運籌學各章的作業(yè)題答案

1、管理運籌學各章的作業(yè)-復習思考題及作業(yè)題 第一章 緒論復習思考題 1、從運籌學產生的背景認識本學科研究的內容和意義。 2、了解運籌學的內容和特點，結合自己的理解思考學習的方法和途徑。 3、體會運籌學的學習特征和應用領域。第二章 線性規(guī)劃建模及單純形法復習思考題 1、線性規(guī)劃問題的一般形式有何特征？ 2、建立一個實際問題的數學模型一般要幾步？3、兩個變量的線性規(guī)劃問題的圖解法的一般步驟是什么？4、求解線性規(guī)劃問題時可能出現幾種結果，那種結果反映建模時有錯誤？5、什么是線性規(guī)劃的標準型，如何把一個非標準形式的線性規(guī)劃問題轉化成標準形式。6、試述線性規(guī)劃問題的可行解、基礎解、基礎可行解、最優(yōu)解、最優(yōu)

2、基礎解的概念及它們之間的相互關系。7、試述單純形法的計算步驟，如何在單純形表上判別問題具有唯一最優(yōu)解、有無窮多個最優(yōu)解、無界解或無可行解。8、在什么樣的情況下采用人工變量法，人工變量法包括哪兩種解法？9、大M 法中，M 的作用是什么？對最小化問題，在目標函數中人工變量的系數取什么？最大化問題呢？10、什么是單純形法的兩階段法？兩階段法的第一段是為了解決什么問題？在怎樣的情況下，繼續(xù)第二階段？作業(yè)題: 1、把以下線性規(guī)劃問題化為標準形式：(1)maxz=x1-2x2+x3 s.t.x1+x2+x312 2x1+x2-x3 6 -x1+3x2 9 x1,x2,x3 0(2)minz=-2x1-x2

3、+3x3-5x4 s.tx1+2x2+4x3-x4 6 2x1+3x2-x3+x412 x1+x3+x4 4 x1,x2,x4 0 (3)maxz=x1+3x2+4x3 s.t.3x1+2x213 x2+3x317 2x1+x2+x3=13 x1,x30 2、用圖解法求解以下線性規(guī)劃問題(1)maxz=x1+3x2s.t.x1+x210-2x1+2x212x1 7x1,x20(2)minz=x1-3x2s.t.2x1-x24x1+x23x25x14x1,x20 3、在以下問題中，列出所有的基，指出其中的可行基，基礎可行解以及最優(yōu)解。maxz=2x1+x2-x3s.t.x1+ x2+2x36 x

4、1+4x2-x34 x1,x2,x30 4、用單純形表求解以下線性規(guī)劃問題(1)maxz=x1-2x2+x3 s.t.x1+x2+x312 2x1+x2-x3 6 -x1+3x2 9 x1,x2,x3 0(2)minz=-2x1-x2+3x3-5x4 s.tx1+2x2+4x3-x4 6 2x1+3x2-x3+x412 x1+x3+x4 4 x1,x2,x3,x4 0 5、用大M法和兩階段法求解以下線性規(guī)劃問題(1)Maxz=x1+3x2+4x3 s.t.3x1+2x213 x2+3x317 2x1+x2+x3=13 x1,x2,x30(2)maxz=2x1-x2+x3 s.t.x1+x2-2

5、x38 4x1-x2+x32 2x1+3x2-x34 x1,x2,x30 6、某飼養(yǎng)場飼養(yǎng)動物，設每頭動物每天至少需要700克蛋白質、30克礦物質、100毫克維生素?，F有五種飼料可供選用，各種飼料每公斤營養(yǎng)成分含量及單價如下表所示：飼料蛋白質（克）礦物質（克）維生素（毫克）價格（元/公斤）13105022205100731020204462203512050808要求確定既滿足動物生長的營養(yǎng)要求，又使費用最省的選擇飼料的方案。 7、某工廠生產、四種產品，產品需依次經過A、B兩種機器加工，產品需依次經過A、C兩種機器加工，產品需依次經過B、C兩種機器加工，產品需依次經過A、B機器加工。有關數據如

6、表所示，請為該廠制定一個最優(yōu)生產計劃。產 品機器生產率（件/小時）原料成本（元）產品價格（元）10201665201025801015125020101870機器成本（元小時）200150225每 周 可 用 小時 數15012070第三章 線性規(guī)劃問題的對偶及靈敏度分析復習思考題 1、對偶問題和它的經濟意義是什么？ 2、簡述對偶單純形法的計算步驟。它與單純形法的異同之處是什么？ 3、什么是資源的影子價格？它和相應的市場價格之間有什么區(qū)別？ 4、如何根據原問題和對偶問題之間的對應關系，找出兩個問題變量之間、解及檢驗數之間的關系？ 5、利用對偶單純形法計算時，如何判斷原問題有最優(yōu)解或無可行解？

7、6、在線性規(guī)劃的最優(yōu)單純形表中，松弛變量（或剩余變量），其經濟意義是什么？ 7、在線性規(guī)劃的最優(yōu)單純形表中，松弛變量的檢驗數，其經濟意義是什么？ 8、關于單個變化對線性規(guī)劃問題的最優(yōu)方案及有關因素將會產生什么影響？有多少種不同情況？如何去處理？ 9、線性規(guī)劃問題增加一個變量，對它原問題的最優(yōu)方案及有關因素將會產生什么影響？如何去處理？ 10、線性規(guī)劃問題增加一個約束，對它原問題的最優(yōu)方案及有關因素將會產生什么影響？如何去處理？作業(yè)題 1、寫出以下問題的對偶問題(1)minz=2x1+3x2+5x3+6x4 s.t.x1+2x2+3x3+x42 -2x1-x2-x3+3x4-3 x1,x2,x3

8、,x40(2)minz=2x1+3x2-5x3 s.t.x1+x2-x3+x45 2x1+x34 x2+x3+x4=6 x10, x20, x30, x4無符號限制 2、已知如下線性規(guī)劃問題Maxz=6x1-2x2+10x3s.t.x2+ 2x353x1-x2+ x310x1,x2,x30其最優(yōu)單純形表為b6-21000x1x2x3x4x510x35/20 1/21 1/2 06x15/21-1/20-1/61/3-z-400 -40-4-2（1）寫出原始問題的最優(yōu)解、最優(yōu)值、最優(yōu)基 B 及其逆 B-1。（2）寫出原始問題的對偶問題，并從上表中直接求出對偶問題的最優(yōu)解。 3、用對偶單純形法求解

9、以下問題(1)minz=4x1+6x2+18x3 s.t.x1+3x33 x2+2x35 x1,x2,x30(2)minz=10x1+6x2 s.t.x1+x22 2x1-x26 x1,x20 4、已知以下線性規(guī)劃問題maxz=2x1+x2-x3s.t.x1+2x2+x38-x1+x2-2x34x1,x2,x30及其最優(yōu)單純形表如下：b21-100x1x2x3x4x52x18121100x61203-111-z-160-3-3-20 (1) 求使最優(yōu)基保持不變的c2=1的變化范圍。如果c2從1變成5，最優(yōu)基是否變化，如果變化，求出新的最優(yōu)基和最優(yōu)解。 (2) 對c1=2進行靈敏度分析，求出c1

10、由2變?yōu)?時的最優(yōu)基和最優(yōu)解。 (3) 對第二個約束中的右端項 b2 = 4 進行靈敏度分析，求出 b2 從 4 變?yōu)?1 時新的最優(yōu)基和最優(yōu)解。 (4) 增加一個新的變量x6，它在目標函數中的系數 c6 = 4，在約束條件中的系數向量為， 求新的最優(yōu)基和最優(yōu)解。 (5) 增加一個新的約束x2+x3³2，求新的最優(yōu)基和最優(yōu)解。 5、某工廠用甲、乙、丙三種原料生產A、B、C、D四種產品，每種產品消耗原料定額以及三種原料的數量如下表所示:產 品ABCD原料數量（噸）對原料甲的單耗(噸/萬件)32142400對原料乙的消耗(噸/萬件)2233200對原料丙的消耗(噸/萬件)1321800單

11、位產品的利潤(萬元/萬件)25121415（1）求使總利潤最大的生產計劃和按最優(yōu)生產計劃生產時三種原料的耗用量和剩余量。（2）求四種產品的利潤在什么范圍內變化，最優(yōu)生產計劃不會變化。（3）求三種原料的影子價格。（4）在最優(yōu)生產計劃下，哪一種原料更為緊缺?如果甲原料增加120噸，這時緊缺程度是否有變化?第四章 運輸問題復習思考題 1、運輸問題的數學模型具有什么特征？為什么其約束方程的系數矩陣的秩最多等于？ 2、用西北角法確定運輸問題的初始基本可行解的基本步驟是什么？ 3、最小元素法的基本思想是什么？為什么在一般情況下不可能用它直接得到運輸問題的最優(yōu)方案？ 4、試述用閉回路法檢驗給定的調運方案是否

12、最優(yōu)的原理，其檢驗數的經濟意義是什么？ 5、用閉回路法檢驗給定的調運方案時，如何從任意空格出發(fā)去尋找一條閉回路？這閉回路是否是唯一的？ 6、試述用位勢法求檢驗數的原理、步驟和方法。 7、試給出運輸問題的對偶問題（對產銷平衡問題）。 8、如何把一個產銷不平衡的運輸問題（產大于銷或銷大于產）轉化為產銷平衡的運輸問題。 9、一般線性規(guī)劃問題應具備什么特征才可以轉化為運輸問題的數學模型？作業(yè)題 1、求解下列產銷平衡的運輸問題，下表中列出的為產地到銷地之間的運價。 （1） 用西北角法、最小元素法求初始基本可行解； （2） 由上面所得的初始方案出發(fā)，應用表上作業(yè)法求最優(yōu)方案，并比較初始方案需要的迭代次數。

13、 銷 地 產 地甲乙丙丁產 量1231089523674768252550銷 2、用表上作業(yè)法求下列產銷平衡的運輸問題的最優(yōu)解：（表上數字為產地到銷地的運價，M為任意大的正數，表示不可能有運輸通道）（1） 銷 地 產 地甲乙丙丁產 量1237349535810264171523銷 量1015201055（2） 產地銷地甲乙丙丁戊銷 量12347458267817M66M32767620201015產 量101512101865 3、用表上作業(yè)法求下列產銷不平衡的運輸問題的最優(yōu)解：（表上數字為產地到銷地的里程，M為任意大的正數，表示不可能有運輸通道）。（1） 產地銷地甲

14、乙丙丁戊銷 量12310784M510412746578804060產 量5040306020（2） 產地銷地甲乙丙丁戊銷 量1237463289512462 11105302436產 量1218211415 4、某農民承包了5塊土地共206畝，打算小麥、玉米和蔬菜三種農作物，各種農作物的計劃播種面積（畝）以及每塊土地種植各種不同的農作物的畝產數量（公斤）見下表，試問怎樣安排種植計劃可使總產量達到最高？ 土地塊別作物種類甲乙丙丁戊計劃播種面積12350085010006008009506507008501050900550 800950700867050土地畝數3648443246 提示：為了

15、把問題化為求最小的問題，可用一個足夠大的數（如1200）減去每一個畝產量，得到新的求最小的運輸表，再進行計算。得到求解的結果后，再通過逆運算得到原問題的解。（想一想為什么？）第五章 動態(tài)規(guī)劃思考題主要概念及內容：多階段決策過程；階段及階段變量；狀態(tài)、狀態(tài)變量及可能的狀態(tài)集合；決策、決策變量及允許的決策集合；策略、策略集合及最優(yōu)策略；狀態(tài)轉移方程；K子過程；階段指標函數、過程指標函數及最優(yōu)值函數；邊界條件、遞推方程及動態(tài)規(guī)劃基本方程；最優(yōu)性原理；逆序法、順序法。復習思考題： 1、試述動態(tài)規(guī)劃的“最優(yōu)化原理”及它同動態(tài)規(guī)劃基本方程之間的關系。 2、動態(tài)規(guī)劃的階段如何劃分？ 3、試述用動態(tài)規(guī)劃求解最

16、短路問題的方法和步驟。 4、試解釋狀態(tài)、決策、策略、最優(yōu)策略、狀態(tài)轉移方程、指標函數、最優(yōu)值函數、邊界條件等概念。 5、試述建立動態(tài)規(guī)劃模型的基本方法。 6、試述動態(tài)規(guī)劃方法的基本思想、動態(tài)規(guī)劃的基本方程的結構及正確寫出動態(tài)規(guī)劃基本方程的關鍵步驟。作業(yè)題 1、用動態(tài)規(guī)劃求解以下網絡從A到G的最短路徑。 2、某公司有5臺設備，分配給所屬A,B,C三個工廠。各工廠獲得不同的設備臺數所能產生效益（萬元）的情況如下表。求最優(yōu)分配方案，使總效益最大。臺數012345A01015202325B51720222324C71215182023 3、用動態(tài)規(guī)劃求解以下非線性規(guī)劃問題： max z = x1 2

17、x2 ·3 x3 s.t. x1+3x2+2x3 12 x1 , x2 , x3 0 4、某企業(yè)生產某種產品，每月月初按訂貨單發(fā)貨，生產的產品隨時入庫，由于空間的限制，倉庫最多能夠貯存產品90000件。在上半年（1至6月）其生產成本（萬元千件）和產品訂單的需求數量情況如下表：月份(k)成本與需求123456生產成本(ck)（萬元千件）2.12.82.32.72.02.5需求量(rk)（千件）356350326744已知上一年底庫存量為40千件，要求6月底庫存量仍能夠保持40千件。問：如何安排這6個月的生產量，使既能滿足各月的定單需求，同時生產成本最低。第六章 排隊論復習思考題 1、排

18、隊論主要研究的問題是什么？ 2、試述排隊模型的種類及各部分的特征； 3、符號中的各字母分別代表什么意義； 4、理解平均到達率、平均離去率、平均服務時間和顧客到達間隔時間等概念； 5、分別寫出泊松分布、負指數分布的密度函數，說明這些分布的主要性質； 6、試述隊長和排隊長；等待時間和逗留時間；忙期和閑期等概念及他們之間的聯系與區(qū)別。 7、討論求解排隊論問題的過程？ 8、熟悉狀態(tài)轉移速度圖的繪制；掌握利用狀態(tài)轉移速度圖尋找各狀態(tài)發(fā)生概率之間的關系，導出各狀態(tài)發(fā)生概率與P0的關系的方法，進而計算有關的各個量。 9、如何對排隊系統(tǒng)進行優(yōu)化（服務率，服務臺數量）？作業(yè)題 1、某修理店只有一個修理工，來修理

19、的顧客到達的人數服從Poisson分布，平均每小時4人；修理時間服從負指數分布，每次服務平均需要6分鐘。求： （1）修理店空閑的概率； （2）店內有三個顧客的概率； （3）店內至少有一個顧客的概率； （4）在店內平均顧客數； （5）顧客在店內的平均逗留時間； （6）等待服務的平均顧客數； （7）平均等待修理的時間； 2、一個理發(fā)店有3名理發(fā)員，顧客到達服從Poisson分布，平均到達時間間隔為15秒鐘；理發(fā)時間服從負指數分布，平均理發(fā)時間為0.5分鐘。求： （1）理發(fā)店內無顧客的概率； （2）有n個顧客在理發(fā)店內的概率； （3）理發(fā)店內顧客的平均數和排隊等待的平均顧客數； （4）顧客在理發(fā)店內

20、的平均逗留時間和平均等待時間； 3、某修理部有一名電視修理工，來此修理電視的顧客到達為泊松流，平均間隔時間為20分鐘，修理時間服從負指數分布，平均時間為15分鐘。求： （1）顧客不需要等待的概率； （2）修理部內要求維修電視的平均顧客數； （3）要求維修電視的顧客的平均逗留時間； （4）如果顧客逗留時間超過1.5小時，則需要增加維修人員或設備。問顧客到達率超過多少時，需要考慮此問題？ 4、某公用電話亭只有一臺電話機，來打電話的顧客為泊松流，平均每小時到達20人。當電話亭中已有n 人時，新到來打電話的顧客將有 n/4 人不愿等待而自動離去。已知顧客打電話的時間服從負指數分布，平均用時3分鐘。 （

21、1）畫出此排隊系統(tǒng)的狀態(tài)轉移速度圖； （2）導出此排隊系統(tǒng)各狀態(tài)發(fā)生概率之間的關系式，并求出各狀態(tài)發(fā)生的概率； （3）求打電話顧客的平均逗留時間。 5、某工廠有大量同一型號的機床，其損壞率是服從泊松分布的隨機變量，平均每天損壞 2 臺，機床損壞時每臺每天的損失費用為 400 元。已知機修車間的修理時間服從負指數分布，平均每臺損壞機床的維修時間為 1/m 天。又知 m 與車間的年開支費用 K （K>1900元）的關系如下： m( K ) = 0.1 + 0.001 K ；試決定是該廠生產最經濟的 K 及 m 的值。 作業(yè)題的參考解：第二章 1、把以下線性規(guī)劃問題化為標準形式：(1)maxz

22、 =x1-2x2+x3 s.t.x1+x2+x3+x412 2x1+x2-x3-x5 6 -x1+3x2 9 x1,x2,x3,x4,x5 0(2)Maxf=2x1+x2-3x3+3x”3+5x4 s.tx1+2x2+4x3-4x”3-x4-x5 6 2x1+3x2-x3+x”3+x412 x1+x3-x”3+x4+x6 4 x1,x2,x'3,x"3, x4,x5,x6 0 (3)maxz=x1+3x2-3x”2+4x3 s.t.3x1+2x2-2x”2+x413 x'2-x”2+3x3+x517 2x1+x2-x”2+x313x1,x'2,x"2

23、,x3x4,x50 2、(1) x* = (2, 8)T , z* = 26；(2) x* = (0, 5)T , z* = -15 。 3、在以下問題中，列出所有的基，指出其中的可行基，基礎可行解以及最優(yōu)解。maxz=2x1+x2-x3s.t.x1+ x2+2x36 x1+4x2-x34 x1,x2,x30（1）B1不是可行基，不是基礎可行解。（2）B2是可行基，是基礎可行解，目標函數值為：（3）B3是基礎可行解，是基礎可行解，目標函數值為：（4）B4不是可行基，不是基礎可行解。（5）B5是可行基，是基礎可行解，目標函數值為：（6）B6是可行基，是基礎可行解，目標函數值為：（7）B7不是可行

24、基，不是基礎可行解。（8）B8不是可行基，不是基礎可行解。（9）B9是可行基，是基礎可行解，目標函數值為：（10）B10是基礎可行解，目標函數值為：在可行基B2、B3、B5、B6、B9、B10中，最優(yōu)基為B2，最優(yōu)解為：是基礎可行解，目標函數值為： 4、(1) x* =（0, 0, 12, 0, 18, 9 ）T ， z* = 12； 或 x* =（6, 0, 6, 0, 0, 15 ）T ， z* = 12 。 （2） x* = (0, 8/3, 0, 4, 14/3, 0, 0)T ， z* = -68/3 5、(1) 原問題的最優(yōu)解：x* = (3, 2, 5 )T， z * = 29

25、(2) 原問題的最優(yōu)解：x* = (0, 3, 5, 15, 0, 0)T， z* = 2。 6、解：設五種飼料分別選取 公斤，則得下面的數學模型： ； 7、解：設為第種產品的生產數量，則有 其中：49=65-16 ；27.5=200/20 + 150/10 ，依次類推。第三章 1、寫出以下問題的對偶問題(1)minz=2x1+3x2+5x3+6x4 s.t.x1+2x2+3x3+x42 -2x1-x2-x3+3x4-3 x1,x2,x3,x40對偶問題為maxy=2w1+3w2s.t.w1+2w222w1+w233w1+w25w1-3w26w10w20(2)minz=2x1+3x2-5x3

26、s.t.x1+x2-x3+x45 2x1+x34 x2+x3+x4=6 x10, x20, x30, x4無符號限制對偶問題為maxy=5w1- 4w2+6w3s.t.w1- 2w22w1+w33-w1- w2+w3-5w1+w3=0w10w20w3無符號限制 2、（1）原問題的最優(yōu)解 x* = (5/2, 0, 5/2)T、最優(yōu)值 z* = 40， 2 0 1/2 0 最優(yōu)基 B = 及其逆 B-1 = 1 3 - 1/6 1/3 （2）寫出原始問題的對偶問題，并從上表中直接求出對偶問題的最優(yōu)解。對偶問題為Miny=5w1+10w2s.t.+2w26w1- w2-22w1+w210w1 ,w

27、20 它的解為：w* = (4 , 2 )T y* = 40 3、(1) 最優(yōu)解：x* = (0，3，1)T， z* = 36 (2) 最優(yōu)解：x* = (3，0)T， z* = 30 4、(1) 使最優(yōu)基保持不變的c2=1的變化范圍：3-d0，d3，即c24。 當c2=5，即d=4，新的最優(yōu)解為x* = (0，4，0)T， z* = 20； (2) 對于 c1=2，當 d -3/2 時，即 c1 1/2 時，最優(yōu)基保持不變。 當 c1 = 4 時，d = 4-2 = 2，最優(yōu)基保持不變，最優(yōu)解的目標函數制為 z=16+8d =32。 (3) 右端項 b2 = 4 ，當 Db2 -12，即 b

28、2 -8 時，最優(yōu)基不變。 因此，b2 從4 變?yōu)?1 時，最優(yōu)基不變，而新的最優(yōu)解也不變。 (4) 新的最優(yōu)基為 p1 ，p6 新的最優(yōu)解為 x* = (4，0，0，0，0，4)T， z* = 24。 (5) 新的最優(yōu)基為 p1，p2 新的最優(yōu)解為 x* = (4，2，0，0，6，0)T， z* = 10。 5、 (1) 利潤最大化的線性規(guī)劃模型為：maxz=25x1+12x2+14x3+15x4s.t.3x1+2x2+x3+4x424002x1+2x3+3x43200x1+3x2+2x41800x1,x2,x3,x40 最優(yōu)解為：x* = (0，400，1600，0，0，0，600)T，

29、z* = 27200。即最優(yōu)生產計劃為：產品A不生產；產品B生產400萬件；產品C生產1600萬件；產品D不生產，最大利潤：27200萬元。 這里，原料甲耗用2400噸沒有剩余；原料乙耗用3200噸沒有剩余；原料丙耗用了1200噸剩余600噸。 (2) 產品A利潤變化范圍：-1-d0，d-1，-c1=-c1+d-25-1=-26，即c126（萬元/萬件）； 產品B利潤變化范圍：，故 -1d12， -13-c20，即：0c213； 產品C利潤的變化范圍：，故 -1d8， -15-c3-6，即：6c315； 產品D的變化范圍：-21-d0，d-21，-15+d-36，-c4-36，即c436。 （

30、3）原料甲、乙、丙的影子價格分別為：6萬元/噸、4萬元/噸、0萬元/噸。 （4）在最優(yōu)解中，原料甲的影子價格（6萬元/噸）最大，因此這種原料最緊缺。如果原料A增加120噸，最優(yōu)單純形表的右邊常數成為：因此最優(yōu)基保持不變，影子價格不變，原料的緊缺程度不變。第四章 1、求解下列產銷平衡的運輸問題，下表中列出的為產地到銷地之間的運價。 （1） 用西北角法、最小元素法求初始基本可行解； 西北角法： 銷 地 產 地甲乙丙丁產 量123151010151535252550銷 最小元素法： 銷 地 產 地甲乙丙丁產 量1231520302555252550銷 量1520303510

31、0 （2）最優(yōu)方案： 最小費用 535 銷 地 產 地甲乙丙丁產 量12315155302510252550銷 2、（1）最優(yōu)方案： 最小費用 226 銷 地 產 地甲乙丙丁產 量123101515528171523銷 量1015201055（2）最優(yōu)方案： 最小費用 248 （有多解） 產地銷地甲乙丙丁戊銷 量123410871210103520201015產 量101512101865 3、（1）最優(yōu)方案： 最小費用 980 產地銷地甲乙丙丁戊銷 量1234302040302010302080406020產 量5040306020（2）最優(yōu)方案： 最小費用 330

32、 產地銷地甲乙丙丁戊己銷 量1232371821141510302436產 量121821141510 4、最優(yōu)方案： 最高總產量 180900 kg 土地塊別作物種類甲乙丙丁戊計劃播種面積12336341444321036867050土地畝數3648443246第五章2321 1、2212 B1 1 3 D1 102625200 3 6 C1 8 E1 4 5 2 9 12 A 5 B2 D2 F 2 3 4 7 13 7 C2 2 11 E22213 B3 3 7 D3 92225 最短路徑為AB1C1D2E2F，長度為26。 2、階段k：每分配一個工廠作為一個階段； 狀態(tài)變量xk：分配第

33、k個工廠前剩余的設備臺數； 決策變量dk：分配給第k個工廠的設備臺數； 決策允許集合：0dkxk 狀態(tài)轉移方程：xk+1=xk-dk 階段指標：vk(xk,dk)第k次分配產生的效益，見表中所示； 遞推方程：fk(xk)=maxvk(xk,dk)+fk+1(xk+1) 終端條件：f4(x4)=0列表計算,可得到： 最優(yōu)解為 x1 = 5，d1* = 3；x2 = x1-d1 = 2，d2* = 1；x3 = x2-d2* = 1，d3 = 1；x4 = x3-d3 = 0。即分配給工廠A設備3臺，工廠B設備1臺，工廠C設備1臺，最大效益為49萬元。 3、 階段k：每一個變量作為一個階段，k =

34、1，2，3，4； 狀態(tài)變量sk：考慮第k個變量時，允許的上界， s1 12； 決策變量xk：第k個變量的取值； 決策允許集合： 0 xk sk /ak ，ak 為各變量的系數，分別為1、3、2； 狀態(tài)轉移方程：sk+1 = sk - ak xk 階段指標：目標函數中關于xk 的表示式 vk(sk , xk) k xk； 遞推方程：fk(sk ) = max vk(sk , xk ) f k+1 (sk+1) 邊界條件：f ( s4 )= 1逆序法求解： k = 3 ： f3(s3 ) = max v3 (s3 , x3 ) f 4 (s4) = max 3 x3 0 x3 s3 /2 x3 *

35、 = s3 /2， f3(s3 ) =（32）s3 ； k = 2 ： f2(s2 ) = max 2 x2 f3 (s3 ) = max 2 x2 (s2 3x2) 0 x2 s2 /3求導數為零的點，并驗證二階導數小于零，可得 x2 * = s2 /6， f2(s2 ) =（14）s22 ； k = 1 ： f1(s1 ) = max x1 f2 (s2 ) = max x1 (12 x1 )24 0 x1 s112求導數為零的點，并驗證二階導數小于零，可得 x1 * = 4， f1(s1 ) = 64 ；于是通過計算,可得到： 最優(yōu)解為 s1 = 12，x1* = 4；s2 = s1-x

36、1 = 8，x2* = 43；s3 = s2-3x2* = 4，x3 = 2；最優(yōu)值為64 。 4、解：階段k：月份，k=1,2,7；狀態(tài)變量xk：第k個月初（發(fā)貨以前）的庫存量；決策變量dk：第k個月的生產量；狀態(tài)轉移方程：xk+1=xk-rk+dk；決策允許集合：Dk(xk)=dk | dk³0, rk+1£xk+1£H H90 =dk | dk³0, rk+1£xk-rk+dk£H；階段指標：vk(xk,dk)=ckdk；終端條件：f7(x7)=0,x7=40；遞推方程：fk(xk)=minvk(xk,dk)+fk+1(xk+1

37、)dkÎDk(xk)=minckdk+fk+1(xk-rk+dk)dkÎDk(xk)對于k=6 x6-r6+d6=x7=40因此有d6=x7+r6-x6=40+44-x6=84-x6 84-x60也是唯一的決策。因此遞推方程為：f6(x6) = min c6d6+f7(x7) d6=84-x6=2.5d6=2.5(84-x6)=210-2.5x6對于k=5f5(x5)=minc5d5+f6(x6) d5ÎD5(x5)=min2.0d5+210-2.5x6 d5ÎD5(x5)=min2.0d5+210-2.5(x5-r5+d5) d5ÎD5(x5

38、)=min-0.5d5-2.5x5+377.5d5ÎD5(x5)D5(x5)=d5| d5³0, r6£x5-r5+d5£H, 84- (x5-r5+d5)0 =d5|d5³0, r6+r5-x5£d5£H+r5-x5 , d5 £ 84+67 - x5=151-x5 =d5| d5³0, 111-x5£d5£151-x5遞推方程成為f5(x5)=min-0.5d5-2.5x5+377.5 111-x5£d5£157-x5=-0.5(151-x5)-2.5x5+37

39、7.5=302-2x5，d5*=151-x5對于k=4f4(x4)=minc4d4+f5(x5)d4ÎD4(x4)=min2.7d4+302-2x5d4ÎD4(x4)=min2.7d4+302-2(x4-r4+d4)d4ÎD4(x4)=min0.7d4-2x4+366d4ÎD4(x4)D4(x4)=d4| d4³0, r5£x4-r4+d4£H=d4| d4³0, r5+r4-x4£d4£H+r4-x4=d4| d4³0, 99-x4£d4£122-x4 因為 99

40、-x4 > 0=d4| 99-x4 £d4£122-x4由于在f4(x4)的表達式中d4的系數是 0.7，因此d4在決策允許集合中應取集合中的最小值，即d4=99-x4由此f4(x4)= 0.7(99-x4)-2x4+366= 2.7x4+435.3對于k=3f3(x3)=min c3d3+f4(x4)d3ÎD3(x3)=min 2.3d3+435.3-2.7x4d3ÎD3(x3)=min 2.3d3+435.3-2.7(x3-r3+d3)d3ÎD3(x3)=min -0.4d3-2.7x3+570.3)d3ÎD3(x3)D3(

41、x3)=d3| d3³0,r4£x3-r3+d3£H=d3| d3³0,r4+r3-x3£d3£H+r3-x3=d3| d3³0,82-x3£d3£140-x3=d3| max0,82-x3£d3£140-x3由此f3(x3)=-0.4(140-x3)-2.7x3+570.3 = -2.3x3+514.3,d3*=140-x3對于k=2f2(x2)=minc2d2+f3(x3)d2ÎD2(x2)=min2.8d2+514.3-2.3x3d2ÎD2(x2)=min2.8d2+514.3-2.