高校食堂窗口設(shè)置

1、吉林財(cái)經(jīng)大學(xué)2009-2010學(xué)年第二學(xué)期數(shù)學(xué)模型期末試卷考試形式： 論 文 課程模塊： 成績(jī)： 論文題目： 高校食堂窗口設(shè)置問(wèn)題專業(yè)： 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué) 班級(jí)： 0803 姓名： 王艷菊 學(xué)號(hào)： 1101080321 高校食堂窗口設(shè)置問(wèn)題一、摘要 隨著我國(guó)高校的擴(kuò)招及教育事業(yè)的發(fā)展，高校食堂在不斷擴(kuò)大其自身容量的同時(shí)，其在高校發(fā)展中扮演的作用也越來(lái)越重要，同時(shí)高校食堂也面臨著經(jīng)營(yíng)管理方面問(wèn)題的嚴(yán)峻挑戰(zhàn)。高校學(xué)生對(duì)食堂服務(wù)怨聲載道,其中等待時(shí)間過(guò)長(zhǎng)的問(wèn)題尤為突出。如何有效利用有限的人力、物力資源提高服務(wù)質(zhì)量和效率成為高校食堂贏利的關(guān)鍵。在此討論高校食堂服務(wù)系統(tǒng)窗口設(shè)置的優(yōu)化問(wèn)題。根據(jù)各工作日不同

2、時(shí)間段內(nèi)顧客的多少適當(dāng)?shù)卦鰷p窗口，從而在顧客平均等待時(shí)間和銀行服務(wù)窗口數(shù)量之間找到一個(gè)最優(yōu)的狀態(tài)。在顧客等待時(shí)間容許的情況下,使銀行所設(shè)的窗口最少?gòu)亩故程玫氖找孢_(dá)到最大。本文運(yùn)用排隊(duì)論原理針對(duì)高校食堂窗口設(shè)置問(wèn)題建立了多服務(wù)窗口等待制M/ M/ N（即泊松輸入、負(fù)指數(shù)分布服務(wù)、N個(gè)服務(wù)臺(tái)）模型，最終求得了我校應(yīng)在非周末、節(jié)假日設(shè)置7個(gè)食堂窗口；對(duì)于周末、節(jié)假日設(shè)置5個(gè)食堂窗口是使學(xué)生和食堂達(dá)到滿意程度的最優(yōu)窗口設(shè)置數(shù)量。關(guān)鍵詞 排隊(duì)論 食堂窗口 M/ M/ N模型二、問(wèn)題重述 隨著我校辦學(xué)的不斷發(fā)展，后勤工作，特別是直接面對(duì)學(xué)生的食堂工作，顯得日趨重要。我們?cè)谑程贸３？吹竭@樣一種現(xiàn)象：由于在

3、開餐的高峰期，學(xué)生就餐的人數(shù)多，而服務(wù)窗口較少，使得學(xué)生抱怨排隊(duì)等待的時(shí)間太長(zhǎng)。再有，如果服務(wù)窗口太多，對(duì)于食堂來(lái)講浪費(fèi)了一定的人力、物力，不利于食堂向高效益方面發(fā)展。如何使雙方都達(dá)到滿意，這是我們迫切需要解決的實(shí)際問(wèn)題。請(qǐng)運(yùn)用數(shù)學(xué)模型原理解決食堂服務(wù)窗口設(shè)置數(shù)量問(wèn)題。3、 基本假設(shè)與符號(hào)說(shuō)明（1） 基本假設(shè)：（1） 學(xué)生到達(dá)食堂的時(shí)間是獨(dú)立的，服從一種特定的概率分布；（2） 服務(wù)時(shí)間是獨(dú)立的，服從一種特定的概率分布；（3） 所有到達(dá)的學(xué)生都進(jìn)入排隊(duì)系統(tǒng)，并在那里直到服務(wù)結(jié)束；（4） 排隊(duì)系統(tǒng)有一個(gè)無(wú)限隊(duì)列，因此可以容納無(wú)限量的學(xué)生；（5） 學(xué)生服務(wù)優(yōu)先規(guī)則是先到先服務(wù)；（6） 工作時(shí)間足夠長(zhǎng)

4、，能使服務(wù)系統(tǒng)達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)；（7） 每一個(gè)學(xué)生由一個(gè)服務(wù)窗口單獨(dú)提供服務(wù)。（2） 符號(hào)說(shuō)明：學(xué)生到達(dá)強(qiáng)度；：食堂窗口數(shù)量；：食堂中的學(xué)生數(shù)量；：食堂單個(gè)窗口的服務(wù)率；：系統(tǒng)的服務(wù)強(qiáng)度；：隊(duì)長(zhǎng)（平均學(xué)生數(shù)）；：隊(duì)列長(zhǎng)（等待的平均學(xué)生數(shù)）； ：平均忙著的服務(wù)窗口個(gè)數(shù)；：學(xué)生等待時(shí)間 ；：學(xué)生逗留時(shí)間；：學(xué)生等待的概率；：在時(shí)刻系統(tǒng)中有個(gè)顧客（即狀態(tài)為）的概率。3、 模型的建立與求解3.1模型原理： 排隊(duì)論是研究排隊(duì)系統(tǒng)的理論，又稱為隨機(jī)系統(tǒng)的理論，它提供了很多不同的排隊(duì)模型，通過(guò)這些排隊(duì)模型能夠找到服務(wù)成本和服務(wù)水平之間較好的平衡。排隊(duì)系統(tǒng)是由輸入過(guò)程、排隊(duì)規(guī)則和服務(wù)方式等3個(gè)組成部分。輸入過(guò)程指

5、各種類型的顧客按怎樣的規(guī)律到來(lái).主要類型有定長(zhǎng)輸入、泊松輸入和愛(ài)爾朗輸入。其中泊松輸入適用最廣泛。排隊(duì)規(guī)則指到達(dá)的顧客按怎樣的次序接受服務(wù)。主要有損失制、等待制和混合制。服務(wù)方式指同一時(shí)刻有多少服務(wù)臺(tái)可接納顧客,每一顧客服務(wù)了多長(zhǎng)時(shí)間。主要有定長(zhǎng)分布、負(fù)指數(shù)分布、愛(ài)爾朗分布幾種方式。 排隊(duì)現(xiàn)象是指顧客以特定的或變化不定的速度到來(lái),按照一定的服務(wù)規(guī)則接受服務(wù)員服務(wù)的過(guò)程。排隊(duì)系統(tǒng)是指存在著排隊(duì)現(xiàn)象的系統(tǒng)。主要研究和計(jì)算的數(shù)量指標(biāo)有: (1)隊(duì)長(zhǎng),系統(tǒng)中的全部顧客數(shù)； (2)隊(duì)列長(zhǎng),系統(tǒng)中排隊(duì)的顧客數(shù)； (3)顧客在系統(tǒng)中的逗留時(shí)間,包括顧客排隊(duì)等候及被服務(wù)的時(shí)間； (4)顧客在系統(tǒng)內(nèi)排隊(duì)等候時(shí)間

6、； (5)忙期,指服務(wù)機(jī)構(gòu)連續(xù)接待顧客的時(shí)間長(zhǎng)度,即指服務(wù)強(qiáng)度。為了敘述方便,引入下列記號(hào):令M代表泊松輸入或負(fù)指數(shù)分布服務(wù),于是泊松輸入、負(fù)指數(shù)分布服務(wù)、N個(gè)服務(wù)臺(tái)的排隊(duì)系統(tǒng)寫成M/ M/ N。單服務(wù)窗等待質(zhì)排隊(duì)模型（M/ M/ 1)排隊(duì)模型M/ M/ 1表示顧客源為有限的，顧客的到達(dá)相互獨(dú)立，到達(dá)規(guī)律服從參數(shù)的泊松分布；單服務(wù)臺(tái)，隊(duì)長(zhǎng)無(wú)限，先到先服務(wù)；各顧客的服務(wù)時(shí)間相互獨(dú)立，且服從參數(shù)為的負(fù)指數(shù)分布。1. 確定系統(tǒng)在任意時(shí)刻的狀態(tài)為的概率已知顧客的到達(dá)規(guī)律服從參數(shù)為的泊松分布，服務(wù)時(shí)間服從參數(shù)為的負(fù)指數(shù)分布；若有個(gè)顧客，只有一個(gè)接受服務(wù)，其余的顧客排隊(duì)等待，有無(wú)限個(gè)位置可排隊(duì)，于是在時(shí)間

7、間隔內(nèi)有：1） 有一個(gè)顧客到達(dá)的概率為.2） 沒(méi)有一個(gè)顧客到達(dá)的概率為.3） 有一個(gè)顧客被服務(wù)完的概率為.4） 沒(méi)有一個(gè)顧客被服務(wù)完的概率為.5） 多余一個(gè)顧客到達(dá)或服務(wù)完離去的概率為。則在時(shí)刻系統(tǒng)中有個(gè)顧客（即狀態(tài)為）的概率，可能的情況見(jiàn)表一。表一 狀態(tài)的概率情況時(shí)刻的顧客數(shù)在區(qū)間在時(shí)刻的顧客數(shù)到達(dá)離去（A）（B）（C） (D) × × × ×這是一個(gè)生滅過(guò)程，四種情況是相互獨(dú)立的事件，則有，整理得，并令，則得，當(dāng)時(shí)，類似地，可有，為求穩(wěn)態(tài)解，假設(shè)當(dāng)時(shí)，的極限存在，即有，則，這是關(guān)于的差分方程，也反映了系統(tǒng)狀態(tài)的轉(zhuǎn)移關(guān)系，即每一狀態(tài)都是平衡的，見(jiàn)圖一。

8、求得，遞推可得. 圖一 M/ M/ 1的狀態(tài)轉(zhuǎn)移關(guān)系圖令，稱為服務(wù)強(qiáng)度。即為平均到達(dá)率與平均服務(wù)率之比。由概率的性質(zhì)：，即，于是就是所求的系統(tǒng)狀態(tài)為的概率。2. 系統(tǒng)的運(yùn)行指標(biāo)（1）隊(duì)長(zhǎng)（平均顧客數(shù)）：因?yàn)橄到y(tǒng)的狀態(tài)為，由期望的定義得.（2） 隊(duì)列長(zhǎng)（等待的平均顧客數(shù)）：，（3） 系統(tǒng)中顧客的逗留時(shí)間：系統(tǒng)中的一個(gè)顧客的逗留時(shí)間，服從于參數(shù)為的負(fù)指數(shù)分布，分布函數(shù)和分布密度分布為，所以有.（4） 系統(tǒng)中顧客的等待時(shí)間：，其中一個(gè)顧客平均服務(wù)時(shí)間為.(5) 系統(tǒng)內(nèi)多余個(gè)顧客的概率為.下列關(guān)系式又稱為運(yùn)行指標(biāo)的Little公式：.多服務(wù)窗等待質(zhì)排隊(duì)模型（M/ M/ N)上面分析的是只有一個(gè)窗口服務(wù)

9、的情形，對(duì)于我們來(lái)講高校食堂的服務(wù)窗口大體是這樣的，見(jiàn)圖二：圖二 高校食堂窗口設(shè)置圖這個(gè)系統(tǒng)可看成n個(gè)M/ M/ 1型的子系統(tǒng)。每個(gè)窗口的平均服務(wù)率不變，則每個(gè)窗口的平均到達(dá)率為，這時(shí)每個(gè)窗口的服務(wù)強(qiáng)度變?yōu)?類似的我們可求出每個(gè)窗口的平均隊(duì)長(zhǎng)和平均等待時(shí)間為，.3.2 問(wèn)題分析：對(duì)于學(xué)生到達(dá)食堂時(shí),當(dāng)其未能得到及時(shí)服務(wù)時(shí),往往要排隊(duì)等待,這就可以用排隊(duì)論的有關(guān)原理來(lái)解決食堂窗口配置的問(wèn)題。根據(jù)學(xué)生到達(dá)食堂的實(shí)際情況,周末或者節(jié)假日超市的學(xué)生數(shù)要比平時(shí)相應(yīng)的時(shí)間人數(shù)有明顯的減少。為便于研究,可以把學(xué)生到達(dá)看做符合泊松過(guò)程,而服務(wù)時(shí)間服從負(fù)指數(shù)分布。因此,進(jìn)一步說(shuō)食堂服務(wù)系統(tǒng)可近似看做M/ M/

10、N排隊(duì)系統(tǒng),即顧客到達(dá)為泊松流、服務(wù)時(shí)間服從負(fù)指數(shù)分布、多個(gè)服務(wù)臺(tái)的排隊(duì)系統(tǒng)。設(shè)系統(tǒng)有n個(gè)服務(wù)窗口，且各窗口工作是相互獨(dú)立的，學(xué)生按泊松流到達(dá)的強(qiáng)度為；又各窗口服務(wù)時(shí)間為負(fù)指數(shù)分布，單個(gè)窗口的平均服務(wù)率為，則整個(gè)食堂窗口的平均服務(wù)率為。令，稱為系統(tǒng)的服務(wù)強(qiáng)度。當(dāng)時(shí)，系統(tǒng)就會(huì)出現(xiàn)排隊(duì)現(xiàn)象，即有學(xué)生在排隊(duì)等待。在此約定只排一個(gè)隊(duì)等候，拿個(gè)窗口出現(xiàn)空閑時(shí)，等候的學(xué)生按先后順序前往空閑的食堂窗口接受服務(wù)。系統(tǒng)的排隊(duì)模型如圖三。圖三 多服務(wù)窗口等待制模型M/ M/ n框圖由于系統(tǒng)沒(méi)有限制學(xué)生來(lái)源和系統(tǒng)容量，故系統(tǒng)的可能狀態(tài)集應(yīng)為，由此可以畫出系統(tǒng)的狀態(tài)流圖如圖四。圖四 M/ M/ n模型狀態(tài)流圖如圖四所

11、示，狀態(tài)表示系統(tǒng)內(nèi)有個(gè)服務(wù)窗口忙著接待學(xué)生，其余個(gè)服務(wù)窗口空閑著；當(dāng)(到達(dá)系統(tǒng)的學(xué)生超過(guò)）時(shí)，個(gè)服務(wù)窗口均忙著接待學(xué)生，而余下的個(gè)學(xué)生排隊(duì)等候。3.2 模型的建立在平衡條件下，系統(tǒng)狀態(tài)概率的平衡方程為 ， ， ， 。由遞推關(guān)系求得系統(tǒng)的狀態(tài)概率為 當(dāng)時(shí)，由有 ，于是 則可求得系統(tǒng)的運(yùn)行指標(biāo)（1） 隊(duì)列長(zhǎng) （2） 平均忙著的服務(wù)窗口個(gè)數(shù) （3） 隊(duì)長(zhǎng) （4） 學(xué)生等待時(shí)間 （5） 學(xué)生逗留時(shí)間 （6） 學(xué)生等待的概率 服務(wù)強(qiáng)度,它反映了工作人員的工作強(qiáng)度，其值越大,說(shuō)明服務(wù)隊(duì)列越長(zhǎng),工作人員空閑時(shí)間越少；反之則隊(duì)列越短,工作人員空閑時(shí)間越多，若,則認(rèn)為系統(tǒng)不穩(wěn)定,排隊(duì)長(zhǎng)度會(huì)越來(lái)越長(zhǎng)。3.3 模型

12、的求解 我們采集了兩組數(shù)據(jù):（1）平時(shí)（周末、節(jié)假日除外):學(xué)生平均到達(dá)率為:720人/小時(shí),每個(gè)服務(wù)窗口平均服務(wù)率為180人/小時(shí)；（2) 周末、節(jié)假日：學(xué)生平均到達(dá)率為:504人/小時(shí),每個(gè)服務(wù)窗口的服務(wù)率仍為180人/小時(shí)。使用Matlab軟件進(jìn)行編程，如下：functionP0,PN,lendaeff,Ls,Lq,Ws,Wq=model1lenda=input('請(qǐng)輸入到達(dá)速率：');mhu=inpurt('請(qǐng)輸入服務(wù)速率：');n=input('請(qǐng)輸入窗口個(gè)數(shù)：');rho=lenda/mhu;P0=(1-rho)/(1-rho(n+1

13、);lendaeff=mhu(1-P0);u=n;for i=1:u s1=u*(u-1); u=u-1;endfor i=0:no=m-ai;endfor i=1:os2=o*o-1;o=o-1;Ends3=symsun(s1/s2,0,n)P0=(1/s3)*rhoai;PN=(s1/s2)*rhon*P0;Ls=n-rho(1-P0);Lq=Ls-(1-P0);Ws=Ls/lendaeff;Wq=Lq/lendaeff;P0PNLsLqWsWq求得結(jié)果如下：圖五 計(jì)算結(jié)果圖 3.4 結(jié)果分析 如果服務(wù)強(qiáng)度,系統(tǒng)不穩(wěn)定,肯定會(huì)有越來(lái)越多的人排隊(duì)等待。因此我們只計(jì)算了服務(wù)強(qiáng)度的情形。 從M/

14、 M/ N系統(tǒng)服務(wù)指標(biāo)表中可以看出:平時(shí)如果配備6個(gè)服務(wù)窗口,學(xué)生需要滯留等候約107.8秒,而工作人員的服務(wù)強(qiáng)度為0.933,就是說(shuō),工作人員工作效率很高,有較少的空閑時(shí)間,但顧客得到服務(wù)較慢,等待的時(shí)間較長(zhǎng)；若配備7個(gè)服務(wù)窗口,則學(xué)生等待時(shí)間約為27.1秒,工作人員強(qiáng)度減小,有較多的休整時(shí)間。若配備8個(gè)服務(wù)窗口,則學(xué)生幾乎無(wú)需排隊(duì)即可得到服務(wù),但工作人員的工作時(shí)間顯得松散.因此,平時(shí)配備7個(gè)服務(wù)窗口較適合；對(duì)于周末、節(jié)假日,我們同樣可以分析出配備5六個(gè)服務(wù)窗口為佳,此時(shí)顧客只需排隊(duì)等待約23秒,就可得到服務(wù),而工作人員的工作強(qiáng)度也適中。因此,在沒(méi)有其他條件限制的情況下,食堂管理層應(yīng)適時(shí)的調(diào)

15、整窗口的設(shè)置,非周末、節(jié)假日采用M/ M/ 7系統(tǒng)；對(duì)于周末、節(jié)假日采用M/ M/ 5系統(tǒng)。 四、模型的評(píng)價(jià)及推廣 本文分別統(tǒng)計(jì)了我校食堂在平時(shí)和周末、節(jié)假日時(shí)的學(xué)生平均到達(dá)率和每個(gè)服務(wù)窗口平均服務(wù)率，利用排隊(duì)論的有關(guān)知識(shí)分析了高校食堂系統(tǒng)的特點(diǎn),結(jié)合d單服務(wù)窗口等待制排隊(duì)模型M/ M/ 1構(gòu)建了多服務(wù)窗口等待制排隊(duì)模型M/ M/ N 針對(duì)高校食堂窗口設(shè)置問(wèn)題建立數(shù)學(xué)模型,通過(guò)求解數(shù)學(xué)模型,得到模型的最優(yōu)解決方案。該模型在滿足學(xué)生要求和食堂規(guī)定的情況下對(duì)窗口設(shè)置進(jìn)行了優(yōu)化,減少了人力資源和財(cái)力資源的浪費(fèi)。該模型具有一定的普遍性,日常生活中經(jīng)?？梢杂龅竭@種現(xiàn)象：在火車站售票處乘客依次購(gòu)買車票，醫(yī)