2013隨機(jī)過程課件chapter

1、 概率論復(fù)習(xí)概率論復(fù)習(xí)三、三、 隨機(jī)變量（隨機(jī)向量）隨機(jī)變量（隨機(jī)向量）的數(shù)字特征的數(shù)字特征 隨機(jī)變量的概率分布完全由其分布函數(shù)描述，隨機(jī)變量的概率分布完全由其分布函數(shù)描述，但是如何確定分布函數(shù)卻是相當(dāng)麻煩的。在但是如何確定分布函數(shù)卻是相當(dāng)麻煩的。在實(shí)際問題中，我們有時只需要知道隨機(jī)變量實(shí)際問題中，我們有時只需要知道隨機(jī)變量的某些特征值就夠了。所謂隨機(jī)變量的數(shù)字的某些特征值就夠了。所謂隨機(jī)變量的數(shù)字特征，是指聯(lián)系于它的分布函數(shù)的某些數(shù)字，特征，是指聯(lián)系于它的分布函數(shù)的某些數(shù)字，如平均值、最大可能值等，它們反映隨機(jī)變?nèi)缙骄?、最大可能值等，它們反映隨機(jī)變量的某方面的特征。量的某方面的特征。 w2

2、022-3-6w鄭州大學(xué)信息工程學(xué)院w2w2022-3-6w鄭州大學(xué)信息工程學(xué)院w3 xF xdFx EXxdFx設(shè)設(shè)X是一個隨機(jī)變量是一個隨機(jī)變量，是其分布函數(shù)，若是其分布函數(shù)，若 ，則稱則稱為隨機(jī)變量為隨機(jī)變量X 的數(shù)學(xué)期望或均值的數(shù)學(xué)期望或均值。 可將可將E E看作一個算符或算子看作一個算符或算子數(shù)字特征易測，數(shù)字（而不是函數(shù)）表示形象數(shù)字特征易測，數(shù)字（而不是函數(shù)）表示形象若若X X是離散型隨機(jī)變量，其分布值為是離散型隨機(jī)變量，其分布值為則則若若X X是連續(xù)型隨機(jī)變量，其概率密度函數(shù)為是連續(xù)型隨機(jī)變量，其概率密度函數(shù)為 ，則則 w2022-3-6w鄭州大學(xué)信息工程學(xué)院w4,1,2,ii

3、P Xxp iiiiEXx p xfE Xxfx d x w2022-3-6w鄭州大學(xué)信息工程學(xué)院w5w因?yàn)橐驗(yàn)閜(1)=p(2)=p(3)=p(4)=p(5)=p(6)=1/6p(1)=p(2)=p(3)=p(4)=p(5)=p(6)=1/6EX=1(1/6)+2(1/6)+3(1/6)+4(1/6)+EX=1(1/6)+2(1/6)+3(1/6)+4(1/6)+5(1/6)+6(1/6)=7/2=3.55(1/6)+6(1/6)=7/2=3.501xE Xxedx設(shè)設(shè)X X是一隨機(jī)變量，其分布函數(shù)為是一隨機(jī)變量，其分布函數(shù)為 ， 是連續(xù)函數(shù)，如果是連續(xù)函數(shù)，如果 存在存在，則則 w2022

4、-3-6w鄭州大學(xué)信息工程學(xué)院w6 xF xgy xdFxg xdFxgzgEEY設(shè)設(shè)X=( ) ) 是是n n維隨機(jī)變量，其聯(lián)合分維隨機(jī)變量，其聯(lián)合分布函布函 數(shù)為數(shù)為 ， 連續(xù)函數(shù)連續(xù)函數(shù), ,如如 果果 存在，則存在，則 w2022-3-6w鄭州大學(xué)信息工程學(xué)院w7nXXX,21 nxxxF,21nxxxg,21 nnxxxdFxxxg,2121 nnnxxxdFxxxgxxxgE,212121w2022-3-6w鄭州大學(xué)信息工程學(xué)院w812YaXbX 212121,21dxdxxxfbxaxYExx2121221211,2121dxdxxxfxbdxdxxxfxaxxxx 122112

5、1,xfdxxxfxxx所以，上式變成 12E YaE XbE X因因 可見，加權(quán)和的期望等于加權(quán)期望的和。這對可見，加權(quán)和的期望等于加權(quán)期望的和。這對n n維隨機(jī)變量維隨機(jī)變量的情況也是適用的。這說明了：求數(shù)學(xué)期望是線性運(yùn)算；的情況也是適用的。這說明了：求數(shù)學(xué)期望是線性運(yùn)算；這里沒有規(guī)定隨機(jī)變量之間非要相互獨(dú)立不可，所以加權(quán)這里沒有規(guī)定隨機(jī)變量之間非要相互獨(dú)立不可，所以加權(quán)和的期望等于期望的加權(quán)和，它不受兩個隨機(jī)變量是否相互和的期望等于期望的加權(quán)和，它不受兩個隨機(jī)變量是否相互獨(dú)立的限制。獨(dú)立的限制。 |E|kXEkkXm |E|kkXEkkXEX w2022-3-6w鄭州大學(xué)信息工程學(xué)院w9

6、K K階原點(diǎn)矩，階原點(diǎn)矩，k k階中心矩階中心矩定義定義：設(shè)設(shè)X X是隨機(jī)變量，若是隨機(jī)變量，若則稱則稱為隨機(jī)變量為隨機(jī)變量X X的的k k階原點(diǎn)矩階原點(diǎn)矩為為X X的的k k階原點(diǎn)絕對矩階原點(diǎn)絕對矩為為X X的的k k階中心矩階中心矩由定義知：均值為一階原點(diǎn)矩，而方由定義知：均值為一階原點(diǎn)矩，而方差為二階中心矩差為二階中心矩miikikkxXxXm1PE xxfxXmXkkkdE niikikxXXx1PE xxfXxXkkdEw2022-3-6w鄭州大學(xué)信息工程學(xué)院w10離散型隨機(jī)變量原點(diǎn)距離散型隨機(jī)變量中心矩連續(xù)型隨機(jī)變量原點(diǎn)矩連續(xù)型隨機(jī)變量中心矩矩的重要性：如果對于所有的K， 存在且已

7、知，則由 的集合，可以唯一的確定隨機(jī)變量X的概率分布函數(shù)。kXEkXEnkkknknknnkknkknknnmmCXXC0101EE1!knknCknnkknkknnmCm01w2022-3-6w鄭州大學(xué)信息工程學(xué)院w11EKjYXmnnmknjmKjyYxXPyxYX,E yxyxfyxYXXYkjkjdd,Ew2022-3-6w鄭州大學(xué)信息工程學(xué)院w12兩個隨機(jī)變量X,Y，其聯(lián)合矩當(dāng)X,Y為離散型隨機(jī)變量時：當(dāng)X,Y均為連續(xù)型隨機(jī)變量時：一個特別重要的聯(lián)合矩是互相關(guān)矩一個特別重要的聯(lián)合矩是互相關(guān)矩EXYEEEYYXXCXYw2022-3-6w鄭州大學(xué)信息工程學(xué)院w13中心化的兩個隨機(jī)變量X-EX，Y-EY的互相關(guān)矩稱為隨機(jī)變量X,Y的協(xié)方差協(xié)方差描述隨機(jī)變量X,Y的概率相關(guān)程度若CXY=0，表明X，Y之間不相關(guān)CXY=0 即 EXY=EXEY若EXjYk=EXjEYk，則X，Y相互統(tǒng)計(jì)獨(dú)立故，X，Y統(tǒng)計(jì)獨(dú)立意味著X，Y不相關(guān)，但反之不成立；說明不相關(guān)條件比統(tǒng)計(jì)獨(dú)立條件弱些。 xXFjuXeEjuXe iijuxju