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1、第九章 常微分方程 一變量可分離方程及其推廣 1變量可分離的方程 (1)方程形式: 通解 (注:在微分方程求解中,習(xí)慣地把不定積分只求出它的一個(gè)原函數(shù),而任意常數(shù)另外再加) (2)方程形式: 通解 2變量可分離方程的推廣形式 (1)齊次方程 令, 則 二一階線性方程及其推廣 1一階線性齊次方程 它也是變量可分離方程,通解,(為任意常數(shù)) 2一階線性非齊次方程 用常數(shù)變易法可求出通解公式 令 代入方程求出則得 3伯努利方程 令把原方程化為 再按照一階線性非齊次方程求解。4方程:可化為 以為自變量,為未知函數(shù) 再按照一階線性非齊次方程求解。三、可降階的高階微分方程方程類型解法及解的表達(dá)式通解令,則
2、,原方程一階方程,設(shè)其解為,即,則原方程的通解為。令,把看作的函數(shù),則把,的表達(dá)式代入原方程,得一階方程,設(shè)其解為即,則原方程的通解為。 四線性微分方程解的性質(zhì)與結(jié)構(gòu) 我們討論二階線性微分方程解的性質(zhì)與結(jié)構(gòu),其結(jié)論很容易地推廣到更高階的線性微分方程。 二階齊次線性方程 (1) 二階非齊次線性方程 (2) 1若,為二階齊次線性方程的兩個(gè)特解,則它們的線性組合(,為任意常數(shù))仍為同方程的解,特別地,當(dāng)(為常數(shù)),也即與線性無(wú)關(guān)時(shí),則方程的通解為 2若,為二階非齊次線性方程的兩個(gè)特解,則為對(duì)應(yīng)的二階齊次線性方程的一個(gè)特解。 3若為二階非齊次線性方程的一個(gè)特解,而為對(duì)應(yīng)的二階齊次線性方程的任意特解,則
3、為此二階非齊次線性方程的一個(gè)特解。 4若為二階非齊次線性方程的一個(gè)特解,而為對(duì)應(yīng)的二階齊次線性方程的通解(,為獨(dú)立的任意常數(shù))則是此二階非齊次線性方程的通解。 5設(shè)與分別是與 的特解,則是 的特解。五二階和某些高階常系數(shù)齊次線性方程1二階常系數(shù)齊次線性方程 其中,為常數(shù), 特征方程特征方程根的三種不同情形對(duì)應(yīng)方程通解的三種形式(1)特征方程有兩個(gè)不同的實(shí)根,則方程的通解為(2)特征方程有二重根 則方程的通解為(3)特征方程有共軛復(fù)根, 則方程的通解為2階常系數(shù)齊次線性方程 其中為常數(shù)。 相應(yīng)的特征方程 特征根與方程通解的關(guān)系同二階情形很類似。(1)若特征方程有個(gè)不同的實(shí)根則方程通解 (2)若為
4、特征方程的重實(shí)根則方程通解中含有 y=(3)若為特征方程的重共軛復(fù)根,則方程通解中含有 由此可見(jiàn),常系數(shù)齊次線性方程的通解完全被其特征方程的根所決定,但是三次及三次以上代數(shù)方程的根不一定容易求得,因此只能討論某些容易求特征方程的根所對(duì)應(yīng)的高階常系數(shù)齊次線性方程的通解。六、二階常系數(shù)非齊次線性方程 方程: 其中為常數(shù) 通解: 其中為對(duì)應(yīng)二階常系數(shù)齊次線性方程的通解上面已經(jīng)討論。所以關(guān)鍵要討論二階常系數(shù)非齊次線性方程的一個(gè)特解如何求? 1其中為次多項(xiàng)式,為實(shí)常數(shù), (1)若不是特征根,則令 (2)若是特征方程單根,則令 (3)若是特征方程的重根,則令 2 或 其中為次多項(xiàng)式,皆為實(shí)常數(shù)(1)若不是
5、特征根,則令(2)若是特征根,則令例題:一、齊次方程1.求的通解2. 二、一階線形微分方程1. 2.求微分方程的通解三、伯努力方程四、可降階的高價(jià)微分方程1.求的通解 2.五、二階常系數(shù)齊次線形微分方程1.2.,六、二階常系數(shù)非齊次線形微分方程 1.求的通解 2.求方程的通解 3.七、作變量代換后求方程的解1.求微分方程的通解2.3. 4.八、綜合題1.設(shè)f(x)x,其中f(x)連續(xù),求f(x)2.已知,是某二階線性非齊次常系數(shù)微分方程的三個(gè)解,求此微分方程及其通解.3.設(shè)內(nèi)滿足以下條件(1)求所滿足的一階和二階微分方程(2)求出的表達(dá)式4.設(shè)函數(shù)yy(x)在內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù),且是yy(x)的反
6、函數(shù).(1)試將xx(y)所滿足的微分方程變換為yy(x)滿足的微分方程;(2)求變換后的微分方程滿足初始條件y(0)0,的解.5.設(shè)是以2為周期的連續(xù)函數(shù),(1) 求微分方程的通解以上這些解中,有沒(méi)有以2為周期的解?若有,求出,若無(wú),說(shuō)明理由6.已知曲線yf(x)(x>0)是微分方程2y/+y/-y=(4-6x)e-x的一條積分曲線,此曲線通過(guò)原點(diǎn),且在原點(diǎn)處的切線斜率為0,試求:(1)曲線yf(x)到x軸的最大距離。(2)計(jì)算九、微分方程的幾何和物理應(yīng)用1.設(shè)函數(shù)二階可導(dǎo),且過(guò)曲線上任意一點(diǎn)作該曲線的切線及軸的垂線,上述兩直線與軸所圍成的三角形的面積記為區(qū)間上以為曲邊的曲邊梯形面積記
7、為,并設(shè)恒為1,求此曲線的方程。2.設(shè)曲線的極坐標(biāo)方程為,為任一點(diǎn),為上一定點(diǎn),若極徑,與曲線所圍成的曲邊扇形面積值等于上兩點(diǎn)間弧長(zhǎng)值的一半,求曲線的方程。3.有一在原點(diǎn)處與x軸相切并在第一象限的光滑曲線,P(x,y)為曲線上的任一點(diǎn)。設(shè)曲線在原點(diǎn)與P點(diǎn)之間的弧長(zhǎng)為S1,曲線在P 點(diǎn)處的切線在P點(diǎn)與切線跟y軸的交點(diǎn)之間的長(zhǎng)度為S2,且=,求該曲線的方程。4.設(shè)函數(shù)f(x)在上連續(xù),若曲線yf(x),直線x1,xt(t>1)與x軸圍成平面圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所成旋轉(zhuǎn)體的體積V(t),試求yf(x)所滿足的微分方程,并求的解.5.一個(gè)半球體狀的雪球,其體積融化的速率與半球面面積S成正比,比例常
8、數(shù),假設(shè)在融化過(guò)程中雪堆始終保持半球體狀,已知半徑為的雪堆開(kāi)始融化的3小時(shí)內(nèi),融化了其體積的,問(wèn)雪堆全部融化需要多少小時(shí)。6.有一房間容積為100,開(kāi)始時(shí)房間空氣中含有二氧化碳0.12%,為了改善房間的空氣質(zhì)量,用一臺(tái)風(fēng)量為10/分的排風(fēng)扇通入含0.04%的二氧化碳的新鮮空氣,同時(shí)以相同的風(fēng)量將混合均勻的空氣排出,求排出10分鐘后,房間中二氧化碳含量的百分比?7.有一容積為500的水池,原有100的清水,現(xiàn)在每分鐘放進(jìn)2濃度為50%的某溶液,同時(shí)每分鐘放出1溶液,試求當(dāng)水池充滿時(shí)池中溶液濃度。8.某湖泊的水量為V,每年排入湖泊內(nèi)含污染物A的污水量為,流入湖泊內(nèi)不含污染物A的污水量為,流出湖泊的水量為,已知1999年底中湖中A的含量為,超過(guò)國(guó)家規(guī)定指標(biāo),為了治理污染,從2000年初起,限制排入湖泊中含A污水的濃度不超過(guò),問(wèn)至多需要經(jīng)過(guò)多少年,湖泊中污染物A的含量才可降至以內(nèi)。(設(shè)湖水中A的濃度是均勻的)。9.已知某車間的容積為30×30×6 ,其中的空氣含0.12%的二氧化碳,現(xiàn)以含二氧化碳0.04%的新鮮空氣輸入,問(wèn)每分鐘應(yīng)輸入多少,才能在30分鐘后使車間空氣中二氧化碳的含量不超過(guò)0.06%,(假定輸入的新鮮空氣與原有空氣很快混合均勻,且以相同流量排出)。
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