不可壓縮流體平面勢流

1、不可壓縮流體平面勢流不可壓縮勢流的勢函數(shù)方程和流函數(shù)方程不可壓縮勢流的勢函數(shù)方程和流函數(shù)方程9.1.1 9.1.1 勢函數(shù)勢函數(shù): : 在流場中存在一個函數(shù),它的方向導數(shù)分別等于該方向的流動分速，這一函數(shù)就稱為速度勢函數(shù)，簡稱勢函數(shù)或速度勢 勢函數(shù)只有在無旋流中才存在。即某一流動勢無旋的，則這一流動就是有勢的 ,即流場中流體微團的旋轉速度處處為零 yxVxyV21zxzVzxV21yzyVyzV21x有各方向上的旋轉速度為則可得:zVyVyz， xVzVzxyVxVxy勢函數(shù)的定義知,存在),( zyx它的方向導數(shù)zyxVVV,zyx,分別等于該方向的流動分速 Vgrad, ,即 zVyzzy

2、zyyVyz2xVzxxzxzzVzx2yVxyyxyxxVxy2如果速度勢是具有連續(xù)導數(shù)的單值函數(shù)，則上述無旋條件即可得到： 在無旋定常流中，勢函數(shù)只是空間坐標的函數(shù)，所以勢函數(shù)的全微分可以表示為：dzVdyVdxVdzdydxdzyxzyx注意：注意：在無旋流中必存在勢函數(shù)。反之，如果流場中存在勢函數(shù)，則該流場一定是無旋流。所以無旋流與有勢流是等價的。9.1.2 9.1.2 平面流的流函數(shù)平面流的流函數(shù)在平面流中，如果該流動滿足連續(xù)方程，則在這平面流中就存在一個流函數(shù) ，它的作用與有勢流中的勢函數(shù)類似，也可以用來描述整個流場。 平面流的流函數(shù)存在條件是滿足連續(xù)方程： 0 yVxVyxyxV

3、dyVdxdyVdxVxy對于平面流，流線方程可以寫成即由于式(9.4) 是式 (9.5) 的左邊為某一函數(shù)對坐標全微分的充分必要條件，我們記這個函數(shù)為，稱為流函數(shù)。則有 0dyVdxVxy),(yxdyVdxVdyydxxdxyxVyyVx即 一旦一個連續(xù)流場的流函數(shù)得知后，通過交叉偏導數(shù)可以得到平面流的速度分布，再由柏努利方程即可求得全場的壓強分布。因此找到一個特定的平面流的流函數(shù)，就等于知道了該流場的速度、壓強。注意注意: :一切平面流動的流場，不論是無粘流體還是有粘流體，也不論是有旋流動還是無旋流動，只要它滿足連續(xù)方程(94)，都存在著流函數(shù) .但是，只有無旋流動才存在勢函數(shù)。因此，對

4、于平面流動，流函數(shù)具有更普適的意義，它是研究平面流的有力工具。 勢函數(shù)方程和流函數(shù)方程拉普拉斯方程勢函數(shù)方程和流函數(shù)方程拉普拉斯方程9.1.3.1 9.1.3.1 勢函數(shù)方程勢函數(shù)方程 在平面定常無旋流中，同時存在勢函數(shù)和流函數(shù) ，如果將勢函數(shù)與速度的關系 : 即 和 VxVxyVy將之代入連續(xù)方程(9.4)，則有0 2222yxyyxxyVxVyx即可記為0 2 即是不可壓平面勢流的勢函數(shù)方程，該方程為拉普拉斯方程。說明平面不可壓勢流的勢函數(shù)是調(diào)和函數(shù)。在勢函數(shù)和流函數(shù)同時存在的條件下，流場中任意點的速度可表示為:0zyxVxyVyx9.1.3.2 9.1.3.2 流函數(shù)方程流函數(shù)方程 將流

5、函數(shù) 與速度的關系(9.7)式代入無旋關系 的式中，有02222yxxxyyxVyVyx02即為: 在推導上述方程時我們使用了無旋條件，因此流函數(shù)方程只是在平面定常不可壓勢流的情況下才存在。如果平面流是有旋的，那么該流動有流函數(shù)存在，但是此時流函數(shù)并不滿足拉普拉斯方程。 等勢線和等流函數(shù)線的正交性等勢線和等流函數(shù)線的正交性等勢函數(shù)線等勢函數(shù)線是是指 的曲線 ，沿等勢線 ， 即C 0d0dyVdxVdyydxxdyx由上式，可得到等勢線在流場中任意點(x,y) 的斜率 yxCVVxdyd等流函數(shù)等流函數(shù)是指 的曲線，即流線，沿等流函數(shù)， 即C 0d0dyVdxVdyydxxdxy等流函數(shù)線在流場

6、中任意點 (x,y) 的斜率 xyCVVxdyd等勢線和等流函數(shù)線在點(x,y ) 的斜率乘積 由此可見，在平面定常不可壓勢流中，等勢線和等流函數(shù)線正交。 1 xyyxCCVVVVxdydxdyd平面勢流疊加原理和幾種簡單的平面勢流疊加原理和幾種簡單的平面定常勢流平面定常勢流勢流疊加原理勢流疊加原理 面不可壓勢流的勢函數(shù)方程和流函數(shù)方程均是拉普拉斯方程，而拉普拉斯方程是線形方程，線形方程有一個重要的特征，即方程解的可疊加性。兩個或數(shù)個拉普拉斯方程解的和或差仍是拉普拉斯方程的解。的勢函數(shù)，從而獲得復雜勢流的解。這樣，我們就可以用一些簡單的勢函數(shù)疊加來獲得一個復雜勢流 函數(shù)分別為 和 的兩個有勢流

7、動，根據(jù)勢函數(shù)的性質，它們都滿足拉普拉斯方程，即可得到210)( )( 22122212yx即為0)(212兩個勢流疊加，得到一個速度勢為 的新的復合流動，并且新的復合勢流的速度場也可以直接將各簡單勢流速度場疊加而得212121)(xxxVVxxxxV21 21 212121)(yyyVVyyyyV 類似地，新的復合勢流的流函數(shù) ， 等于兩個原來的簡單流動流函數(shù)之和。 均勻直線流動均勻直線流動 設一平面流動的速度在全場處處相同，它與軸的夾角為，則它的兩個分速分別為：bVVaVVyxsincos式中a,b為常數(shù) 這是一個無旋流動，同時又滿足連續(xù)方程，利用勢函數(shù)和流函數(shù)的性質，有dybdxadyV

8、dxVdyydxxdyxdyadxbdyVdxVdyydxxdxy 積分這兩式，得到 如果取 (0,0)點的 則有 即 于是有等勢線和流線方程分別為 則有流線和 等勢線如右圖所示21CxbyaCybxa0, 0021CCxbyaybxaConstxbyaConstybxaxy圖圖9.1 9.1 均勻平行流均勻平行流點源和點匯點源和點匯2222vvrqqVrxy其分速為22cos22vvxrqqxxVVr rxy22sin22vvyrqqyyVVr rxy 設在無限大平面上，流體以一恒定的體積流量 ， 源源不斷地從一個點沿徑向向四周均勻地流出，這種流動稱為點點源，源，這個點稱為源點。源點。 稱為

9、點源強度； 若為負值，則意味著流體沿徑向均勻地從四周流入一點，這種流動稱為點匯。點匯。 若將坐標原點作為源點或匯點，顯然，在這種流動中，從源點流出或向匯點流入都只有徑向速度 ,切向速度為0rVvqvqvq根據(jù)以上速度分布，就可以容易地求出點源 (點匯) 的勢函數(shù)和流函數(shù)來：222222()24vvxyqqxdxydyd xydV dx V dyxyxy222( / )221 ( / )vvyxqqxdyydxd y xdV dx V dyxyy x積分之，得到 22ln()ln42vvqqxyr122vvqqytgx點源 (點匯) 的等勢線是 的一族同心圓，而等流函數(shù)線則是從源匯點發(fā)出的射線，

10、如圖9.2 所示。 Cr 注意注意: : 點源和點匯都是無旋流動，即勢流。圖 點源 (點匯)動畫演示動畫演示PLAYPLAY點渦（有勢渦）點渦（有勢渦）點渦點渦: :形式上，流體在作旋轉運動，但是除了原點以外，本質上這是一種無旋流動，故我們稱這種渦流為有勢渦。點渦的徑向速度為零，而切向速度與半徑成反比，它的流線是同心圓，等勢線是射線，因此，它的兩個分速可以表示為： 0, 2rVrV式中 稱為點渦強度。 取正值表示流動為逆時針方向轉動，負值表示順時針方向轉動。上式表明，其切向速度與半徑成反比，離圓心越遠，流速越小。位于坐標原點的點渦的勢函數(shù)和流函數(shù)分別為xytg1 2222ln22rlnxy根據(jù)

11、速度勢的性質，由速度勢即可求得直角坐標下的各分速 即yxVV ,222yxyxVx222yxxyVy02221212222yxyyyxxxyVxVxyz點渦運動是無旋運動即有勢運動，除原點以外的流場旋轉角速度為零 在原點， ，因此在原點附近的流動是有旋的 .Vr,0同理,可以求得極坐標下的速度和角速度表達式幾種簡單平面勢流的疊加勢流幾種簡單平面勢流的疊加勢流 螺旋流螺旋流( (點源或點匯點渦點源或點匯點渦) ) 將平面勢流點源(或點匯)流動和平面勢流點渦流動疊加便得到一種新的平面勢流，稱為螺旋流或源環(huán)流(匯環(huán)流)，螺旋流中流體既作旋轉運動，同時又作徑向運動，它的軌跡呈螺旋狀，故稱螺旋流螺旋流。

12、根據(jù)勢流疊加原理，螺旋流的勢函數(shù)和流函數(shù)分別為：ln 22vqr ln22vqr由流函數(shù)便可得到流線方程 該式可以寫為 lnvqrCvqCre這是一族對數(shù)螺線，它的速度分布為22vrqVrrVrr 流體一面在作徑向運動，一面又在作旋轉運動，二者的合成運動即為螺旋運動。 偶極流偶極流( (點源點匯點源點匯) )為了研究疊加以后的流場，首先研究圖所示的源匯疊加問題。此時源點和匯點相距 。則在流場中任意點 處的勢函數(shù)為點源和點匯的勢函數(shù)之和2),( yxM 將強度為 和- 的點源和點匯無限地靠近并疊加起來，得到一種新的有勢流動，這種流動稱為偶極流。偶極流。 vqvq112122(lnln)ln22v

13、vqrrrqr1r2r式中式中 和和 為為M M點至源點和匯點的距離。由圖可知點至源點和匯點的距離。由圖可知221222)()(yxryxr2222222222 () ()4lnlnln 12()4()4()vvvxyxyxxyxxqqyyq代入得代入得若使源點和匯點無限地接近，即若使源點和匯點無限地接近，即 ，并將上式按級數(shù)，并將上式按級數(shù) 展開，并近似取第一項，可展開，并近似取第一項，可得得03/2/)1ln(32zzzz2244()vqxxy當當點源和點匯無限靠近時，令源、匯的強度 不斷增大，即 時 ，但二者乘積的極限趨于某一常值，保持 常數(shù)，M稱為偶極流的偶極矩，偶極矩，或稱為偶極子的

14、強度。于是有偶極流的勢函數(shù)表達式 0vq 2vqM222yxxM1212( )2vqxytgxytg21,2222222121212)()(1)(yxyyxxyxytgtgtgtgtg偶極流的流函數(shù)也可用類似的方法求得： 代入流函數(shù)表達式，并用級數(shù)展開，保留第一項，得到vq當點源和點匯無限靠近時，令源、匯的強度 不斷增大，即 時 ，但二者乘積的極限趨于某一常值，保持 常數(shù)。于是得到偶極流的流函數(shù)為122222222 22vvqqyytgxyxy 0vq 2vqM222yxyM從偶極流的勢函數(shù)表達式(9.22)和流函數(shù)表達式(9.23)可以看出，等勢線和流線都是圓。并且兩者正交.還可以得到得到偶

15、極流的兩個速度分量： 22222)(2)(yxxyMxVx222)(2)2(yxyxMyVyvq不帶環(huán)量的圓柱繞流不帶環(huán)量的圓柱繞流 ( (均勻直線流偶極流均勻直線流偶極流) ) 我們將一個均勻平行流和偶極流疊加，就可以得到理想流體繞圓柱的平面有勢流動。圖繪出了這兩個勢流疊加后流動的示意圖。 圖圖9.5 9.5 均勻平行流偶極流理想流體繞均勻平行流偶極流理想流體繞圓柱的流動圓柱的流動對于一個流動平行于 x 軸的流速為 的均勻平行流，其流函數(shù)和勢函數(shù)分別為：VxVyV11, 2222222, 2yxxMyxyM)(212222221yxVMyVyxyMyV)(212222221yxVMxVyxx

16、MxV對于偶極流，它的流函數(shù)和勢函數(shù)則分別為 根據(jù)勢流疊加原理，新構成的勢流的勢函數(shù)、流函數(shù)分別為上述勢流的勢函數(shù)、流函數(shù)的代數(shù)和。由上述流函數(shù)公式可知，在y=0 及半徑為R的圓柱上，流函數(shù) 等于零，這是一條零流線，由此得到代入上述流函數(shù)和勢函數(shù)公式得復合流動的流函數(shù)和勢函數(shù)表達式 : RVM2rRrVrRyV222sin1rRrVrRxV222cos109-249-251 1 零流線零流線令(9.24) 式為零，即 ，有 y=0 及r=R 兩個解，顯然零流線是 x軸和半徑為R 的圓柱面，即零流線是一條從負無窮遠沿軸來的流線，在圓柱的前駐點與圓柱相撞，分為圖圖9.6 9.6 零流線零流線分為上

17、下兩條流線，研圓柱的上表面和下表面流動，然后在圓柱的后駐點又匯合成一條流線，再沿x 軸正向朝正無窮遠流去。 2 2 遠場流動遠場流動 將勢函數(shù)表達式 (925)分別對x,y求偏導數(shù)，可得這兩個方向的分速為 2222222222sincos1)(rRVyxyxRVVxVx222222sincos2)(2rRVyxyxRVyVyr 由上兩式可知，當時 ， ，這表明，在離圓柱體無窮遠處，流體速度是平行于 x軸的流動，且等于均勻平行來流的速度 。這有力地說明，復合速度勢是代表了圓柱繞流問題。0,yxVVVV3 3圓柱表面流動圓柱表面流動 將速度勢對徑向和切向求偏導數(shù)，得到復合流動的徑向和切向分速：)1

18、 (cos22rRVrVr)1 (sin22rRVrV在圓柱表面， ，根據(jù)上兩式，可得 ，這表明在圓柱表面這新的復合流動是緊緊貼著圓柱表面的，各處的流動速度與圓柱表面相切。在前駐點， ，在后駐點 ，圓柱表面各點的絕對速度 ，當 ，圓柱表面的速度大小只與角度 有關。 又一次證明這復合流動是理想流體繞圓柱的流動。Rrsin2, 0VVVr0,V0, 0Vsin2 VVVV2, 2 /4 4圓柱表面壓強分布圓柱表面壓強分布因為這復合流動是有勢流，故柏努利方程全場滿足。若建立無窮遠處與圓柱表面的柏努利方程，則可以導出圓柱表面的壓強分布規(guī)律來： )sin4(2121212222VpVpVpss)sin41 (21)sin4(212122222VpVVpps2