高中常見數(shù)列求通項(xiàng)公式

1、高中常見數(shù)列通向公式的求法數(shù)列在理論上和實(shí)踐中均有較高的價(jià)值，是培養(yǎng)學(xué)生觀察能力、理解能力、邏輯思維能力的很好載體，高考對(duì)數(shù)列知識(shí)的考察也逐年增重，數(shù)列在高中階段有著重要的作用。新課標(biāo)將數(shù)列從大綱版高考考題的壓軸題放到解答題的第一個(gè)或者第二個(gè)題位置，也是對(duì)數(shù)列考查的常規(guī)解法作進(jìn)一步的強(qiáng)調(diào)，而數(shù)列通向公式的求法是考察該知識(shí)點(diǎn)的一個(gè)熱點(diǎn)。本文想總結(jié)一下在高中階段，求數(shù)列的通項(xiàng)公式的常用方法和策略。高中常見求通項(xiàng)公式的方法有：定義法、公式法、迭加法、迭乘法、構(gòu)造法（構(gòu)造等差或等比數(shù)列，其中用到待定系數(shù)法）以及倒數(shù)法。1.定義法：等差數(shù)列通項(xiàng)公式；等比數(shù)列通項(xiàng)公式。例1等差數(shù)列是遞增數(shù)列，前n項(xiàng)和為，

2、且成等比數(shù)列，求數(shù)列的通項(xiàng)公式.解：設(shè)數(shù)列公差為成等比數(shù)列，即， 由得：，點(diǎn)評(píng)：此類方法著重考查學(xué)生對(duì)等差數(shù)列和等比數(shù)列定義和公式的應(yīng)用，利用定義法求數(shù)列通項(xiàng)時(shí)要注意不用錯(cuò)定義，設(shè)法求出首項(xiàng)與公差（公比）后再寫出通項(xiàng)。2.公式法：已知（即）求，用作差法：。例題2.數(shù)列的前n項(xiàng)和為，=1， ( n),求的通項(xiàng)公式。解：由=1，=2，當(dāng)n2時(shí)=得=3，因此是首項(xiàng)為=2，q=3的等比數(shù)列。故= (n2),而=1不滿足該式 所以=。點(diǎn)評(píng)：利用公式求解時(shí)，要注意對(duì)n分類討論，但若能合寫時(shí)一定要合并3. 迭代法，分為累加法和累乘法.累加法：若求。例3 已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。解：由得則所以數(shù)列的通

3、項(xiàng)公式為。點(diǎn)評(píng)：本題解題的關(guān)鍵是把遞推關(guān)系式轉(zhuǎn)化為，進(jìn)而求出，即得數(shù)列的通項(xiàng)公式。這個(gè)問題通常和數(shù)列的求和練習(xí)在一起，下面這個(gè)求通項(xiàng)之后轉(zhuǎn)化為用裂項(xiàng)相消來求和。例題4 已知數(shù)列滿足，求。解：由條件知：分別令，代入上式得個(gè)等式累加之，即所以，累乘法：形如 (n=2、3、4)，且可求，則用累乘法求。有時(shí)若不能直接用，可變形成這種形式，然后用這種方法求解。已知求，用累乘法：。例5. 已知數(shù)列滿足，求。解：由條件知，分別令，代入上式得個(gè)等式累乘之，即又，例6 已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。解：因?yàn)?，所以，則，故所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為點(diǎn)評(píng)：本題解題的關(guān)鍵是把遞推關(guān)系轉(zhuǎn)化為，進(jìn)而求出，即得數(shù)列的通項(xiàng)公式。

4、5.已知遞推關(guān)系求，用構(gòu)造法（等比數(shù)列、構(gòu)造等差）。構(gòu)造等比數(shù)列法原數(shù)列既不等差，也不等比。若把中每一項(xiàng)添上一個(gè)數(shù)或一個(gè)式子構(gòu)成新數(shù)列，使之等比，從而求出。該法適用于遞推式形如=或=。（1）構(gòu)造等比數(shù)列進(jìn)行求解通項(xiàng)公式形如、（為常數(shù)）的遞推數(shù)列都可以用待定系數(shù)法轉(zhuǎn)化為公比為的等比數(shù)列后，再求。解法：把原遞推公式轉(zhuǎn)化為：，其中，再利用換元法轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求解。例7. 已知數(shù)列中，求.解：設(shè)遞推公式可以轉(zhuǎn)化為即.故遞推公式為,令，則,且所以是以為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，則,所以.例8已知數(shù)列滿足求數(shù)列的通項(xiàng)公式；解：是以為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列。即（2）構(gòu)造等差數(shù)列進(jìn)行求解通項(xiàng)公式構(gòu)造等差數(shù)列

5、解法：一般地，要先在原遞推公式兩邊同除以，得：引入輔助數(shù)列（其中），得：再應(yīng)用的方法解決.。例9 已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。解：兩邊除以，得，則，故數(shù)列是以為首項(xiàng)，以為公差的等差數(shù)列，由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，得，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為。點(diǎn)評(píng)：本題解題的關(guān)鍵是把遞推關(guān)系式轉(zhuǎn)化為，說明數(shù)列是等差數(shù)列，再直接利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求出，進(jìn)而求出數(shù)列的通項(xiàng)公式。例10已知數(shù)列中，,，求。解：在兩邊乘以得：令，則,解之得：所以6.倒數(shù)法形如的遞推數(shù)列都可以用倒數(shù)法求通項(xiàng)。例11：例：已知數(shù)列滿足 ，求證：是等差數(shù)列，并求的通向公式。解： ，即 是首項(xiàng)為1，公差為3的等差數(shù)列。 .例題12已知數(shù)列，=

6、， ，求=？解：把原式去倒數(shù)變形得是首項(xiàng)為，d=的等差數(shù)列故。變式練習(xí) 已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。解：求倒數(shù)得為等差數(shù)列，首項(xiàng)，公差為，7. 構(gòu)造數(shù)列，使其為等比數(shù)列。 該類型中 遞推公式為=p+q (p、q均為常數(shù))（又稱二階遞歸），含有三項(xiàng)的遞推關(guān)系解法： 將原遞推公式=p+q，轉(zhuǎn)化為-（-）并且由解出、因此可以得到數(shù)列-是等比數(shù)列。例題13：已知數(shù)列滿足，求的通項(xiàng)公式。解：設(shè) ，即則 與 比較后的得 . 或 .當(dāng)時(shí)，是以為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列。 (). 經(jīng)驗(yàn)證，n=1時(shí)適合上式，. 同理，當(dāng)時(shí)，也得到.綜上知.點(diǎn)評(píng)：解決此類問題主要是要把構(gòu)造的等比數(shù)列找出來，也就是題目中的的值求出來。例題14 已知數(shù)列中a1=1，a2= =-,求數(shù)列的通項(xiàng)公式。解： 令-（-）由解得：1、則由此可得-（-）， a2-a1= -= （-）+（-）+（a2-a1）+a1=+1=3-.3-數(shù)列求通項(xiàng)的常規(guī)解法