笛卡爾坐標系參考模板

1、笛卡兒坐標系（在這篇文章內(nèi)，向量與標量分別用粗體與斜體顯示。例如，位置向量通常用  表示；而其大小則用  來表示。）在數(shù)學(xué)里，笛卡兒坐標系（Cartesian坐標系），也稱直角坐標系，是一種正交坐標系。參閱圖 1 ，二維的直角坐標系是由兩條相互垂直、0 點重合的數(shù)軸構(gòu)成的。在平面內(nèi)，任何一點的坐標 是根據(jù)數(shù)軸上 對應(yīng)的點的坐標設(shè)定的。在平面內(nèi)，任何一點與坐標的對應(yīng)關(guān)系，類似于數(shù)軸上點與坐標的對應(yīng)關(guān)系。采用直角坐標，幾何形狀可以用代數(shù)公式明確的表達出來。幾何形狀的每一個點的直角坐標必須遵守這代數(shù)公式。例如，一個圓圈，半徑是 2 ，圓心位于直角坐標系的原點。

2、圓圈可以用公式表達為：。圖1 歷史笛卡爾坐標系是由法國數(shù)學(xué)家勒內(nèi)·笛卡爾創(chuàng)建的。1637年，笛卡爾發(fā)表了巨作方法論。這本專門研究與討論西方治學(xué)方法的書，提供了許多正確的見解與良好的建議，對于后來的西方學(xué)術(shù)發(fā)展，有很大的貢獻。為了顯示新方法的優(yōu)點與果效，以及對他個人在科學(xué)研究方面的幫助，在方法論的附錄中，他增添了另外一本書幾何。有關(guān)笛卡兒坐標系的研究，就是出現(xiàn)于幾何這本書內(nèi)。笛卡兒在坐標系這方面的研究結(jié)合了代數(shù)與歐幾里得幾何，對于后來解析幾何、微積分、與地圖學(xué)的建樹，具有關(guān)鍵的開導(dǎo)力。二維坐標系統(tǒng)參閱圖 2 ，二維的直角坐標系通常由兩個互相垂直的坐標軸設(shè)定，通常分別稱為 x-軸 和 y

3、-軸；兩個坐標軸的相交點，稱為原點，通常標記為 O ，既有“零”的意思，又是英語2 / 8“Origin”的首字母。每一個軸都指向一個特定的方向。這兩個不同線的坐標軸，決定了一個平面，稱為 xy-平面，又稱為笛卡兒平面。通常兩個坐標軸只要互相垂直，其指向何方對于分析問題是沒有影響的，但習(xí)慣性地（見右圖），x-軸被水平擺放，稱為橫軸，通常指向右方；y-軸被豎直擺放而稱為縱軸，通常指向上方。兩個坐標軸這樣的位置關(guān)系，稱為二維的右手坐標系，或右手系。如果把這個右手系畫在一張透明紙片上，則在平面內(nèi)無論怎樣旋轉(zhuǎn)它，所得到的都叫做右手系；但如果把紙片翻轉(zhuǎn)，其背面看到的坐標系則稱為“左手系”。這和

4、照鏡子時左右對掉的性質(zhì)有關(guān)。圖2 為了要知道坐標軸的任何一點，離原點的距離。假設(shè)，我們可以刻畫數(shù)值于坐標軸。那么，從原點開始，往坐標軸所指的方向，每隔一個單位長度，就刻畫數(shù)值于坐標軸。這數(shù)值是 刻畫的次數(shù)，也是離原點的正值整數(shù)距離；同樣地，背著坐標軸所指的方向，我們也可以刻畫出 離原點的負值整數(shù)距離。稱x-軸刻畫的數(shù)值為x-坐標，又稱橫坐標，稱y-軸刻畫的數(shù)值為y-坐標，又稱縱坐標。雖然，在這里，這兩個坐標都是整數(shù)，對應(yīng)于坐標軸特定的點。按照比例，我們可以推廣至實數(shù)坐標 和其所對應(yīng)的坐標軸的每一個點。這兩個坐標就是直角坐標系的直角坐標，標記為。任何一個點 P 在平面的位置，可以用直角坐標來獨特

5、表達。只要從點P畫一條垂直于x-軸的直線。從這條直線與x-軸的相交點，可以找到點P的 x-坐標。同樣地，可以找到點 P 的 y-坐標。這樣，我們可以得到點 P 的直角坐標。例如，參閱圖 3 ，點 P 的直角坐標是  。直角坐標系也可以推廣至三維空間與高維空間 (higher dimension) 。參閱圖 3 ，直角坐標系的兩個坐標軸將平面分成了四個部分，稱為象限，分別用羅馬數(shù)字編號為  ， ， ， 。依照慣例，象限  的兩個坐標都是正值；象限  的 x-坐標是負值， y-坐

6、標是正值；象限  的兩個坐標都是負值的；象限  的 x-坐標是正值， y-坐標是負值。所以，象限的編號是按照逆時針方向，從象限  編到象限  。圖3 三維坐標系統(tǒng)在原本的二維直角坐標系，再添加一個垂直于 x-軸，y-軸的坐標軸，稱為 z-軸。假若，這三個坐標軸滿足右手定則，則可得到三維的直角坐標系。這 z-軸與 x-軸，y-軸相互正交于原點。在三維空間的任何一點 P ，可以用直角坐標 來表達其位置。例如，參閱圖 5 ，兩個點 P 與 Q 的直角坐標分別為  與 &#

7、160;。三個平面，xy-平面，yz-平面，xz-平面，將三維空間分成了八個部分，稱為卦限 (octant) 。與二維空間的四個象限不同，只有一個卦限有編號。第一號卦限的每一個點的三個坐標都是正值的。圖 4 - 直角坐標系的幾個坐標曲面。紅色平面的  。黃色平面的  。藍色平面的  。z-軸是豎直的，以白色表示。x-軸以綠色表示。三個坐標曲面相交于點 P （以黑色的圓球表示），直角坐標大約為  。圖 5 - 三維直角坐標系。y-軸的方向是遠離讀者。圖 6 - 三維直角坐標系。x-軸的方向是親近讀者。取向二

8、維空間直角坐標系的 x-軸與 y-軸必須相互垂直。稱包含 y-軸的直線為 y-線。在二維空間里，當我們設(shè)定了 x-軸的位置與方向的同時，我們也設(shè)定了 y-線的方向?？墒牵覀?nèi)耘f必須選擇，在 y-線的以原點為共同點的兩條半線中，那一條半線的點的坐標是正值的，那一條是負值的？任何一種選擇決定了 xy-平面的取向。參閱圖 1 。通常，我們選擇的取向是，正值的 x-軸橫地指向右方，正值的 y-軸縱地指向上方。這種取向稱為正值取向，標準取向，或右手取向。右手定則是一種常用的記憶方法，專門用來辨認正值取向：將一只半握拳的右手放在平面上，大拇指往上指，那么，其它的手指都從 x-軸指向 y-軸。另外一種取向

9、，采用左手定則，專門用來辨認負值取向，或左手取向：將一只半握拳的左手放在 xy-平面上，大拇指往上指，那么，其它的手指都從 y-軸指向 x-軸。不論坐標軸是何種取向，將坐標系統(tǒng)做任何角度的旋轉(zhuǎn)，取向仍舊會保持不變。三維空間直角坐標系的 x-軸，y-軸，與 z-軸必須相互垂直。稱包含 z-軸的直線為 z-線。在三維空間里，當我們設(shè)定了 x-軸，y-軸的位置與方向的同時，我們也設(shè)定了 z-線的方向?？墒牵覀?nèi)耘f必須選擇，在 z-線以原點為共同點的兩條半線中，那一條半線的點的坐標是正值的，那一條是負值的？這兩種不同的坐標系統(tǒng)，稱為右手坐標系與左手坐標系。右手坐標系又稱為標準坐標系，或正值坐標系。圖 7右手坐標系這名詞是由右手定則而來的。先將右手的手掌與手指伸直。然后，將中指指向往手掌的掌面 半空間，與食指呈直角關(guān)系。再將大拇指往上指去，與中指，食指都呈直角關(guān)系。則大拇指，食指，與中指分別表示了右手坐標系的 x-軸，y-軸，與 z-軸。同樣地，用左手也可以表示出左手坐標系。圖 8 試著展示出一個左手坐標系與一個右