隨機(jī)變量及其分布考點(diǎn)總結(jié)

1、第二章 隨機(jī)變量及其分布 復(fù)習(xí)一、隨機(jī)變量.1. 隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)構(gòu)應(yīng)該是不確定的.試驗(yàn)如果滿足下述條件：試驗(yàn)可以在相同的情形下重復(fù)進(jìn)行；試驗(yàn)的所有可能結(jié)果是明確可知的，并且不止一個(gè)；每次試驗(yàn)總是恰好出現(xiàn)這些結(jié)果中的一個(gè)，但在一次試驗(yàn)之前卻不能肯定這次試驗(yàn)會(huì)出現(xiàn)哪一個(gè)結(jié)果.它就被稱為一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn).2. 離散型隨機(jī)變量：如果對于隨機(jī)變量可能取的值，可以按一定次序一一列出，這樣的隨機(jī)變量叫做離散型隨機(jī)變量.若是一個(gè)隨機(jī)變量，a，b是常數(shù).則也是一個(gè)隨機(jī)變量.一般地，若是隨機(jī)變量，是連續(xù)函數(shù)或單調(diào)函數(shù)，則也是隨機(jī)變量.也就是說，隨機(jī)變量的某些函數(shù)也是隨機(jī)變量.3、分布列：設(shè)離散型隨機(jī)變量可能取的值為：取

2、每一個(gè)值的概率，則表稱為隨機(jī)變量的概率分布，簡稱的分布列.P有性質(zhì)； .注意：若隨機(jī)變量可以取某一區(qū)間內(nèi)的一切值，這樣的變量叫做連續(xù)型隨機(jī)變量.例如：即可以取05之間的一切數(shù)，包括整數(shù)、小數(shù)、無理數(shù).典型例題：1、隨機(jī)變量的分布列為則2、袋中裝有黑球和白球共7個(gè)，從中任取兩個(gè)球都是白球的概率為，現(xiàn)在甲乙兩人從袋中輪流摸去一球，甲先取，乙后取，然后甲再取，取后不放回，直到兩人中有一人取到白球時(shí)終止，用表示取球的次數(shù)。（1）求的分布列（2）求甲取到白球的的概率3、5封不同的信，放入三個(gè)不同的信箱，且每封信投入每個(gè)信箱的機(jī)會(huì)均等，X表示三哥信箱中放有信件樹木的最大值，求X的分布列。4、為了解某班學(xué)生

3、喜愛打籃球是否與性別有關(guān)，對本班50人進(jìn)行了問卷調(diào)查得到了如下的列聯(lián)表：喜愛打籃球不喜愛打籃球合計(jì)男生5女生10合計(jì)已知在全部50人中隨機(jī)抽取1人抽到喜愛打籃球的學(xué)生的概率為（1）請將上面的列聯(lián)表補(bǔ)充完整；（2）是否有99.5的把握認(rèn)為喜愛打籃球與性別有關(guān)？說明你的理由；（3）已知喜愛打籃球的10位女生中，還喜歡打羽毛球，還喜歡打乒乓球，還喜歡踢足球，現(xiàn)再從喜歡打羽毛球、喜歡打乒乓球、喜歡踢足球的女生中各選出1名進(jìn)行其他方面的調(diào)查，求和不全被選中的概率下面的臨界值表供參考：0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87

4、910.828 (參考公式：，其中)二、幾種常見概率1、條件概率與事件的獨(dú)立性 （1）B|A與AB的區(qū)別：_ （2）P(B|A)的計(jì)算公式_,注意分子分母事件的性質(zhì)相同 （3）P(AB)的計(jì)算公式_ 注意三點(diǎn)：前提，目標(biāo)，一般情況_ （4）P（A+B）的計(jì)算公式_注意三點(diǎn)：前提，目標(biāo)，一般情況_典型例題：1、市場上供應(yīng)的燈泡，甲廠產(chǎn)品占70%，乙廠產(chǎn)品占30%，甲廠產(chǎn)品的合格率是95%，乙廠產(chǎn)品的合格率80%，則從市場上買到一個(gè)是甲廠產(chǎn)的合格品的概率是多少？2、把一副撲克52張隨即均分給趙錢孫李四家，A=趙家得到六章草花，B=孫家得到3張草花，計(jì)算P(B|A)，P(AB)3、從混有5張假鈔的2

5、0張百元鈔票中任取兩張，將其中1張?jiān)隍?yàn)鈔機(jī)上檢驗(yàn)發(fā)現(xiàn)是假鈔，求兩張都是假鈔的概率。4、有外形相同的球分裝在三個(gè)盒子，每個(gè)盒子10個(gè)，其中第一個(gè)盒子7球標(biāo)有字母A，3個(gè)球標(biāo)有字母B；第二個(gè)盒子中五個(gè)紅球五個(gè)白球；第三個(gè)盒子八個(gè)紅球，兩個(gè)白球；在如下規(guī)則下：先在第一個(gè)盒子取一個(gè)球，若是A球，則在第二個(gè)盒子取球；如果第一次取出的是B球，則在第三個(gè)盒子中取球，如果第二次取出的球是紅球，則稱試驗(yàn)成功，求試驗(yàn)成功的概率。5、在圖所示的電路中，5只箱子表示保險(xiǎn)匣，箱中所示數(shù)值表示通電時(shí)保險(xiǎn)絲被切斷的概率，當(dāng)開關(guān)合上時(shí)，電路暢通的概率是_6、甲、乙二射擊運(yùn)動(dòng)員分別對一目標(biāo)射擊次，甲射中的概率為，乙射中的概率為

6、，求：（1）人都射中目標(biāo)的概率； （2）人中恰有人射中目標(biāo)的概率；（3）人至少有人射中目標(biāo)的概率； （4）人至多有人射中目標(biāo)的概率？三、幾種分布1. 獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)與二項(xiàng)分布：如果在一次試驗(yàn)中某事件發(fā)生的概率是P，那么在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中這個(gè)事件恰好發(fā)生k次的概率是：其中 于是得到隨機(jī)變量的概率分布如下：我們稱這樣的隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布，記作B（n·p），其中n，p為參數(shù)，并記.二項(xiàng)分布的判斷與應(yīng)用.二項(xiàng)分布，實(shí)際是對n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn).關(guān)鍵是看某一事件是否是進(jìn)行n次獨(dú)立重復(fù)，且每次試驗(yàn)只有兩種結(jié)果，如果不滿足此兩條件，隨機(jī)變量就不服從二項(xiàng)分布.當(dāng)隨機(jī)變量的總體很大且抽取的樣本容量相對于

7、總體來說又比較小，而每次抽取時(shí)又只有兩種試驗(yàn)結(jié)果，此時(shí)可以把它看作獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，利用二項(xiàng)分布求其分布列.2. 幾何分布：“”表示在第k次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)時(shí)，事件第一次發(fā)生，如果把k次試驗(yàn)時(shí)事件A發(fā)生記為，事A不發(fā)生記為，那么.根據(jù)相互獨(dú)立事件的概率乘法分式：于是得到隨機(jī)變量的概率分布列.123kPq qp 我們稱服從幾何分布，并記，其中3. 超幾何分布：一批產(chǎn)品共有N件，其中有M（MN）件次品，今抽取件，則其中的次品數(shù)是一離散型隨機(jī)變量，分布列為.分子是從M件次品中取k件，從N-M件正品中取n-k件的取法數(shù)，如果規(guī)定時(shí)，則k的范圍可以寫為k=0，1，n.超幾何分布的另一種形式：一批產(chǎn)品由 a件次品

8、、b件正品組成，今抽取n件（1na+b），則次品數(shù)的分布列為.超幾何分布與二項(xiàng)分布的關(guān)系.設(shè)一批產(chǎn)品由a件次品、b件正品組成，不放回抽取n件時(shí)，其中次品數(shù)服從超幾何分布.若放回式抽取，則其中次品數(shù)的分布列可如下求得：把個(gè)產(chǎn)品編號(hào)，則抽取n次共有個(gè)可能結(jié)果，等可能：含個(gè)結(jié)果，故，即.我們先為k個(gè)次品選定位置，共種選法；然后每個(gè)次品位置有a種選法，每個(gè)正品位置有b種選法 可以證明：當(dāng)產(chǎn)品總數(shù)很大而抽取個(gè)數(shù)不多時(shí)，因此二項(xiàng)分布可作為超幾何分布的近似，無放回抽樣可近似看作放回抽樣.典型例題：1、某氣象站天氣預(yù)報(bào)的準(zhǔn)確率為，計(jì)算（結(jié)果保留兩個(gè)有效數(shù)字）：（1）5次預(yù)報(bào)中恰有4次準(zhǔn)確的概率；（2）5次預(yù)報(bào)

9、中至少有4次準(zhǔn)確的概率2、在一個(gè)圓錐體的培養(yǎng)房內(nèi)培養(yǎng)了40只蜜蜂，準(zhǔn)備進(jìn)行某種實(shí)驗(yàn)，過圓錐高的中點(diǎn)有一個(gè)不計(jì)厚度且平行于圓錐底面的平面把培養(yǎng)房分成兩個(gè)實(shí)驗(yàn)區(qū)，其中小錐體叫第一實(shí)驗(yàn)區(qū)，圓臺(tái)體叫第二實(shí)驗(yàn)區(qū)，且兩個(gè)實(shí)驗(yàn)區(qū)是互通的。假設(shè)蜜蜂落入培養(yǎng)房內(nèi)任何位置是等可能的，且蜜蜂落入哪個(gè)位置相互之間是不受影響的。（1）求蜜蜂落入第二實(shí)驗(yàn)區(qū)的概率；（2）若其中有10只蜜蜂被染上了紅色，求恰有一只紅色蜜蜂落入第二實(shí)驗(yàn)區(qū)的概率；（3）記為落入第一實(shí)驗(yàn)區(qū)的蜜蜂數(shù)，求隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望。3、A 、B是治療同一種疾病的兩種藥，用若干試驗(yàn)組進(jìn)行對比試驗(yàn)。每個(gè)試驗(yàn)組由4只小白鼠組成，其中兩只服用A，兩只服用B，然后觀察

10、療效。若在一個(gè)試驗(yàn)組中，服用A有效的小白鼠只數(shù)比服用B有效的多，就稱該試驗(yàn)組為甲類組。設(shè)每只小白鼠服用A有效的概率為2/3，服用B有效的概率為1/2.（1）求一個(gè)試驗(yàn)組為甲類組的概率。（2）觀察3個(gè)試驗(yàn)組，用表示3個(gè)試驗(yàn)組中甲類組的個(gè)數(shù)，求分布列4. 某射擊運(yùn)動(dòng)員每次射擊擊中目標(biāo)的概率為p（0<p<1）。他有10發(fā)子彈，現(xiàn)對某一目標(biāo)連續(xù)射擊，每次打一發(fā)子彈，直到擊中目標(biāo)，或子彈打光為止。求他射擊次數(shù)的分布列。5、由180只集成電路組成的一批產(chǎn)品中，有8只是次品，現(xiàn)從中任抽4只，用表示其中的次品數(shù)，試求：（1）抽取的4只中恰好有只次品的概率；（2）求分布列.二、數(shù)學(xué)期望與方差.1.

11、期望的含義：一般地，若離散型隨機(jī)變量的概率分布為P則稱為的數(shù)學(xué)期望或平均數(shù)、均值.數(shù)學(xué)期望又簡稱期望.數(shù)學(xué)期望反映了離散型隨機(jī)變量取值的平均水平.2. 隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望： 當(dāng)時(shí)，即常數(shù)的數(shù)學(xué)期望就是這個(gè)常數(shù)本身.當(dāng)時(shí)，即隨機(jī)變量與常數(shù)之和的期望等于的期望與這個(gè)常數(shù)的和.當(dāng)時(shí)，即常數(shù)與隨機(jī)變量乘積的期望等于這個(gè)常數(shù)與隨機(jī)變量期望的乘積.單點(diǎn)分布：其分布列為：. 01Pqp兩點(diǎn)分布：，其分布列為：（p + q = 1）二項(xiàng)分布： 其分布列為.（P為發(fā)生的概率）幾何分布： 其分布列為.（P為發(fā)生的概率）3.方差、標(biāo)準(zhǔn)差的定義：當(dāng)已知隨機(jī)變量的分布列為時(shí)，則稱為的方差. 顯然，故為的根方差或標(biāo)準(zhǔn)差.

12、隨機(jī)變量的方差與標(biāo)準(zhǔn)差都反映了隨機(jī)變量取值的穩(wěn)定與波動(dòng)，集中與離散的程度.越小，穩(wěn)定性越高，波動(dòng)越小.4.方差的性質(zhì).隨機(jī)變量的方差.（a、b均為常數(shù)）01Pqp單點(diǎn)分布： 其分布列為兩點(diǎn)分布： 其分布列為：（p + q = 1）二項(xiàng)分布：幾何分布： 5. 期望與方差的關(guān)系.如果和都存在，則設(shè)和是互相獨(dú)立的兩個(gè)隨機(jī)變量，則期望與方差的轉(zhuǎn)化： （因?yàn)闉橐怀?shù)）. 典型例題：1、 如圖，由M到N的電路中有4個(gè)元件，分別標(biāo)為T1，T2，T3，T4，電流能通過T1，T2，T3的概率都是p，電流能通過T4的概率是0.9電流能否通過各元件相互獨(dú)立已知T1，T2，T3中至少有一個(gè)能通過電流的概率為0.999

13、 （）求p； （）求電流能在M與N之間通過的概率； （）表示T1，T2，T3，T4中能通過電流的元件個(gè)數(shù)，求的期望 2、一名小學(xué)教師為了激發(fā)學(xué)生閱讀名著的熱情，在班內(nèi)進(jìn)行名著和其作者的連線游戲，作為獎(jiǎng)勵(lì)，參加連線的同學(xué)每連對一個(gè)獎(jiǎng)勵(lì)一朵小紅花。假定一名小學(xué)生對四大名著沒有了解，只是隨即連線，試求該同學(xué)得到小紅花數(shù)X的分布列，均值，方差。3、甲乙兩隊(duì)參加奧運(yùn)知識(shí)競賽，每隊(duì)3人，每人回答一個(gè)問題，答對者為本隊(duì)贏得一分，答錯(cuò)得零分。假設(shè)甲隊(duì)中每人答對的概率均為，乙隊(duì)中3人答對的概率分別為且各人正確與否相互之間沒有影響.用表示甲隊(duì)的總得分. （）求隨機(jī)變量分布列和數(shù)學(xué)期望；()用A表示“甲、乙兩個(gè)隊(duì)總

14、得分之和等于3”這一事件，用B表示“甲隊(duì)總得分大于乙隊(duì)總得分”這一事件，求P(AB).4、某射手每次射擊擊中目標(biāo)的概率是，且各次射擊的結(jié)果互不影響。（）假設(shè)這名射手射擊5次，求恰有2次擊中目標(biāo)的概率（）假設(shè)這名射手射擊5次，求有3次連續(xù)擊中目標(biāo)。另外2次未擊中目標(biāo)的概率；（）假設(shè)這名射手射擊3次，每次射擊，擊中目標(biāo)得1分，未擊中目標(biāo)得0分，在3次射擊中，若有2次連續(xù)擊中，而另外1次未擊中，則額外加1分；若3次全擊中，則額外加3分，記為射手射擊3次后的總的分?jǐn)?shù)，求的分布列，均值，方差。三、正態(tài)分布.1.密度曲線與密度函數(shù)：對于連續(xù)型隨機(jī)變量，位于x軸上方，落在任一區(qū)間內(nèi)的概率等于它與x軸.直線與

15、直線所圍成的曲邊梯形的面積（如圖陰影部分）的曲線叫的密度曲線，以其作為圖像的函數(shù)叫做的密度函數(shù)，由于“”是必然事件，故密度曲線與x軸所夾部分面積等于1.2. 正態(tài)分布與正態(tài)曲線：如果隨機(jī)變量的概率密度為：. （為常數(shù)，且），稱服從參數(shù)為的正態(tài)分布，用表示.的表達(dá)式可簡記為，它的密度曲線簡稱為正態(tài)曲線.正態(tài)分布的期望與方差：若，則的期望與方差分別為：.正態(tài)曲線的性質(zhì).曲線在x軸上方，與x軸不相交.曲線關(guān)于直線對稱.當(dāng)時(shí)曲線處于最高點(diǎn)，當(dāng)x向左、向右遠(yuǎn)離時(shí)，曲線不斷地降低，呈現(xiàn)出“中間高、兩邊低”的鐘形曲線.當(dāng)時(shí)，曲線上升；當(dāng)時(shí)，曲線下降，并且當(dāng)曲線向左、向右兩邊無限延伸時(shí)，以x軸為漸近線，向x軸

16、無限的靠近.當(dāng)一定時(shí)，曲線的形狀由確定，越大，曲線越“矮胖”.表示總體的分布越分散；越小，曲線越“瘦高”，表示總體的分布越集中.3. 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布：如果隨機(jī)變量的概率函數(shù)為，則稱服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布. 即有，求出，而P（ab）的計(jì)算則是.注意：當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的的X取0時(shí)，有當(dāng)?shù)腦取大于0的數(shù)時(shí)，有.比如則必然小于0，如圖. 正態(tài)分布與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布間的關(guān)系：若則的分布函數(shù)通常用表示，且有. 4.“3”原則.假設(shè)檢驗(yàn)是就正態(tài)總體而言的，進(jìn)行假設(shè)檢驗(yàn)可歸結(jié)為如下三步：提出統(tǒng)計(jì)假設(shè)，統(tǒng)計(jì)假設(shè)里的變量服從正態(tài)分布.確定一次試驗(yàn)中的取值是否落入范圍.做出判斷：如果，接受統(tǒng)計(jì)假設(shè). 如果，由于這是小概率事件，就拒絕統(tǒng)計(jì)假設(shè).“3”原則的應(yīng)用：若隨機(jī)變量服從正態(tài)分布則 落在內(nèi)的概率為99.7 亦即落在之外的概率為0.3，此為小概率事件，如果此事件發(fā)生了，就說明此種產(chǎn)品不合格（即不服從正態(tài)