球的表面積與體積(一)

1、假設將圓假設將圓n等分，則等分，則n=6n=12A1A2OA2A1AnO1n3221OAAOAAOAASSSS正多邊形)AAAAAA(p211n3221正多邊形pC21圓正多邊形時，當CC,Rpn2RR2R21S圓pA3 早在公元三世紀，我國數(shù)學家劉徽早在公元三世紀，我國數(shù)學家劉徽為推導圓的面積公式而發(fā)明了為推導圓的面積公式而發(fā)明了“倍倍邊法割圓術邊法割圓術”。他用加倍的方式不斷增加圓內接正他用加倍的方式不斷增加圓內接正多邊形的邊數(shù)，使其面積與圓的面多邊形的邊數(shù)，使其面積與圓的面積之差更小，即所謂積之差更小，即所謂“割之彌細，割之彌細，所失彌小所失彌小”。這樣重復下去，就達。這樣重復下去，就達

2、到了到了“割之又割，以至于不可再割，割之又割，以至于不可再割，則與圓合體而無所失矣則與圓合體而無所失矣”。這是世界上最早的這是世界上最早的“極限極限”思想。思想。 當分割的當分割的層數(shù)不斷層數(shù)不斷增加，每增加，每一層就越一層就越接近一個接近一個圓柱體。圓柱體。OR)1( inR.,2,1,)1(22niinRRri ir設球的半徑為設球的半徑為R，它的體積只與，它的體積只與半徑半徑R有關。有關。將半球分割成將半球分割成n層，每一層都近似層，每一層都近似于圓柱形狀的于圓柱形狀的“小圓片小圓片”。這些。這些“小圓片小圓片”的體積之和就是球的的體積之和就是球的體積。體積。選第選第i層（由下而上），如

3、右圖。層（由下而上），如右圖。厚度：厚度：下底面半徑：下底面半徑：體積：體積：Rn 23211ninRnRrVii 12nVVVV半球322222212(1)1 (1)(1)1Rnnnnn3222212(1)Rnnnn32(1)( 21)16nnRn612121222)(nnnn311(1)(2)16nnVR半球1nn當 無限變大時， 趨于0323VR半球343VR球R332RV 半球半球331RV 圓錐圓錐3RV 圓柱圓柱高等于底面半徑的旋轉體體積對比高等于底面半徑的旋轉體體積對比例例1. 1.鋼球直徑是鋼球直徑是5cm,5cm,求它的體積求它的體積. .3336125)25(3434cmR

4、V334RV定理定理:半徑是半徑是R的球的體積的球的體積變式變式1 1：一種空心鋼球的質量是一種空心鋼球的質量是142g,142g,外徑外徑是是5cm,5cm,求它的內徑求它的內徑.( .(鋼的密度是鋼的密度是7.9g/cm7.9g/cm2 2) )解:設空心鋼球的內徑為2xcm,則鋼球的質量是答:空心鋼球的內徑約為4.5cm.142 34)25(349 . 733x3 .1149 . 73142)25(33x由計算器算得:24. 2x5 . 42 x變式變式2: 2: 有三個球有三個球,一球切于正方體的各面一球切于正方體的各面,一球切于正方體的各側棱一球切于正方體的各側棱,一球過正方體一球過

5、正方體的各頂點的各頂點,求這三個球的體積之比求這三個球的體積之比.作軸截面作軸截面1.球的直徑伸長為原來的球的直徑伸長為原來的2倍倍,體積變?yōu)樵瓉眢w積變?yōu)樵瓉淼膸妆兜膸妆?2.一個正方體的頂點都在球面上一個正方體的頂點都在球面上,它的棱長是它的棱長是4cm,求這個球的體積求這個球的體積. 8倍倍3321.1.兩種方法兩種方法: :化整為零的思想方法和化整為零的思想方法和“分分 割割, ,求和求和, ,取極限取極限”的數(shù)學方法的數(shù)學方法. .2.2.一個觀點一個觀點: :在一定條件下在一定條件下, ,化曲為直的化曲為直的 辨證觀點辨證觀點. .3.3.一個公式一個公式: :半徑為半徑為R R的球的