數(shù)值分析西南交通大學(xué)

1、文檔11.填空(1). 在等式中, 系數(shù)ak與函數(shù)f(x) 無 關(guān)。（限填“有”或“無”）(2). Gauss型求積公式不是 插值型求積公式。（限填“是”或“不是”） 或“無”）(3). 設(shè)lk(x)是關(guān)于互異節(jié)點x0, x1, xn, 的Lagrange 插值基函數(shù)，則 º0 m=1,2,n(4). ，則 4 ， 3.6180340 ， 5 ；(5). 用個不同節(jié)點作不超過次的多項式插值，分別采用Lagrange插值方法與Newton插值方法所得多項式 相等 (相等, 不相等)。(6). 函數(shù) 與函數(shù)中,是三次樣條函數(shù)的函數(shù)是 g(x)，另一函數(shù)不是三次樣條函數(shù)的理由是二階導(dǎo)不連續(xù)

2、 。(7). n個不同節(jié)點的插值型求積公式的代數(shù)精度一定會超過n-1 次2.設(shè)，要使迭代法局部收斂到，則取值范圍 解：因，由，即故的取值范圍是。3.給定方程組證明Jacobi方法發(fā)散而Gauss-Seidel方法收斂。 分析 觀察系數(shù)矩陣的特點，它既不嚴(yán)格對角占優(yōu)，也不對稱正定，因此應(yīng)該寫出Gauss-Seidel方法的迭代矩陣B，然后再觀察是否或或求出，看其是否小于1。而要證Jacobi方法發(fā)散，一般情況下只能想法說明其迭代矩陣的譜半徑不小于1。 證明（1）對Jacobi方法，迭代矩陣為設(shè)其特征值為l，則，故Jacobi方法發(fā)散。 （2）對Gauss-Seidel方法，迭代矩陣為顯然其特征值

3、為，故Gauss-Seidel方法收斂。3.求a,b,c的值，使達(dá)到最小解：就是求f(x)=sinx關(guān)于函數(shù)族span1,x,x2 在0,p上的最佳平方逼近。由內(nèi)積(f,g)= , 令j0=1，j1=x, j2=x2 計算知法方程為解之得：a0=-14/p, a1=72/p2, a2=-60/p34.試用Simpson公式計算積分的近似值, 并判斷此值比準(zhǔn)確值大還是小,并說明理由。解 = 2.026323 截斷誤差 而 因此5.敘述解常微分方程初值問題數(shù)值方法的絕對穩(wěn)定的定義；證明Euler法的絕對穩(wěn)定區(qū)間為（-2，0） 解 如果yk是某方法第k步的準(zhǔn)確值，為其近似值，其絕對誤差為，即。假定第

4、k步后的計算中不再有舍入誤差，只是由引起的擾動(m>k,)，都有|<|，則稱此方法是絕對穩(wěn)定的 設(shè)yk有一擾動，此時 =即=，從而要使，則必有，即lhÎ(-2,0)時，Euler法是絕對穩(wěn)定的1.填空1) 令f(x)=ax7+ x4+3x+1, 則f20, 21,27= a ；f20, 21,28= 0 2) 已知方程組，則解此方程組的Jacobi迭代法 是 收斂（填“是”或“不”）。3) 設(shè)(i=0,1,n)，則x , 這里（xi¹xj,i¹j, n³2）。4) 設(shè)稱為柯特斯系數(shù) 則=1 5) 采用正交多項式擬合可避免最小二乘或最佳平方逼近

5、中常見的 法方程組病態(tài)問題。6) 為辛卜生（Simpson）公式具有_3_次代數(shù)精度。7) 牛頓插商與導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系式為：8) 試確定0,1區(qū)間上2x3的不超過二次的最佳一致逼近多項式p(x), 該多項式唯一否？答： p(x)=(3/2)x, ; 唯一。2.設(shè)有解方程的迭代法。 （1）證明，均有（x*為方程的根）。 （2）取x0=4,用此迭代法求方程根的近似值，誤差不超過10-3。 （3）此迭代法的收斂階是多少？證明你的結(jié)論。 解（1）因迭代函數(shù)，而對一切x,均有故迭代過程收斂，即，均有。 （2）取x0=4,代入迭代式計算有，。取即可使誤差不超過. (3)因，故由推論6.1知，此迭代格式只具線

6、性收斂。3.設(shè)對稱正定陣，試計算|A-1|2，|A|2和Cond(A)2,且找出b（常數(shù)）及擾動db，使 解 ，故，從而假設(shè)x+dx=y, A(x+dx)=b+db取b=(1,-1)T，db=(1,1)T，則解Ax=b，即得又解得。故而故4.回答下列問題：（1）何謂Hermite 插值問題？答：Hermite ：除了滿足，還希望滿足（2）Hermite 插值與一般多項式插值有什么區(qū)別？答：一般：只注重， Hermite ：除了，還有5.求a,b,c的值，使達(dá)到最小解：由唯一性知，a=0,b=0,c=3提示：（即類似題型）求a,b,c的值，使達(dá)到最小解：就是求f(x)=sinx關(guān)于函數(shù)族span

7、1,x,x2 在0,p上的最佳平方逼近。由內(nèi)積(f,g)= , 令j0=1，j1=x, j2=x2 計算知法方程為 解之得：a0=-14/p, a1=72/p2, a2=-60/p36.用Euler方法解初值問題 (1) 寫出近似解的表達(dá)式 (2)并證明當(dāng)時, 近似解的表達(dá)式收斂于原初值問題的準(zhǔn)確解解 Euler公式 (1)近似解的表達(dá)式 (2) 1.填空1) 要使的近似值的相對誤差限£0.1%, 應(yīng)至少取_4_位有效數(shù)字。2) 給定方程組記此方程組的Jacobi迭代矩陣為BJ=(aij)3´3，則a23= -1；且相應(yīng)的Jacobi迭代序列是 發(fā)散 的。3) 歐拉預(yù)報-校

8、正公式求解初值問題的迭代格式(步長為h) ，此方法是 2 階方法。4) 函數(shù) 與函數(shù)中,是三次樣條函數(shù)的函數(shù)是 ，另一函數(shù)不是三次樣條函數(shù)的理由是 不滿足具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù) 。5) 2n階Newton-Cotes公式至少具有2n+1次代數(shù)精度。6) 設(shè)，則關(guān)于的 1 , , 。2.對于迭代函數(shù)，試討論： （1）當(dāng)C為何值時，產(chǎn)生的序列收斂于； （2）C取何值對收斂最快？ （3）分別取，計算的不動點，要求 解（1），根據(jù)定理7.3當(dāng)，亦即時迭代收斂。 （2）由定理7.4知，當(dāng)，即時迭代至少是二階收斂的，收斂最快。 （3）分別取，并取迭代計算結(jié)果如表7-4所示。 表7-4 kk01.201.211.

9、4811.39798989961414120505121.41420930331.414213559131.41421532741.414213562此時都達(dá)到。事實上，3.設(shè)，已知Ax=b的精確解為x=(3,-1)T. （1）計算條件數(shù)Cond(A)¥ （2）若近似解，計算剩余向量； （3）利用事后誤差估計式計算不等式右端，并與不等式左邊比較。此結(jié)果說明了什么？ 解 （1） （2） （3）由事后誤差估計式，右端為而左端 這表明當(dāng)A為病態(tài)矩陣時，盡管剩余|r|很小，誤差估計仍然較大。因此，當(dāng)A病態(tài)時，用|r|大小作為檢驗解的準(zhǔn)確度是不可靠的。4.設(shè)lk(x)

10、是關(guān)于互異節(jié)點x0, x1, xn, 的Lagrange 插值基函數(shù)，證明證明：其中，wn+1(x)=故當(dāng)0£j£n時， =xj, 當(dāng)j=n+1時，xn+1=將x=0帶入即5.設(shè)是在空間Fspanj0,jn中對f(x)ÎCa,b的最佳平方逼近,證明：(f-p, f-p)=(f,f)- 證：注意到ak是法方程組的解。而法方程組故"k=1,n, (f(x)-p(x), jk)=0, -(5分)(p-f),p)=0 -(5分)(f-p, f-p)=(f,f)-2(f,p)+(p,p)=(f,f)-(f,p)+(p-f),p)=(f,f)-(f,p) -(5分)

11、6.若用復(fù)化梯形求積公式計算積分 區(qū)間應(yīng)分 2129 等分，即要計算個 2130 點的函數(shù)值才能使截斷誤差不超過；若改用復(fù)化Simpson公式，要達(dá)到同樣精度區(qū)間應(yīng)分12 等分，即要計算個 25 點的函數(shù)值。1.填空1) 矩陣的 LU 分解中L是一個為單位下三角陣，而U是一個上三角陣。2) 設(shè)y=f (x1,x2) 若x1,x2,的近似值分別為x1*, x2*,令y*=f(x1*,x2*)作為y的近似值,其絕對誤差限的估計式為: e £| |f(x1*,x2*)|x1-x*1|+ |f(x1*,x2*)|x2-x*2|3) 設(shè)迭代函數(shù)j(x)在x*鄰近有r（³1）階連續(xù)導(dǎo)數(shù)

12、，且x* = j(x*)，并且有j(k)(x*)=0 (k=1,r-1)，但j(r) (x*)¹0，則xn+1=j(xn)產(chǎn)生的序列 xn 的收斂階數(shù)為_r_4) 設(shè)公式 為插值型求積公式， 則, 且=b-a5) 稱微分方程的某種數(shù)值解法為p階方法指的是其局部截斷誤差為O(hp+1)。 6) ，則7) 設(shè)x0, x1,x2是區(qū)間a, b上的互異節(jié)點，f(x)在a, b上具有各階導(dǎo)數(shù)，過該組節(jié)點的2次插值多項式的余項為： R2(x)= 2.已知函數(shù)方程，（1）確定有根區(qū)間a,b；（2）構(gòu)造不動點迭代公式使之對任意初始近似，迭代方法均收斂；（3）用所構(gòu)造的公式計算根的近似值，要求。 解

13、（1）令，由于，因此區(qū)間2,3是方程f(x)=0的一個有根區(qū)間，又因，當(dāng)時f(x)單減，故f(x)=0在內(nèi)有具僅有一根，即。 （2）將等價變形為，則，由于當(dāng)時故不動點迭代法，對均收斂。 （3）取，利用進行迭代計算，結(jié)果如表7-2所示k02.512.0820849990.41791500122.1246700040.04258500532.1194723870.005819761742.1200949760.000622589此時x4已滿足誤差要求，即。3.試證明矩陣A的譜半徑與范數(shù)有如下關(guān)系其中|A|為A的任何一種算子范數(shù)。 分析 由于譜半徑是特征值的絕對值的最大者，故由特征值的定義出發(fā)論證是

14、自然的。 證明 由特征值定義，對任一特征值l有AX=lX（X¹0，特征向量）取范數(shù)有|AX|=|l| × |X|由于范數(shù)|A|是一種算子范數(shù)，故有相容關(guān)系|AX|£|A| × |X|從而|l| × |X|£|A| × |X|由于X¹0，故|l|£|A|，從而r(A) £ |A|4.設(shè)p(x)是任意首次項系數(shù)為1的n+1次多項式，lk(x)是關(guān)于互異節(jié)點x0, x1, xn, 的Lagrange 插值基函數(shù)證明 其中證明：插值余項直接計算ok!5.回答下列問題：（1） 最佳平方逼近多項式與最小二乘

15、擬合多項式在計算方法上有何相似之處？二者區(qū)別是什么？相似：法方程組形式相同區(qū)別：內(nèi)急的具體含義不同（2） 求解線性最小二乘問題遇到的主要困難是什么？ 容易產(chǎn)生病態(tài)方程組6.1.填空1) 計算 f=(-1)6 , 取1.4 , 利用下列算式，那個得到的結(jié)果最好？答：C (A) , (B) (3-2)2, (C) , (D) 99-702) 稱序列xn是p 階收斂的條件為3) 在等式中, 系數(shù)ak與函數(shù)f(x) 無 關(guān)。（限填“有”或“無”）4) 設(shè)Pk(xk,yk) , k=1,2,5 為函數(shù)y=x2-3x+1上的5個互異的點，過P1,P5且次數(shù)不超過4次的插值多項式是 x2-3x+1 。5)

16、設(shè)f(x)ÎCa,b， f(x)的最佳一致逼近多項式是_一定_存在的。6) 求解微分方程數(shù)值解的Euler法的絕對穩(wěn)定區(qū)間是(-2,0) 。7) n個節(jié)點的插值型求積公式的代數(shù)精度不會超過2n1次。8) 高次插值容易產(chǎn)生_龍格（Runge）現(xiàn)象。9) Rn 上的兩個范數(shù)|x|p, |x|q等價指的是_$C,DÎR,_C_|x|q _£|x|p£D |x|q _； Rn 上的兩個范數(shù)_一定_是等價的。（選填“一定”或“不一定”）。2.曲線與在點（1.6,1）附近相切，試用牛頓迭代法求切點橫坐標(biāo)的近似值，使。 解 兩曲線的導(dǎo)數(shù)分別為和，兩曲線相切，導(dǎo)數(shù)相等，

17、故有令，則f(1)<0,f(2)>0，故區(qū)間1,2是f(x)=0的有根區(qū)間，又當(dāng)時，因此f(x)=0在1,2上有惟一實根x*，對f(x)應(yīng)用牛頓迭代法，得計算公式由于，故取迭代計算一定收斂，計算結(jié)果如表7-6所示。 表7-6kk02.031.70681528712.29305555641.70002561121.81778359251.7繼續(xù)計算仍得，故。注 本題也可令，解得切點橫坐標(biāo)滿足方程，用有重根時的牛頓迭代法（7.15）式計算，此時m=2，仍取x0=2，經(jīng)四步可得x*=1.7。3.設(shè)方程組 試考察解此方程組的雅可比迭代法及高斯-塞德爾迭代法的收斂性。 解：雅可比法的迭代矩陣

18、故雅可比迭代法收斂。 高斯-塞德爾法的迭代矩陣故高斯-塞德爾迭代法不收斂。4.回答下列問題：（1）什么叫樣條函數(shù)？P42（2）確定n+1個節(jié)點的三次樣條函數(shù)所需條件個數(shù)至少需要多少？（3） 三轉(zhuǎn)角法中參數(shù)mi的數(shù)學(xué)意義是什么？答：（1）1）是S（x）在a,b上具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)；2）對a,b上的劃分在每一個區(qū)間上是一個不高于三次的多項式。（2）4n個（3） mi=S/(xi) 即樣條函數(shù)在節(jié)點xi處的一階導(dǎo)數(shù)。5.證明：j0,jn為點集ximi=1上的線性無關(guān)族Û法方程GTGa=GTy有唯一解。其中證：充分性。首先注意到若a0,a1,.,an為方程組a0j0+a1j1+anjn=0 （

19、9）的解，則必為方程組(j0,j0) a0+ (j1,j0)a1 +(jn,j0)an=0(j0,j1) a0+ (j1,j1)a1 +(jn,j1)an=0.(j0,jn) a0+ (j1,jn)a1 +(jn,jn)an=0(10)的解。事實上，令j0, j1,jn 分別與(9)兩端作內(nèi)積得(10)，知也！設(shè)|GTG|¹0Þ（10）僅有0解Þ(9) 也僅有0解故j0,jn無關(guān)。證必要性）。 j0,jn無關(guān)Þ (9)僅有0解 即 "a =(a0,a1,.,an)¹0ÞGa¹0ÞaTGTGa=(Ga)T(

20、Ga)=|Ga|22>0ÞGTG正定Þ|GTG|>0|GTG|¹0.6.用復(fù)化梯形公式計算積分,要把區(qū)間0,1 一般要等分 41 份才能保證滿足誤差小于0.00005的要求（這里假定任意階導(dǎo)數(shù)存在，且）1.填空1) 設(shè)線性方程組的系數(shù)矩陣為A=,全主元消元法的第一次可選的主元素為-8，或8，第二次可選的主元素為8+7/8或-8-7/8. 列主元消元法的第一次主元素為-8；第二次主元素為(用小數(shù)表示)7.5; 2) 要使的近似值的相對誤差限£0.1%, 應(yīng)至少取_4_位有效數(shù)字。3) 用牛頓法求 f(x)=0 的n重根，為了提高收斂速度，通常轉(zhuǎn)

21、化為求另一函數(shù)u(x)=0的單根，u(x)=4) 在函數(shù)的最佳一致逼近問題中,評價逼近程度的指標(biāo)用的是函數(shù)的 無窮 范數(shù),在函數(shù)的最佳平方逼近問題中,評價逼近程度的指標(biāo)用的是函數(shù)的 2 范數(shù). 5) Gauss點與積分區(qū)間無關(guān)但與被積函數(shù)有關(guān)。2.設(shè)線性方程組的系數(shù)矩陣為A=,列主元消元法的第一次主元素為 (13) ；第二次主元素為(用小數(shù)表示) (14) ; 記此方程組的高斯-塞德爾迭代矩陣為BG=(aij)4´4，則a23= (15) , . (13) -8 ; (14) 7 .5; (15) -17/4;3. 設(shè)a>1。 （1）構(gòu)造計算I的迭代公式；（2）討論迭代過程的收

22、斂性； 解（1）計算I的迭代公式為 （2）上述迭代公式的迭代函數(shù)為。因。故由知，。即該迭代對于均收斂。4.設(shè)方程組 試考察解此方程組的雅可比迭代法及高斯-塞德爾迭代法的收斂性。 解：雅可比法的迭代矩陣，雅可比迭代法不收斂。 高斯-塞德爾法迭代矩陣故高斯-塞德爾迭代法收斂。5.設(shè)lk(x)是關(guān)于互異節(jié)點x0, x1, xn, 的Lagrange 插值基函數(shù)，證明(1) m=0,1,n(2) º0 m=1,2,n證明：由插值唯一性定理知(1)。展開知（2）6.設(shè)是在空間Fspanj0,jn中對f(x)ÎCa,b的最佳平方逼近,證明：(f-p, f-p)=(f,f)- 證：注意到

23、ak是法方程組的解。而法方程組故"k=1,n, (f(x)-p(x), jk)=0, -(5分)(p-f),p)=0 -(5分)(f-p, f-p)=(f,f)-2(f,p)+(p,p)=(f,f)-(f,p)+(p-f),p)=(f,f)-(f,p) -(5分)7.用復(fù)化梯形公式計算積分,要把區(qū)間0,1一般要等分 41 份才能保證滿足誤差小于0.00005的要求（這里）；如果知道，則用復(fù)化梯形公式計算積分此實際值 大 (大，小)。1.填空1) 設(shè)x=3.214, y=3.213，欲計算u=, 請給出一個精度較高的算式u=2) 若j0(x), j1(x), jn(x)是a,b上的正交

24、族。為f(x)的最佳平方逼近。系數(shù)ak=3) 令f(x)=ax7+ x4+3x+1, 則f20, 21,27= a ；f20, 21,28= 0 4) ，則 19 , 13_，_12 ；5) 已知方程組，則解此方程組的Jacobi迭代法 是 收斂（填“是”或“不”）。6) 確定n+1個節(jié)點的三次樣條函數(shù)所需條件個數(shù)至少需要_4n_個7) 迭代過程收斂的充分條件是 £ L<18) n個不同節(jié)點的插值型求積公式的代數(shù)精度一定會超過n-1 次2.應(yīng)用牛頓法于方程，導(dǎo)出求的迭代公式，并用此公式求的值。 解 ，所以牛頓迭代公式有易知。故取時，迭代收斂。 對于，取，迭代計算，得x1=10.

25、33043478,x2=10.70242553,x3=10.7237414x4=10.72380529,x5=10.72380529故。3.證明矩陣對于是正定的，而雅可比迭代只對是收斂的。 證明 當(dāng)時，由故A是正定的。又雅可比法迭代矩陣故，故當(dāng)時，雅可比迭代法收斂。4.用等節(jié)距分段二次插值函數(shù)在區(qū)間0,1上近似函數(shù)ex, 如何估算節(jié)點數(shù)目使插值誤差£´10-6 .解：考慮子區(qū)間xi-1,xi二次插值余項令x=xi+1/2+s(h/2)上式化簡為令 得h£0.028413故子區(qū)間個數(shù)為N=2/h»70.4, 取N=71故插值節(jié)點數(shù)為2N+1=143 5.求

26、f(x)=2x4在0,2上的3次最佳一致逼近多項式P(x)。已知T0(x)=cos0=1T1(x)=cosq=xT2(x)=cos2q=2x2-1T3(x)=cos3q=4x3-3xT4(x)=cos4q=8x4-8x2+1解：令x=t+1, tÎ-1,1, f(x)=g(t)=(t+1)4×2故g(t)的3次最佳一致逼近多項式為P3(t)=（4t3+7t2+4t+7/8）×2故f(x)的3次最佳一致逼近多項式為P(x)=P3(x-1)=（ 4x3-5x2+2x-1/8）×26.用梯形方法解初值問題 證明 其近似解為 并證明當(dāng)時,它收斂于原初值問題的準(zhǔn)確

27、解證明 用梯形公式 近似解的表達(dá)式 因此1.填空1) 用牛頓法解方程的迭代格式為2) ，則 4 ， 3.6180340 ， 5 ；3) 已知方程組，則解此方程組的Jacobi迭代法 是 收斂（填“是”或“不”）。4) 設(shè)Pk(xk,yk) , k=1,2,5 為函數(shù)y=x2-3x+1上的5個互異的點，過P1,P5且次數(shù)不超過4次的插值多項式是 x2-3x+1 。5) 設(shè)x0, x1,x2是區(qū)間a, b上的互異節(jié)點，f(x)在a, b上具有各階導(dǎo)數(shù)，過該組節(jié)點的2次插值多項式的余項為： R2(x)= 6)2.對于迭代函數(shù)，試討論： （1）當(dāng)C為何值時，產(chǎn)生的序列收斂于； （2）C取何值對收斂最快

28、？ （3）分別取，計算的不動點，要求 解（1），根據(jù)定理7.3當(dāng)，亦即時迭代收斂。 （2）由定理7.4知，當(dāng)，即時迭代至少是二階收斂的，收斂最快。 （3）分別取，并取迭代計算結(jié)果如表7-4所示。3.給定方程組 確定a的取值范圍，使方程組對應(yīng)的jacobi迭代收斂； 解：將所給方程組改寫成得Jacobi迭代陣。解之得。 其譜半徑。由，即，即。4.設(shè)函數(shù)f(x)是k次多項式，對于互異節(jié)點x1, xn,， 證明當(dāng)n>k時，差商f x, x1,xnº0，當(dāng)n£k時，該差商是k-n次多項式。證明：因注意到n>k時， f(n)(x)=0，n=k時， f(n)(x)=k!ak

29、，ak為f(x)的k次項系數(shù)。(7f)n£k-1 由差分定義遞推,查n=k-1,k-2, (3f)ok!5.求a,b,c的值，使達(dá)到最小解：就是求f(x)=sinx關(guān)于函數(shù)族span1,x,x2 在0,p上的最佳平方逼近。由內(nèi)積(f,g)= , 令j0=1，j1=x, j2=x2 計算知法方程為解之得：a0=-14/p, a1=72/p2, a2=-60/p36.試述何謂Gauss型求積公式。并證明： Gauss型求積公式的系數(shù)(這里是權(quán)函數(shù)) 其中C是常數(shù)(要求寫出C的表達(dá)式)。解 把用a，b上的n+1個節(jié)點（互不相同的） (k=0,1,n)而使數(shù)值求積公式的代數(shù)精確度達(dá)到2n+1

30、，稱為Gauss型求積公式(1) 是Gauss型求積公式，因此如果是不超過2n+1次的多項式兩邊應(yīng)該完全相等，取則 (2) 是Gauss型求積公式，因此代數(shù)精確度達(dá)到2n+1, 因此如果是不超過2n+1次的多項式兩邊應(yīng)該完全相等，取 得1.填空1) 設(shè)x=3.214, y=3.213，欲計算u=, 請給出一個精度較高的算式u=2) 已知方程組，則解此方程組的Jacobi迭代法 是 收斂（填“是”或“不”）。3) 確定n+1個節(jié)點的三次樣條函數(shù)所需條件個數(shù)至少需要_4n_個4) 用牛頓法解方程的迭代格式為5) ，要使，a應(yīng)滿足；6) 已知方程組，其雅可比法的迭代矩陣是_，高斯-塞德爾法的迭代格式

31、是_； 解 7) （6）中的雅可比迭代格式是否收斂_是_2.用牛頓法于方程，導(dǎo)出求的迭代公式，并用此公式求的值。 解 ，所以牛頓迭代公式有易知。故取時，迭代收斂。 對于，取，迭代計算，得x1=10.33043478,x2=10.70242553,x3=10.7237414x4=10.72380529,x5=10.72380529故。3.已知。 （1）求 （2）求A的譜半徑。 解 （1），。由，得。解得，故。 （2）由，得，解得，故。4.已知函數(shù)y=f(x)在點x0的某鄰域內(nèi)有n階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，記xk=x0+kh (k=1,2,n), 證明證明：因 xÎ(x0,x0+nh)注意到n階導(dǎo)數(shù)連

32、續(xù)性，兩邊取極限ok!5.設(shè)f(x)在有限維內(nèi)積空間Fspanj0,jn上的最佳平方逼近為p(x),試證明，f(x)-p(x)與F中所有函數(shù)正交。證明：查(f(x)-p(x), jj)=(f, jj)- (p(x), jj)注意到ak是法方程組的解。而法方程組兩邊的j-th 分量為 (jj,j0) (jj,j1) (jj,jn) =(p(x), jj)f(x)-p(x)與F中所有函數(shù)正交。6.用Euler法計算積分在點的近似值(可取) 解 原問題與初值問題等價, Euler公式 y(.5000E+00)=0.500000 y(.1000E+01) =1.142013 y(.1500E

33、+01) =2.501154 y(.2000E+01) =7.2450221.填空1) 用Newton法求方程f(x)=x3+10x-20=0 的根，取初值x0= 1.5, 則x1=1.59701492) 則 ， ， 解 al3) 設(shè)，為使A可分解為A=LLT，其中L是對角線元素為正的下三角形矩陣，則a的取值范圍是，取a=1，則L=。4) 確定n+1個節(jié)點的三次樣條函數(shù)所需條件個數(shù)至少需要_4n_個2. 用迭代法求方法的最小正根，要求精確到4位有效數(shù)字。 解 令,則。畫出及的圖形如圖6.1，其交點的橫坐標(biāo)就為所求正根。由圖可知交點的橫坐標(biāo)約在0.3附近。又由，可取區(qū)間（0，0.5）討論，并將改

34、寫為。則，是個增函數(shù)，將x=0.5代入有。計算得因，故取.3.用迭代法的思想，給出求的迭代格式，并證明。 解 記，則有因上述迭代格式之迭代函數(shù)為，則。故對于任意的，均有，迭代是收斂的。 不妨設(shè)，則有，即。解之得I=2及I=-1，負(fù)根不合題意舍去，故，即。4.已知由插值節(jié)點(0,0),(0.5,y),(1,3)和(2,2)構(gòu)造的3次插值多項式P3(x)的x3的系數(shù)為6，試確定數(shù)據(jù)y.解：P3(x)故最高次項系數(shù)為 帶入數(shù)值解得y=4.25.5.設(shè)f(x)=2x4在-1,1上的不超過3次最佳一致逼近多項式P(x)= 2x2-1/4 。6.證明定積分近似計算的拋物線公式 具有三次代數(shù)精度 證明 如果

35、具有4階導(dǎo)數(shù),則=(hÎa,b) 因此對不超過3次的多項式f(x)有即精確成立,對任一4次的多項式f(x)有 因此定積分近似計算的拋物線公式具有三次代數(shù)精度或直接用定義證.1.填空(1). 若 f (x) 充 分 光 滑， 若2 n+1 次 多 項 式 H2n+1(x) 滿 足H2n+1(xi)= f (xi), ,則稱H2n+1(x)是f (x)的 Hermite插值_多項式，且余項R（x）=f (x)H2n+1(x)= ；(2). Simpsons數(shù)值求積公式具有3 次代數(shù)精度，用于計算所產(chǎn)生的誤差值為；(3). 形如的插值型求積公式，其代數(shù)精度至少可達(dá)到 n 階，至多可達(dá)到_2

36、n+1_階；(4). 勒讓德（Legendre）多項式是區(qū)間-1,1 上，帶權(quán)1 正交的正交多項2.設(shè)有解方程的迭代法。 （1）證明，均有（x*為方程的根）。 （2）取x0=4,用此迭代法求方程根的近似值，誤差不超過10-3。 （3）此迭代法的收斂階是多少？證明你的結(jié)論。 解（1）因迭代函數(shù)，而對一切x,均有故迭代過程收斂，即，均有。 （2）取x0=4,代入迭代式計算有，。取即可使誤差不超過. (3)因，故由推論6.1知，此迭代格式只具線性收斂。3.建立解線性方程組的收斂的迭代格式。 解 由第一個方程的二倍加上第二個方程得 由第一個方程加上第二個方程再加第三個方程的10倍，得 由此得到與原方程

37、組同解的新方程組： 顯然，新方程組的系數(shù)矩陣按行嚴(yán)格對角占優(yōu)，故可建立雅可比迭代格式與高斯-塞德爾迭代格式，而兩種格式均收斂。 其雅可比迭代格式為其高斯-塞德爾迭代格式為4設(shè)lk(x)是關(guān)于互異節(jié)點x0, x1, xn, 的Lagrange 插值基函數(shù)，證明是n次多項式，且最高次系數(shù)為x0+ xn,證：查-5分注意余項=xn+1-wn+1(x) -5分ok!5.函數(shù)f(x)=|x| 在-1,1上求關(guān)于函數(shù)族span1,x2,x4的最佳平方逼近多項式。解：由內(nèi)積(f,g)= , 令j0=1，j1=x2, j2=x4, 計算知法方程得 解之得：a0=15/185=0.117a1=105/64=1.

38、64a2=-105/128=-0.820最佳平方逼近多項式為: 0.117+1.64x2-0.820x46.證明(1) 計算積分的個基點的求積公式的代數(shù)精確度至少是的充分必要條件是 其中 (2) 如果(1)中的個基點的求積公式的代數(shù)精確度是2,則 證明 (1) 必要性 因的代數(shù)精確度至少是,取.則而,因此充分性 如果 且 ,其中 則 因此當(dāng)f(x)是任一次數(shù)不超過n的多項式時, .即代數(shù)精確度至少是。(2) 由(1)知，因求積公式的代數(shù)精確度是2,因此當(dāng)時, ，而因此 1.填空1) 設(shè)x=3.214, y=3.213，欲計算u=, 請給出一個精度較高的算式u=2) Simpsons數(shù)值求積公式

39、具有3 代數(shù)精度，用于計算所產(chǎn)生的誤差值為；3) 形如的插值型求積公式，其代數(shù)精度至少可達(dá)到 n 階，至多可達(dá)到_2n+1_階；4) 確定n+1個節(jié)點的三次樣條函數(shù)所需條件個數(shù)至少需要_4n_個5) 用牛頓法解方程的迭代格式為2.用迭代法求方程在區(qū)間2，3上的根，并討論迭代的斂散性。 （1）； （2）； （3）解：（1）對于迭代格式（1），其迭代函數(shù)為，則在2,3上具有連續(xù)的一階導(dǎo)數(shù)，且，有，故單調(diào)增加，又，于是，當(dāng)時，滿足定理4.1條件（1）。 又，取正值，且單調(diào)遞減，所以有 即滿足定理4.1的條件（2），從而迭代格式（1）收斂。 （2）對于迭代格式（2），其迭代函數(shù)為，且當(dāng)時，有，故是單調(diào)

40、減少，但，顯然不滿足定理4.1的條件（1），但若在2,3的子區(qū)間2,2.5中考察，則有，也即滿足定理4.1的條件（1），又，在2,2.5上取負(fù)值且單調(diào)遞增，從而有，即滿足定理4.2的條件（2），從而迭代格式（2）在區(qū)間2,2.5上收斂。 （3）對于迭代格式（3），其迭代函數(shù)為，在區(qū)間2,3上有，從而。 在此補充一個判別迭代法發(fā)散的充分條件： 若存在使，而當(dāng)時，迭代發(fā)散。 從而迭代格式（3）當(dāng)時，迭代發(fā)散。3.設(shè)，求解方程組，求雅可比迭代法充要條件。 解 雅可比法的迭代矩陣 故雅可比法收斂的充要條件是。4.推導(dǎo)用最小二乘法解矛盾方程組Ax=b 的法方程組ATAx=ATb解：給出目標(biāo)函數(shù)h (x)

41、=|Ax-b|2 -5=xTATAx-2xTATb+bTb -5求偏導(dǎo)得到駐點方程組ATAx-ATb=0 -55.數(shù)值求積公式: 當(dāng)取何值時代數(shù)精度最高?是多少次?解 當(dāng),兩邊總是相等的；當(dāng)要使兩邊相等,則得 ,此時當(dāng)兩邊總相等，當(dāng)兩邊不相等, 最高代數(shù)精度是3。6.導(dǎo)出用Euler法求解 的公式, 并證明它收斂于初值問題的精確解解 Euler公式 1.填空1) 用Newton法求方程f(x)=x3+10x-20=0 的根，取初值x0= 1.5, 則x1=1.59701492) 則 ， ， 解 3) 設(shè)x0, x1,x2是區(qū)間a, b上的互異節(jié)點，f(x)在a, b上具有各階導(dǎo)數(shù)，過該組節(jié)點的

42、2次插值多項式的余項為： R2(x)= 4) 已知方程組，其雅可比法的迭代矩陣是_，高斯-塞德爾法的迭代格式是_； 解 5) （3）（4）中的雅可比迭代格式是否收斂_是_，其漸近收斂速度6) 若 f (x) 充 分 光 滑， 若2 n+1 次 多 項 式 H2n+1(x) 滿 足H2n+1(xi)= f (xi), ,則稱H2n+1(x)是f (x)的 Hermite插值_多項式，且余項R（x）=f (x)H2n+1(x)= ；2.設(shè)法導(dǎo)出計算的牛頓法迭代公式，并要求公式中既無開方運算，又無除法運算。 解 由于要求迭代式中既無開方運算，又無除法運算，故將計算等價化為求的正根， 而此時有所以計算

43、的牛頓法迭代公式為3.設(shè)，求解方程組，求雅可比迭代法與高斯-塞德爾迭代法收斂充要條件。 解 雅可比法的迭代矩陣 故雅可比法收斂的充要條件是。 高斯-塞德爾法的迭代矩陣故高斯-塞德爾法收斂的充要條件是。4.設(shè)g(x)和h(x)分別是f(x)關(guān)于互異節(jié)點x1, xn-1以及互異節(jié)點x2, xn的插值多項式，試用g(x)和h(x)表示f(x)關(guān)于互異節(jié)點x1, xn的插值多項式.解：令q(x)=Ag(x)(x-xn)+Bh(x)(x-x1)為待定n次多項式，A,B為待定系數(shù)，注意到g(xk)=f(xk), k=1,n-1h(xk)=f(xk), k=2,n -(7f)帶入得A=1/x1-xn,B=1

44、/xn-x1,帶入ok!5.求f(x)=lnx ,xÎ1,2上的二次最佳平方逼近多項式的法(正規(guī))方程組。（要求精確表示，即不使用小數(shù)）解：取F=span1,x,x2,a,b=1,2 法方程組為 計算知解之得：a0=-1.142989, a1=1.382756,a2=-0.233507最佳平方逼近多項式為P2(x)=-1.42+1.38x-0.233x2平方誤差為|f-P2|22=(f,f)-a0(f,j0) a1(f,j1) a2(f,j2)»0.4´10-5 6.證明：（1）Newton-Cotes系數(shù)滿足如下等式： (2）設(shè) ，分別表示把區(qū)間a,b n,2n

45、等分后復(fù)化梯形公式計算積分，表示把區(qū)間a,b n等分后復(fù)化Simpson公式計算積分。證明下式成立： 證明 (1) 因為 Newton-Cotes求積公式為 ，其中而Newton-Cotes系數(shù)滿足 因 ，故. (2) 因 又因 整理即可得 1.填空1) ，則 19 , 13_，_12 ；2) 迭代過程收斂的充分條件是 £ 13) 確定n+1個節(jié)點的三次樣條函數(shù)所需條件個數(shù)至少需要_4n_個4) 設(shè)x0, x1,x2是區(qū)間a, b上的互異節(jié)點，f(x)在a, b上具有各階導(dǎo)數(shù)，過該組節(jié)點的2次插值多項式的余項為： R2(x)= 5) 若用復(fù)化梯形求積公式計算積分 區(qū)間應(yīng)分 2129

46、等分，即要計算個 2130 點的函數(shù)值才能使截斷誤差不超過；若改用復(fù)化Simpson公式，要達(dá)到同樣精度區(qū)間應(yīng)分12 等分，即要計算個 25 點的函數(shù)值。2.考慮求解方程的迭代公式 （1）試證：對任意初始近似，該方法收斂； （2）取，求根的近似值； （3）所給方法的收斂階是多少？ 解（1）由迭代公式知，迭代函數(shù)。由于的值域介于與之間，且故根據(jù)定理7.1,7.2知在內(nèi)存在惟一的不動點x*，且對，迭代公式得到的序列收斂于x*。 （2）取，迭代計算結(jié)果如表7-3所示。表7-3k0413.5642375870.43576241323.39199516803541248270.

47、03787034143.3483333840.00579144353.3475299030.000803481此時已滿足差要求，即 （3）由于，故根據(jù)定理7.4知方法是線性收斂的，并有有。3.下述矩陣能否分解為LU（其中L為單位下三角陣，U為上三角陣）？若能分解，那么分解是否惟一？， 解 A中D2=0，故不能分解。但det(A)=-10¹0，故若將A中第一行與第三行交換，則可以分解，且分解惟一。 B中，D2=D3=0，但它仍可以分解為其中l(wèi)32為一任意常數(shù)，且U奇異，故分解不惟一。 對C，Di¹0，i=1,2,3，故C可分解且分解惟一。4.設(shè)p(x)是任意首次項系數(shù)為1的n

48、+1次多項式，lk(x)是關(guān)于互異節(jié)點x0, x1, xn, 的Lagrange 插值基函數(shù)證明 其中證明：插值余項直接計算ok!5.求函數(shù)f(x)= 在1,3上求關(guān)于函數(shù)族span1,x的最佳平方逼近多項式。解：由內(nèi)積(f,g)= , 令j0=1，j1=x, 計算法方程得解之得：a0=(13/2)ln3-6=1.14a1=3-3ln3=0.295最佳平方逼近多項式為: 1.14-0.295x6. 1）設(shè)是0,1區(qū)間上帶權(quán)的最高次項系數(shù)為1的正交多項式系，求 2）構(gòu)造如下的Gauss型求積公式解 (1) , (2) 的兩零點為(即Gauss點) Gauss型求積公式1.填空1) 設(shè)Pk(xk,yk) , k=1,2,5 為函數(shù)y=x2-3x+1上的5個互異的點，過P1,P5且次數(shù)不超過4次的插值多項式是 x2-3x+1 。函數(shù) 與函數(shù)中,是三次樣條函數(shù)的函數(shù)是個g（x） ，另一函數(shù)不是三次樣條函數(shù)的理由是二階導(dǎo)不連續(xù) 。2) 設(shè)若,則矩陣A的1-范數(shù) 4 ，cond1(A)= 16 。3) 方程組用超松馳法求解時，迭代矩陣為,要使迭代法收斂，條件0<w<2是 必要條件 (充分條件、