高中數(shù)學(xué)競賽專題講座——數(shù)列

1、高中數(shù)學(xué)競賽專題試題講座數(shù)列一、選擇題部分1（2006年江蘇）已知數(shù)列的通項(xiàng)公式，則的最大項(xiàng)是（ B ） 2（2006安徽初賽）正數(shù)列滿足，則 （ ）A、98 B、99 C、100 D、1013. （2006吉林預(yù)賽）對(duì)于一個(gè)有n項(xiàng)的數(shù)列P=(p1，p2，pn)，P的“蔡查羅和”定義為s1、s2、sn、的算術(shù)平均值，其中sk=p1+p2+pk(1kn)，若數(shù)列(p1，p2，p2006)的“蔡查羅和”為2007，那么數(shù)列(1，p1，p2，p2006)的“蔡查羅和”為 （ A ）A. 2007 B. 2008 C. 2006 D. 10044(集訓(xùn)試題)已知數(shù)列an滿足3an+1+an=4(n1)

2、，且a1=9，其前n項(xiàng)之和為Sn。則滿足不等式|Sn-n-6|<的最小整數(shù)n是 （ ） A5B6C7D8解：由遞推式得：3(an+1-1)=-(an-1)，則an-1是以8為首項(xiàng)，公比為-的等比數(shù)列， Sn-n=(a1-1)+(a2-1)+(an-1)=6-6×(-)n，|Sn-n-6|=6×()n<，得：3n-1>250，滿足條件的最小整數(shù)n=7，故選C。5(集訓(xùn)試題)給定數(shù)列xn，x1=1，且xn+1=，則= （ ） A1 B-1C2+D-2+解：xn+1=，令xn=tann，xn+1=tan(n+), xn+6=xn, x1=1，x2=2+, x3=

3、-2-, x4=-1, x5=-2+, x6=2-, x7=1，有。故選A。6、（2006陜西賽區(qū)預(yù)賽）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和分別為，記則數(shù)列的前10項(xiàng)和為 ( C ) A . B. C. D. 7（2006年浙江省預(yù)賽）設(shè)為正整數(shù)n（十進(jìn)制）的各數(shù)位上的數(shù)字的平方之和，比如。記，則 (A) 20 (B) 4 (C) 42 (D) 145. （ D ）解： 將記做，于是有從16開始，是周期為8的周期數(shù)列。故 正確答案為D。二、填空題部分1.數(shù)列的各項(xiàng)為正數(shù),其前n項(xiàng)和滿足,則=_.2（200 6天津）已知都是偶數(shù)，且，若成等差數(shù)列，成等比數(shù)列，則的值等于 194 3. （2006吉林預(yù)賽）如圖所示

4、，在楊輝三角中斜線上方的數(shù)所組成的數(shù)列1，3，6，10，記這個(gè)數(shù)列前n項(xiàng)和為S(n)，則=_。4（2006年江蘇）等比數(shù)列的首項(xiàng)為，公比設(shè)表示這個(gè)數(shù)列的前項(xiàng)的積，則當(dāng) 12 時(shí)，有最大值5. 在軸的正方向上，從左向右依次取點(diǎn)列 ，以及在第一象限內(nèi)的拋物線上從左向右依次取點(diǎn)列，使（）都是等邊三角形，其中是坐標(biāo)原點(diǎn)，則第2005個(gè)等邊三角形的邊長是 2005?！窘狻浚涸O(shè)第n個(gè)等邊三角形的邊長為。則第n個(gè)等邊三角形的在拋物線上的頂點(diǎn)的坐標(biāo)為（， ）。 再從第n個(gè)等邊三角形上，我們可得的縱坐標(biāo)為 。從而有，即有 。由此可得 （1） , 以及 （2）（1）（2）即得 .變形可得 .由于，所以 。在（1）

5、式中取n 1，可得 ，而，故。因此第2005個(gè)等邊三角形的邊長為 。6.(2005年浙江)已知數(shù)列，滿足, 且， 則= 。【解】：由 ，推出 。因此有 .即有 。 從而可得 。7. (2005全國)記集合將M中的元素按從大到小的順序排列，則第2005個(gè)數(shù)是（）A B C D解：用表示k位p進(jìn)制數(shù)，將集合M中的每個(gè)數(shù)乘以，得中的最大數(shù)為。在十進(jìn)制數(shù)中，從2400起從大到小順序排列的第2005個(gè)數(shù)是2400-2004=396。而將此數(shù)除以，便得M中的數(shù)故選C。8（2004 全國）已知數(shù)列滿足關(guān)系式，則的值是_。解：設(shè)即 故數(shù)列是公比為2的等比數(shù)列，。9（2005四川）設(shè)為整數(shù)，集合中的數(shù)由小到大組

6、成數(shù)列：，則131 。解：為整數(shù)且，最小取2，此時(shí)符合條件的數(shù)有，可在中取，符合條件有的數(shù)有同理，時(shí)，符合條件有的數(shù)有時(shí)，符合條件有的數(shù)有時(shí)，符合條件有的數(shù)有時(shí)，符合條件有的數(shù)有因此，是中的最小值，即三、解答題部分1（200 6天津）已知數(shù)列滿足，其中是給定的實(shí)數(shù)，是正整數(shù)，試求的值，使得的值最小【解】令，由題設(shè)，有，且5分 于是，即（）10分又，則當(dāng)?shù)闹底钚r(shí)，應(yīng)有，且即， 15分由（）式，得 由于，且，解得，當(dāng)時(shí)，的值最小 20分2（2006陜西賽區(qū)預(yù)賽）(20分)已知,設(shè),記。 (1)求 的表達(dá)式; (2)定義正數(shù)數(shù)列。試求數(shù)列的通項(xiàng)公式。.3（2006安徽初賽）已知數(shù)列滿足，對(duì)于所有，

7、有，求的通項(xiàng)公式4. （2006吉林預(yù)賽）設(shè)an為一個(gè)實(shí)數(shù)數(shù)列，a1=t，an+1=4an(1an)。求有多少個(gè)不同的實(shí)數(shù)t使得a2006=0。 （ 22004+1）5（2006年南昌市）將等差數(shù)列:中所有能被3或5整除的數(shù)刪去后,剩下的數(shù)自小到大排成一個(gè)數(shù)列,求的值.解:由于,故若是3或5的倍數(shù),當(dāng)且僅當(dāng)是3或5的倍數(shù).現(xiàn)將數(shù)軸正向分成一系列長為60的區(qū)間段:(0,+¥)(0,60(60,120(120,180,注意第一個(gè)區(qū)間段中含有的項(xiàng)15個(gè),即3,7,11,15,19,23,27,31,35,39,43,47,51,55,59.其中屬于的項(xiàng)8個(gè),為:,于是每個(gè)區(qū)間段中恰有15個(gè)的項(xiàng),8個(gè)的項(xiàng),且有,kN,1r8.由于20068×250+6,而,所以.6（2004湖南）設(shè)數(shù)列滿足條件：，且)求證：對(duì)于任何正整數(shù)n，都有 證明：令 ,則有 ，且 ， 于是 由算術(shù)-幾何平均值不等式，可得+注意到 ，可知 ，即 7（2006年上海） 數(shù)列定義如下：，且當(dāng)時(shí)， 已知，求正整數(shù)n解 由題設(shè)易知，又由，可得，當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，；當(dāng)是奇數(shù)時(shí)， （4分）由，所以n為偶數(shù)，于是，所以，是奇數(shù)于是依次可得：， 是偶數(shù)，是奇數(shù)，是偶數(shù)，是奇數(shù)，是偶數(shù)，是偶數(shù)，是奇數(shù)， （9分），是偶數(shù)，是奇數(shù)，是偶數(shù)， ，所以，解得，n238 （14分）13. (2