隨機(jī)變量作業(yè)詳解xiu

1、第二章 隨機(jī)變量作業(yè) 姓名： 學(xué)號(hào)： 1.一袋中有5只乒乓球，編號(hào)為1，2，3，4，5，在其中同時(shí)取3只，以X表示取出的3只球中的最大號(hào)碼，寫出隨機(jī)變量X的分布律.【解】故所求分布律為X345P0.10.30.64.（1） 設(shè)隨機(jī)變量X的分布律為PX=k=，其中k=0，1，2，0為常數(shù)，試確定常數(shù)a.（2） 設(shè)隨機(jī)變量X的分布律為PX=k=a/N， k=1，2，N，試確定常數(shù)a.【解】（1） 由分布律的性質(zhì)知故 (2) 由分布律的性質(zhì)知即 .5.甲、乙兩人投籃，投中的概率分別為0.6,0.7,今各投3次，求：（1） 兩人投中次數(shù)相等的概率;（2） 甲比乙投中次數(shù)多的概率.【解】分別令X、Y表示

2、甲、乙投中次數(shù)，則Xb（3，0.6）,Yb(3,0.7)(1) + (2) =0.2436.設(shè)某機(jī)場(chǎng)每天有200架飛機(jī)在此降落，任一飛機(jī)在某一時(shí)刻降落的概率設(shè)為0.02，且設(shè)各飛機(jī)降落是相互獨(dú)立的.試問該機(jī)場(chǎng)需配備多少條跑道，才能保證某一時(shí)刻飛機(jī)需立即降落而沒有空閑跑道的概率小于0.01(每條跑道只能允許一架飛機(jī)降落)？【解】設(shè)X為某一時(shí)刻需立即降落的飛機(jī)數(shù)，則Xb(200,0.02)，設(shè)機(jī)場(chǎng)需配備N條跑道，則有即 利用泊松近似查表得N9.故機(jī)場(chǎng)至少應(yīng)配備9條跑道.7.有一繁忙的汽車站，每天有大量汽車通過，設(shè)每輛車在一天的某時(shí)段出事故的概率為0.0001,在某天的該時(shí)段內(nèi)有1000輛汽車通過，

3、問出事故的次數(shù)不小于2的概率是多少（利用泊松定理）？【解】設(shè)X表示出事故的次數(shù)，則Xb（1000，0.0001） 8.已知在五重貝努里試驗(yàn)中成功的次數(shù)X滿足PX=1=PX=2，求概率PX=4.【解】設(shè)在每次試驗(yàn)中成功的概率為p，則故 所以 .11.設(shè)PX=k=, k=0,1,2PY=m=, m=0,1,2,3,4分別為隨機(jī)變量X，Y的概率分布，如果已知PX1=，試求PY1.【解】因?yàn)?，?而 故得 即 從而 13.進(jìn)行某種試驗(yàn)，成功的概率為，失敗的概率為.以X表示試驗(yàn)首次成功所需試驗(yàn)的次數(shù)，試寫出X的分布律，并計(jì)算X取偶數(shù)的概率.【解】14.有2500名同一年齡和同社會(huì)階層的人參加了保險(xiǎn)公司的

4、人壽保險(xiǎn).在一年中每個(gè)人死亡的概率為0.002，每個(gè)參加保險(xiǎn)的人在1月1日須交12元保險(xiǎn)費(fèi)，而在死亡時(shí)家屬可從保險(xiǎn)公司領(lǐng)取2000元賠償金.求：（1） 保險(xiǎn)公司虧本的概率;（2） 保險(xiǎn)公司獲利分別不少于10000元、20000元的概率.【解】以“年”為單位來考慮.（1） 在1月1日，保險(xiǎn)公司總收入為2500×12=30000元.設(shè)1年中死亡人數(shù)為X，則Xb(2500,0.002)，則所求概率為由于n很大，p很小，=np=5，故用泊松近似，有(2) P(保險(xiǎn)公司獲利不少于10000) 即保險(xiǎn)公司獲利不少于10000元的概率在98%以上P（保險(xiǎn)公司獲利不少于20000） 即保險(xiǎn)公司獲利不

5、少于20000元的概率約為62%16.設(shè)某種儀器內(nèi)裝有三只同樣的電子管，電子管使用壽命X的密度函數(shù)為f(x)=求：（1） 在開始150小時(shí)內(nèi)沒有電子管損壞的概率；（2） 在(1)中這段時(shí)間內(nèi)有一只電子管損壞的概率；（3） F（x）.【解】（1） (2) (3) 當(dāng)x<100時(shí)F（x）=0當(dāng)x100時(shí) 故 18.設(shè)隨機(jī)變量X在2，5上服從均勻分布.現(xiàn)對(duì)X進(jìn)行三次獨(dú)立觀測(cè)，求至少有兩次的觀測(cè)值大于3的概率.【解】XU2,5，即故所求概率為19.設(shè)顧客在某銀行的窗口等待服務(wù)的時(shí)間X（以分鐘計(jì)）服從指數(shù)分布.某顧客在窗口等待服務(wù)，若超過10分鐘他就離開.他一個(gè)月要到銀行5次，以Y表示一個(gè)月內(nèi)他未

6、等到服務(wù)而離開窗口的次數(shù)，試寫出Y的分布律，并求PY1.【解】依題意知，即其密度函數(shù)為該顧客未等到服務(wù)而離開的概率為,即其分布律為20.某人乘汽車去火車站乘火車，有兩條路可走.第一條路程較短但交通擁擠，所需時(shí)間X服從N（40，102）；第二條路程較長(zhǎng)，但阻塞少，所需時(shí)間X服從N（50，42）.（1） 若動(dòng)身時(shí)離火車開車只有1小時(shí)，問應(yīng)走哪條路能乘上火車的把握大些？（2） 又若離火車開車時(shí)間只有45分鐘，問應(yīng)走哪條路趕上火車把握大些？【解】（1） 若走第一條路，XN（40，102），則若走第二條路，XN（50，42），則+故走第二條路乘上火車的把握大些.（2） 若XN（40，102），則若XN（

7、50，42），則 故走第一條路乘上火車的把握大些.21.設(shè)XN（3，22），（1） 求P2<X5，P-4<X10，PX2，PX3;（2） 確定c使PXc=PXc.【解】（1） (2) c=323.一工廠生產(chǎn)的電子管壽命X（小時(shí)）服從正態(tài)分布N（160，2），若要求P120X2000.8，允許最大不超過多少？【解】 故 24.設(shè)隨機(jī)變量X分布函數(shù)為F（x）=（1） 求常數(shù)A，B；（2） 求PX2，PX3；（3） 求分布密度f（x）.【解】（1）由得（2） (3) 28.設(shè)隨機(jī)變量X的分布律為X-2 -1 0 1 3Pk1/5 1/6 1/5 1/15 11/30求Y=X2的分布律.【

8、解】Y可取的值為0，1，4，9故Y的分布律為Y0 1 4 9Pk1/5 7/30 1/5 11/3029.設(shè)PX=k=()k, k=1,2,令 求隨機(jī)變量X的函數(shù)Y的分布律.【解】 30.設(shè)XN（0，1）.（1） 求Y=eX的概率密度；（2） 求Y=2X2+1的概率密度；（3） 求Y=X的概率密度.【解】（1） 當(dāng)y0時(shí)，當(dāng)y>0時(shí)， 故 (2)當(dāng)y1時(shí)當(dāng)y>1時(shí) 故 (3) 當(dāng)y0時(shí)當(dāng)y>0時(shí) 故31.設(shè)隨機(jī)變量XU（0,1），試求：（1） Y=eX的分布函數(shù)及密度函數(shù)；（2） Z=-2lnX的分布函數(shù)及密度函數(shù).【解】（1） 故 當(dāng)時(shí)當(dāng)1<y<e時(shí)當(dāng)ye時(shí)即分

9、布函數(shù)故Y的密度函數(shù)為（2） 由P（0<X<1）=1知當(dāng)z0時(shí)，當(dāng)z>0時(shí)， 即分布函數(shù)故Z的密度函數(shù)為34.同時(shí)擲兩枚骰子，直到一枚骰子出現(xiàn)6點(diǎn)為止，求拋擲次數(shù)X的分布律.【解】設(shè)Ai=第i枚骰子出現(xiàn)6點(diǎn)。（i=1,2）,P(Ai)=.且A1與A2相互獨(dú)立。再設(shè)C=每次拋擲出現(xiàn)6點(diǎn)。則 故拋擲次數(shù)X服從參數(shù)為的幾何分布。35.隨機(jī)數(shù)字序列要多長(zhǎng)才能使數(shù)字0至少出現(xiàn)一次的概率不小于0.9?【解】令X為0出現(xiàn)的次數(shù)，設(shè)數(shù)字序列中要包含n個(gè)數(shù)字，則Xb(n,0.1)即 得 n22即隨機(jī)數(shù)字序列至少要有22個(gè)數(shù)字。37.設(shè)在區(qū)間a,b上，隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為f(x)=sinx，而

10、在a,b外，f(x)=0，則區(qū)間 a,b等于（ ）(A) 0,/2; (B) 0,;(C) -/2,0; (D) 0,.【解】在上sinx0，且.故f(x)是密度函數(shù)。在上.故f(x)不是密度函數(shù)。在上，故f(x)不是密度函數(shù)。在上，當(dāng)時(shí)，sinx<0，f(x)也不是密度函數(shù)。故選（A）。38.設(shè)隨機(jī)變量XN（0，2），問：當(dāng)取何值時(shí)，X落入?yún)^(qū)間（1，3）的概率最大？【解】因?yàn)?利用微積分中求極值的方法，有 得,則 又 故為極大值點(diǎn)且惟一。故當(dāng)時(shí)X落入?yún)^(qū)間（1，3）的概率最大。43.設(shè)三次獨(dú)立試驗(yàn)中，事件A出現(xiàn)的概率相等.若已知A至少出現(xiàn)一次的概率為19/27，求A在一次試驗(yàn)中出現(xiàn)的概率.【解】令X為三次獨(dú)立試驗(yàn)中A出現(xiàn)的次數(shù)，若設(shè)P（A）=p,則Xb(3,p)由P（X1）=知P（X=0）=（1-p）3=故p=44.若隨機(jī)變量X在（1，6）上服從均勻分布，則方程y2+Xy+1=0有實(shí)根的概率是多少？ 【解】45.若隨機(jī)變量XN（2，2），且P2&l