nèi)一點(diǎn)，連結(jié)并延長與分別交于，、的面積分別為40，30，35，求的面積例4分別是的邊和上的點(diǎn)，且，求的面積的最大值 例5過內(nèi)一點(diǎn)引三邊的平行線，點(diǎn)都在的邊上，表示六邊形的面積，表示 的面積求證：例6在直角中，是斜邊上的高，過的內(nèi)心與的內(nèi)心的直線分別交邊和于和，和的面積分別記為和求證：例7銳角三角形中，角等分線與三角形的外接圓交于一點(diǎn)，點(diǎn)、與此類似

3、，直線與、兩角的外角平分線將于一點(diǎn)，點(diǎn)、與此類似求證：（1）三角形的面積是六邊形的面積的二倍；（2）三角形的面積至少是三角形的四倍例8在中，將其周長三等分，且在邊上，求證：例9在銳角的邊邊上有兩點(diǎn)、，滿足，作，（是垂足），延長交的外接圓于點(diǎn)，證明四邊形與的面積相等三面積的等積變換等積變換是處理有關(guān)面積問題的重要方法之一，它的特點(diǎn)是利用間面積相等而進(jìn)行相互轉(zhuǎn)換證（解）題例10凸六邊形內(nèi)接于，且，求此六邊形的面積例11已知的三邊，現(xiàn)在上取，在延長線上截取，在上截取，求證：例12在內(nèi)，且，求征：例13在的三邊上分別取點(diǎn)，使，連相交得三角形，已知三角形的面積為13，求三角形的面積例14為圓內(nèi)接四邊形的

4、邊的中點(diǎn)，于，于，于，求證：平分例15已知邊長為的，過其內(nèi)心任作一直線分別交于點(diǎn)，求證：例16正正，求證：例17在正內(nèi)任取一點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)關(guān)于三邊的對稱點(diǎn)分別為，則相交于一點(diǎn)例18已知是正六邊形的兩條對角線，點(diǎn)分別內(nèi)分，且使，如果三點(diǎn)共線，試求的值例19設(shè)在凸四邊形中，直線以為直徑的圓相切，求證：當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，直線與以為直徑的圓相切訓(xùn)練題1設(shè)的面積為10，分別是邊上的點(diǎn)，且若，求的面積2過內(nèi)一點(diǎn)作三條平行于三邊的直線，這三條直線將分成六部份，其中，三部份為三角形，其面積為，求三角形的面積3在的三邊上分別取不與端點(diǎn)重合的三點(diǎn)，求證：，中至少有一個(gè)的面積不大于的面積的4銳角的頂角的平分線交邊于，又交三角形的外接圓于，過作和邊的垂線和,垂足是，求證：四邊形的面積等于的 面積5在等腰直角三角形的斜邊上取一點(diǎn)，使，作交于，求證：6三條直線互相平行，在的兩側(cè)，且間的距離為，間的距離為1，若正的三個(gè)頂點(diǎn)分別在上，求正的邊長7已知及其內(nèi)任一點(diǎn)，直線分別交對邊于（），證明：在這三個(gè)值中，至少有一個(gè)不大于2，并且至少有一個(gè)不小于28點(diǎn)和分別在的邊和上，點(diǎn)和將線段分為三等分，直線和分別與邊相交于點(diǎn)和，證明：9已知P是內(nèi)一點(diǎn)，延長分別交對邊于，其中，且，求之值1