同濟(jì)大學(xué)高等數(shù)學(xué)教案第八章無窮級數(shù)

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上高等數(shù)學(xué)教學(xué)教案第一章函數(shù)、連續(xù)與極限授課序號(hào)01教 學(xué) 基 本 指 標(biāo)教學(xué)課題第八章 第一節(jié) 常數(shù)項(xiàng)級數(shù)的概念與性質(zhì)課的類型復(fù)習(xí)、新知識(shí)課教學(xué)方法講授、課堂提問、討論、啟發(fā)、自學(xué)教學(xué)手段黑板多媒體結(jié)合教學(xué)重點(diǎn)幾何級數(shù)和p級數(shù)教學(xué)難點(diǎn)無窮級數(shù)概念和性質(zhì)參考教材同濟(jì)版、人大版高等數(shù)學(xué)；同濟(jì)版微積分武漢大學(xué)同濟(jì)大學(xué) 微積分學(xué)習(xí)指導(dǎo)安玉偉等高等數(shù)學(xué)定理 方法 問題作業(yè)布置課后習(xí)題微積分標(biāo)準(zhǔn)化作業(yè)大綱要求理解無窮級數(shù)收斂、發(fā)散以及和的概念，了解無窮級數(shù)基本性質(zhì)及收斂的必要條件，掌握幾何級數(shù)和p級數(shù)的收斂性教 學(xué) 基 本 內(nèi) 容一、基本概念：定義1 設(shè)有數(shù)列，將數(shù)列中的各項(xiàng)用加

2、號(hào)連接的形式稱為常數(shù)項(xiàng)無窮級數(shù)，簡稱級數(shù)，記為，其中是求和記號(hào)，稱為下標(biāo)變量，第項(xiàng)稱為級數(shù)的一般項(xiàng)（通項(xiàng)）.定義2 對數(shù)列，取它的前項(xiàng)的和，稱為級數(shù)的部分和（前項(xiàng)之和）.定義3 若級數(shù)的部分和數(shù)列有極限， 即，則稱無窮級數(shù)收斂，這時(shí)，極限就叫做無窮級數(shù)的和，并寫成；若數(shù)列沒有極限，則稱無窮級數(shù)發(fā)散.二、定理與性質(zhì)：收斂級數(shù)的基本性質(zhì)性質(zhì)1 若級數(shù)收斂，其和為，則對任何常數(shù)，級數(shù)收斂，且其和為，即性質(zhì)2 若級數(shù)，分別收斂于和，即則級數(shù)也收斂，其和為，即有推論 若，則級數(shù)與具有相同的收斂性；若級數(shù)，一個(gè)收斂一個(gè)發(fā)散，則級數(shù)一定發(fā)散.性質(zhì)3(級數(shù)收斂的必要條件) 如果級數(shù)收斂，則.推論 如果當(dāng)時(shí)，級

3、數(shù)的一般項(xiàng)不趨于零，那么級數(shù)發(fā)散.性質(zhì)4 改變級數(shù)中有限項(xiàng)的值不會(huì)改變級數(shù)的收斂性.推論 級數(shù)中去掉或加進(jìn)有限多項(xiàng)不改變級數(shù)的收斂性.三、主要例題：例1 討論級數(shù)(等比級數(shù)) 的收斂性.例2 證明級數(shù)是收斂的.例3 判定級數(shù)的斂散性.例 4 判定級數(shù)的斂散性.例5證明級數(shù) 是發(fā)散的.例6 證明調(diào)和級數(shù)是發(fā)散的.例7 求級數(shù)的和.例8 討論級數(shù)的收斂性.授課序號(hào)02教 學(xué) 基 本 指 標(biāo)教學(xué)課題第八章 第二節(jié) 常數(shù)項(xiàng)級數(shù)的審斂準(zhǔn)則課的類型新知識(shí)課教學(xué)方法講授、課堂提問、討論、啟發(fā)、自學(xué)教學(xué)手段黑板多媒體結(jié)合教學(xué)重點(diǎn)比較法和比值法，萊布尼茲公式教學(xué)難點(diǎn)絕對收斂和條件收斂參考教材同濟(jì)版、人大版高等數(shù)

4、學(xué)；同濟(jì)版微積分武漢大學(xué)同濟(jì)大學(xué) 微積分學(xué)習(xí)指導(dǎo)安玉偉等高等數(shù)學(xué)定理 方法 問題作業(yè)布置課后習(xí)題微積分標(biāo)準(zhǔn)化作業(yè)大綱要求了解正項(xiàng)級數(shù)的比較審斂法，掌握正項(xiàng)級數(shù)的比值審斂法，了解交錯(cuò)級數(shù)的萊布尼茲定理，會(huì)估計(jì)交錯(cuò)級數(shù)的截?cái)嗾`差，了解無窮級數(shù)絕對收斂與條件收斂的概念以及絕對收斂與收斂的關(guān)系教 學(xué) 基 本 內(nèi) 容一、基本概念：常數(shù)設(shè)，級數(shù)或稱為交錯(cuò)級數(shù).項(xiàng)級數(shù)的每一項(xiàng)都是常數(shù)，當(dāng)各項(xiàng)都是大于或等于零的常數(shù)時(shí)，稱為正項(xiàng)級數(shù).設(shè)有級數(shù)，其中為任意實(shí)數(shù)，那么該級數(shù)叫做任意項(xiàng)級數(shù)若級數(shù)收斂，級數(shù)也收斂，則稱級數(shù)絕對收斂；若級數(shù)收斂，級數(shù)發(fā)散，則稱級數(shù)條件收斂；二、定理與性質(zhì)：定理1（基本定理） 正項(xiàng)級數(shù)收斂

5、的充分必要條件是它的部分和數(shù)列有界.定理2（比較審斂定理）：設(shè)是兩個(gè)正項(xiàng)級數(shù)，且，則有若級數(shù)收斂，則級數(shù)也收斂； 若級數(shù)發(fā)散，則級數(shù)也發(fā)散.推論（比較審斂定理的極限形式）：設(shè)是兩個(gè)正項(xiàng)級數(shù)，若，則與同斂散；若，則當(dāng)收斂，有也收斂；若，則當(dāng)發(fā)散，有也發(fā)散.定理3（比值審斂定理）設(shè)是正項(xiàng)級數(shù)，且， 則有定理4（根值審斂定理） 若為正項(xiàng)級數(shù)，且，則當(dāng)時(shí)，收斂；當(dāng)時(shí)， 發(fā)散；當(dāng)時(shí)，無法確定.*定理5（積分審斂定理）若（）為非負(fù)的不增函數(shù)， 則與同斂散.定理6 (萊布尼茲定理) 如果交錯(cuò)級數(shù)滿足條件：（1） ； （2），則交錯(cuò)級數(shù)收斂，且收斂和.定理7 若正項(xiàng)級數(shù)收斂，則任意項(xiàng)級數(shù)必收斂.定理8 設(shè)是任

6、意項(xiàng)級數(shù)，若滿足下列條件之一，則級數(shù)必絕對收斂.(1) 存在收斂的正項(xiàng)級數(shù)，滿足;(2）;（3）三、主要例題：例1 證明正項(xiàng)級數(shù)是收斂的.例2判定級數(shù)的斂散性.例3 證明正項(xiàng)級數(shù)當(dāng)時(shí)是發(fā)散的.例4 判定下列級數(shù)的收斂性：(1) ; (2) .例5證明級數(shù)是發(fā)散的.例6 判定級數(shù)的斂散性. 例7 判別下列級數(shù)的收斂性(1) ； (2) .例8 判別下列級數(shù)的收斂性：(1) ； (2) ； (3) ;（4）； （5）； （6）.例9 判別級數(shù)的斂散性.例10 判別級數(shù)的收斂性.例11 討論下列正項(xiàng)級數(shù)的斂散性.（1） ； （2）.例12 討論下列正項(xiàng)級數(shù)的斂散性.（1）； （2）.例13 試證明交

7、錯(cuò)級數(shù)是收斂的. 例14 判定交錯(cuò)級數(shù)的斂散性.例15 級數(shù)收斂.例16 判別級數(shù)的收斂性.例17 判別級數(shù)的收斂性.例18 判別級數(shù)的收斂性.例19 判別級數(shù)是絕對收斂還是條件收斂.例20 討論級數(shù)的收斂性，若收斂，問是絕對收斂，還是條件收斂授課序號(hào)03教 學(xué) 基 本 指 標(biāo)教學(xué)課題第八章 第三節(jié) 冪級數(shù)的收斂及函數(shù)的展開式課的類型復(fù)習(xí)、新知識(shí)課教學(xué)方法講授、課堂提問、討論、啟發(fā)、自學(xué)教學(xué)手段黑板多媒體結(jié)合教學(xué)重點(diǎn)收斂域和和函數(shù)的求法，冪級數(shù)展開教學(xué)難點(diǎn)展開級數(shù)的條件參考教材同濟(jì)版、人大版高等數(shù)學(xué)；同濟(jì)版微積分武漢大學(xué)同濟(jì)大學(xué) 微積分學(xué)習(xí)指導(dǎo)安玉偉等高等數(shù)學(xué)定理 方法 問題作業(yè)布置課后習(xí)題微

8、積分標(biāo)準(zhǔn)化作業(yè)大綱要求了解函數(shù)項(xiàng)級數(shù)的收斂域及和函數(shù)的概念。掌握比較簡單的冪級數(shù)收斂區(qū)間的求法(區(qū)間端點(diǎn)的收斂性可不作要求)。了解冪級數(shù)在其收斂區(qū)間內(nèi)的一些基本性質(zhì)。了解函數(shù)展開為泰勒級數(shù)的充分必要條件。會(huì)利用和的麥克勞林(Maclaurin)展開式將一些簡單的函數(shù)間接展開成冪級數(shù)。了解冪級數(shù)在近似計(jì)算上的簡單應(yīng)用。教 學(xué) 基 本 內(nèi) 容一、基本概念：1、函數(shù)項(xiàng)級數(shù)的概念： 設(shè)定義在區(qū)間上的函數(shù)列：、，各項(xiàng)用加號(hào)連接的形式：，稱為函數(shù)項(xiàng)無窮級數(shù)，簡稱函數(shù)項(xiàng)級數(shù).對于上的每一個(gè)值，函數(shù)項(xiàng)級數(shù)就是常數(shù)項(xiàng)級數(shù). 若收斂，則稱是函數(shù)項(xiàng)級數(shù)的收斂點(diǎn)，收斂點(diǎn)的全體組成的數(shù)集稱為的收斂域，記為；若發(fā)散，則稱

9、是函數(shù)項(xiàng)級數(shù)的發(fā)散點(diǎn)，發(fā)散點(diǎn)的全體組成的數(shù)集稱為的發(fā)散域.對于收斂域中的每一個(gè)數(shù)，成為一收斂的常數(shù)項(xiàng)級數(shù)， 因此有一確定的和，這樣在整個(gè)收斂域上，函數(shù)項(xiàng)級數(shù)的和是的函數(shù)，記作，稱為函數(shù)項(xiàng)級數(shù)的和函數(shù). 和函數(shù)的定義域就是函數(shù)項(xiàng)級數(shù)的收斂域. 對于收斂域內(nèi)的點(diǎn)，有.2、 冪級數(shù)： 稱為關(guān)于的冪級數(shù). 令，并將仍記為，則有，因此不失一般性，我們僅討論這個(gè)形式的冪級數(shù).一般地，對于冪級數(shù)，當(dāng)給以確定的值，例如，則冪級數(shù)稱為一個(gè)常數(shù)項(xiàng)級數(shù). 若這個(gè)常數(shù)項(xiàng)級數(shù)收斂，則稱為函數(shù)項(xiàng)級數(shù)的收斂點(diǎn)；若這個(gè)常數(shù)項(xiàng)級數(shù)發(fā)散，則稱為函數(shù)項(xiàng)級數(shù)的發(fā)散點(diǎn)；冪級數(shù)的收斂點(diǎn)的全體稱為收斂域.二、定理與性質(zhì)：定理1（Abel收

10、斂定理） 已知冪級數(shù)滿足 ，則有以下結(jié)論成立（1）若，則對任一，冪級數(shù)都絕對收斂;(2) 若, 當(dāng)時(shí)，冪級數(shù)絕對收斂, 當(dāng)時(shí)， 冪級數(shù)發(fā)散；（3）若，則冪級數(shù)在時(shí)都發(fā)散.令，稱為冪級數(shù)的收斂半徑.稱為冪級數(shù)的收斂區(qū)間，而冪級數(shù)的收斂域必為下列區(qū)間之一：.當(dāng)時(shí)，冪級數(shù)處處都收斂，規(guī)定收斂半徑；當(dāng)時(shí)，冪級數(shù)僅在原點(diǎn)收斂，規(guī)定收斂半徑.定理2 已知冪級數(shù)，若 ，則冪級數(shù)的收斂半徑 定理3（代數(shù)運(yùn)算）設(shè)冪級數(shù) ， 的收斂區(qū)間分別為及，其和函數(shù)分別為與，即 設(shè)，則在上，兩個(gè)冪級數(shù)可以作加法、減法及乘法運(yùn)算： 定理4（和函數(shù)的連續(xù)性）設(shè)冪級數(shù)的收斂域?yàn)閰^(qū)間，則它的和函數(shù)在收斂域上是連續(xù)的.定理5（和函數(shù)的

11、可導(dǎo)性）設(shè)冪級數(shù)的收斂半徑為，則其和函數(shù)在收斂區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，且有逐項(xiàng)求導(dǎo)公式 .逐項(xiàng)求導(dǎo)后所得到的冪級數(shù)的收斂半徑仍為.定理6 （和函數(shù)的可積性）設(shè)冪級數(shù)的收斂半徑為，則其和函數(shù)在收斂區(qū)間內(nèi)可積，且有逐項(xiàng)求積公式 .定理7（初等函數(shù)的展開定理）設(shè)是一個(gè)初等函數(shù)，且在的鄰域內(nèi)有任意階導(dǎo)數(shù)，則在點(diǎn)處可展開冪級數(shù)，且有展開式 在端點(diǎn)處，如果級數(shù)收斂且也有定義，則展開式在該端點(diǎn)處也成立.三、主要例題：例1 求級數(shù)的收斂域.例2 求下列冪級數(shù)的收斂域（5）； （6）.例3 求下列冪級數(shù)的收斂域：（1）； （2）.例4求下列冪級數(shù)的收斂域和函數(shù)：（1）； （2）；（3）； （4）；（5）.* 例5求冪級數(shù)的

12、收斂域和函數(shù).例6 求函數(shù)的麥克勞林展開式.例7 把展開成的冪級數(shù).例 8 將函數(shù)展開成的冪級數(shù).（1）； （2）；（3）； （4）.例9 將下列函數(shù)展開成的冪級數(shù)（即在點(diǎn)處的泰勒級數(shù)）：（1），； （2），.授課序號(hào)04教 學(xué) 基 本 指 標(biāo)教學(xué)課題第八章 第四節(jié) 傅里葉級數(shù)課的類型新知識(shí)課教學(xué)方法講授、課堂提問、討論、啟發(fā)、自學(xué)教學(xué)手段黑板多媒體結(jié)合教學(xué)重點(diǎn)函數(shù)展開傅里葉級數(shù)教學(xué)難點(diǎn)展開正弦或余弦級數(shù)參考教材同濟(jì)版、人大版高等數(shù)學(xué)；同濟(jì)版微積分武漢大學(xué)同濟(jì)大學(xué) 微積分學(xué)習(xí)指導(dǎo)安玉偉等高等數(shù)學(xué)定理 方法 問題作業(yè)布置課后習(xí)題微積分標(biāo)準(zhǔn)化作業(yè)大綱要求了解函數(shù)展開為傅里葉(Fourier)級數(shù)的

13、狄利克雷(Dirichlet)條件，會(huì)將定義在和上的函數(shù)展開為傅里葉級數(shù)，并會(huì)將定義在上的函數(shù)展開為正弦或余弦級數(shù)教 學(xué) 基 本 內(nèi) 容一、 基本概念：1. 三角函數(shù)系我們稱函數(shù)系為三角函數(shù)系.該三角函數(shù)系中的任何不同的兩個(gè)函數(shù)的乘積的在上的積分等于零.2. 函數(shù)展開成傅里葉級數(shù)定義 若 ，、，存在，則由它們確定的系數(shù)，、，就叫做函數(shù)的傅里葉系數(shù)，而三角級數(shù)就叫做函數(shù)的傅里葉級數(shù).3. 正弦級數(shù)與余弦級數(shù)若是奇函數(shù)，則，傅里葉級數(shù)稱為正弦級數(shù)，即只含有正弦項(xiàng)的傅里葉級數(shù)；若是偶函數(shù)，則，傅里葉級數(shù)稱為余弦級數(shù)，即只含有常數(shù)項(xiàng)及余弦項(xiàng)的傅里葉級數(shù).二、定理與性質(zhì)：定理1（收斂定理，狄利克雷（Dirichlet）充分條件）設(shè)是周期為的周期函數(shù)，如果它滿足：（1）在一個(gè)周期內(nèi)連續(xù)，或只有有限個(gè)第一類間斷點(diǎn)，（2）在一個(gè)周期內(nèi)至多只有有限個(gè)極值點(diǎn)，則的傅里葉級數(shù)收斂，并且當(dāng)是的連續(xù)點(diǎn)時(shí)，級數(shù)收斂于，當(dāng)為間斷點(diǎn)時(shí)，級數(shù)收斂于.定理2 設(shè)周期為的周期函數(shù)滿足收斂定