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1、第24講包含與排除教學(xué)目標(biāo)翩了解容斥原理二量重疊和三量重疊的內(nèi)容圉掌握容斥原理在組合計(jì)數(shù)等各個(gè)方面的應(yīng)用、兩量重疊問題在一些計(jì)數(shù)問題中,經(jīng)常遇到有關(guān)集合元素個(gè)數(shù)的計(jì)算求兩個(gè)集合并集的元素的個(gè)數(shù),不能簡(jiǎn)單地把兩個(gè)集合的元素個(gè)數(shù)相加,而要從兩個(gè)集合個(gè)數(shù)之和中減去重復(fù)計(jì)算的元素個(gè)數(shù),即減去交集的元素個(gè) 數(shù),用式子可表示成: AUB AB AlB ,則稱這一公式為包含與排除原理,簡(jiǎn)稱容斥原理.圖示如下:A表示小圓部分,B表示大圓部分,C表示大圓與小圓的公共部分,記為: AI B ,即陰影面積. 圖示如下:A表示小圓部分,B表示大圓部分,C表示大圓與小圓的公共部分,記為: AI B ,即陰影面積.先包含

2、一一A B重疊部分AI B計(jì)算了 2次,多加了 1次;2 再排除A B AI B把多加了 1次的重疊部分 AI B減去.包含與排除原理告訴我們,要計(jì)算兩個(gè)集合A、B的并集AUB的元素的個(gè)數(shù),可分以下兩步進(jìn)行:第一步:分別計(jì)算集合 A、B的元素個(gè)數(shù),然后加起來,即先求A B (意思是把 A B的一切元素都 包含進(jìn)來,加在一起);第二步:從上面的和中減去交集的元素個(gè)數(shù),即減去C AI B(意思是 排除”了重復(fù)計(jì)算的元素個(gè)數(shù)).、三量重疊問題A類、B類與C類元素個(gè)數(shù)的總和 A類元素的個(gè)數(shù) B類元素個(gè)數(shù) C類元素個(gè)數(shù) 既是A類又是B 類的元素個(gè)數(shù) 既是B類又是C類的元素個(gè)數(shù) 既是A類又是C類的元素個(gè)數(shù)

3、 同時(shí)是A類、B類、C類 的元素個(gè)數(shù).用符號(hào)表示為: AUBUC A B C AI B BI C AI C AI BI C .圖示如下:圖中小圓表示 A的元素的個(gè)數(shù),中圓表示 B的元素的個(gè)數(shù), 大圓表示C的元素的個(gè)數(shù)1 .先包含:A I重疊部分AI再排除:A I重疊部分AIAI BBl C再包含:A I2.B CB、BI C、C I A重疊了 2次,多加了 1次.B C AI B BI C AI CBI C重疊了 3次,但是在進(jìn)行ABCAI C計(jì)算時(shí)都被減掉了.在解答有關(guān)包含排除問題時(shí),我們常常利用圓圈圖(韋恩圖)來幫助分析思考.B C AI B BI C AI C AI BI C . -J典

4、例分析AX *JRL<考點(diǎn)一:兩量重疊問題例1、實(shí)驗(yàn)小學(xué)四年級(jí)二班,參加語(yǔ)文興趣小組的有28人,參加數(shù)學(xué)興趣小組的有 29人,有12人兩個(gè)小組都參加.這個(gè)班有多少人參加了語(yǔ)文或數(shù)學(xué)興趣小組?【解析】如圖所示,A圓表示參加語(yǔ)文興趣小組的人,B圓表示參加數(shù)學(xué)興趣小組的人,A與B重合的部分C (陰影部分)表示同時(shí)參加兩個(gè)小組的人.圖中A圓不含陰影的部分表示只參加語(yǔ)文興趣小組未參加數(shù)學(xué)興趣小組的人,有28 12 16(人);圖中B圓不含陰影的部分表示只參加數(shù)學(xué)興趣小組未參加語(yǔ)文興趣小組 的人,有29 12 17(人).方法一:由此得到參加語(yǔ)文或數(shù)學(xué)興趣小組的有:16 12 17 45(人).方法

5、二:根據(jù)包含排除法,直接可得:參加語(yǔ)文或數(shù)學(xué)興趣小組的人參加語(yǔ)文興趣小組的人參加數(shù)學(xué)興趣小組的人兩個(gè)小組都參加的人,即:28 29 12 45(人).例2、對(duì)全班同學(xué)調(diào)查發(fā)現(xiàn),會(huì)游泳的有20人,會(huì)打籃球的有25人.兩項(xiàng)都會(huì)的有10人,兩項(xiàng)都不會(huì)的有 9人這個(gè)班一共有多少人?【解析】如圖,用長(zhǎng)方形表示全班人數(shù),A圓表示會(huì)游泳的人數(shù),B圓表示會(huì)打籃球的人數(shù),長(zhǎng)方形中陰影部分表示兩項(xiàng)都不會(huì)的人數(shù).由圖中可以看出,全班人數(shù)至少會(huì)一項(xiàng)的人數(shù)兩項(xiàng)都不會(huì)的人數(shù),至少會(huì)一項(xiàng)的人數(shù)為:20 25 10 35(人),全班人數(shù)為:35 9 44 (人).例3、在46人參加的采摘活動(dòng)中,只采了櫻桃的有18人,既采了櫻

6、桃又采了杏的有 7人,既沒采櫻桃又沒采杏的有6人,問:只采了杏的有多少人?【解析】如圖,用長(zhǎng)方形表示全體采摘人員46人,A圓表示采了櫻桃的人數(shù),B圓表示采了杏的人數(shù).長(zhǎng)方形中陰影部分表示既沒采櫻桃又沒采杏的人數(shù).由圖中可以看出,全體人員是至少采了一種的人數(shù)與兩種都沒采的人數(shù)之和,則至少采了一種的人數(shù)為:46 6 40(人),而至少采了一種的人數(shù)只采了櫻桃的人數(shù)兩種都采了的人數(shù)只采了杏的人數(shù),所以,只采了杏的人數(shù)為:40 18 7 15(人).例4、育才小學(xué)畫展上展出了許多幅畫,其中有16幅畫不是六年級(jí)的,有 15幅畫不是五年級(jí)的,五、六年級(jí)共展出25幅畫,其他年級(jí)的畫共有多少幅?【解析】通過1

7、6幅畫不是六年級(jí)的可以知道,五年級(jí)和其他年級(jí)的畫作數(shù)量之和是16 ,通過15幅畫不是五年級(jí)的可以知道六年級(jí)和其他年級(jí)的畫作數(shù)量之和是15,那也就是說五年級(jí)的畫比六年級(jí)多1幅,我們還知道五、六年級(jí)共展出25幅畫,進(jìn)而可以求出五年級(jí)畫作有 13幅,六年級(jí)畫作有12幅,那么就可以求出其他年級(jí)的畫作共有3幅.考點(diǎn)二:三量重疊問題例1、全班有25個(gè)學(xué)生,其中17人會(huì)騎自行車,13人會(huì)游泳,8人會(huì)滑冰,這三個(gè)運(yùn)動(dòng)項(xiàng)目沒有人全會(huì), 至少會(huì)這三項(xiàng)運(yùn)動(dòng)之一的學(xué)生數(shù)學(xué)成績(jī)都及格了,但又都不是優(yōu)秀若全班有6個(gè)人數(shù)學(xué)不及格,那么,(1)數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀的有幾個(gè)學(xué)生?(2)有幾個(gè)人既會(huì)游泳,又會(huì)滑冰?【解析】(1)有6個(gè)數(shù)

8、學(xué)不及格,那么及格的有:25 6 19(人),即最多不會(huì)超過19人會(huì)這三項(xiàng)運(yùn)動(dòng)之一.而又因?yàn)闆]人全會(huì)這三項(xiàng)運(yùn)動(dòng),那么,最少也會(huì)有:(17 13 8219(人)至少會(huì)這三項(xiàng)運(yùn)動(dòng)之一.于是,至少會(huì)三項(xiàng)運(yùn)動(dòng)之一的只能是19人,而這19人又不是優(yōu)秀,說明全班 25人中除了 19人外,剩下的6名不及格, 所以沒有數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀的.(2)上面分析可知,及格的 19人中,每人都會(huì)兩項(xiàng)運(yùn)動(dòng);會(huì)騎車的一定有一部分會(huì)游泳,一部分會(huì)滑冰;會(huì)游泳的人中若不會(huì)騎車就一定會(huì)滑冰,而會(huì)滑冰的人中若不會(huì)騎車就一定會(huì)游泳,但既會(huì)游泳又會(huì)滑冰的人一定不會(huì)騎自行車所以,全班有19 17 2(人)既會(huì)游泳又會(huì)滑冰.考點(diǎn)三:圖形中的重疊

9、問題例1、把長(zhǎng)38厘米和53厘米的兩根鐵條焊接成一根鐵條.已知焊接部分長(zhǎng)4厘米,焊接后這根鐵條有多長(zhǎng)?【解析】因?yàn)楹附硬糠譃閮筛F條的重合部分,所以,由包含排除法知,焊接后這根鐵條長(zhǎng)38 53 4 87 (厘米).例2、兩張長(zhǎng)4厘米,寬2厘米的長(zhǎng)方形紙擺放成如圖所示形狀.把它放在桌面上,覆蓋面積有多少平方厘米?圖3【解析】?jī)蓚€(gè)長(zhǎng)方形如圖擺放時(shí)出現(xiàn)了重疊(見圖中的陰影部分),重疊部分恰好是邊長(zhǎng)為 2厘米的正方形,如果利用兩個(gè)4 2的長(zhǎng)方形面積之和來計(jì)算被覆蓋桌面的面積,那么重疊部分在兩個(gè)長(zhǎng)方形面積中各被計(jì)算了一次,而實(shí)際上這部分只需計(jì)算一次就可以了.所以,被覆蓋面積長(zhǎng)方形面積之和-重疊部分.于是

10、,被覆蓋面積4 2 2 2 2 12 (平方厘米).例3、三個(gè)面積均為50平方厘米的圓紙片放在桌面上 (如圖),三個(gè)紙片共同重疊的面積是 10平方厘米.個(gè)紙片蓋住桌面的總面積是 100厘米問:圖中陰影部分面積之和是多少?【解析】將圖中的三個(gè)圓標(biāo)上A、B、C .根據(jù)包含排除法,三個(gè)紙片蓋住桌面的總面積(A圓面積 B圓面積 C圓面積)(A與B重合部分面積A與C重合部分面積 B與C重合部分面積)三個(gè)紙片共同重疊的面積,得:100 (50 50 50)( A與B重合部分面積 A與C重合部分面積 B與C重合部分面積)10 ,得到A、B、C三個(gè)圓兩兩重合面積之和為:160 100 60平方厘米,而這個(gè)面積

11、對(duì)應(yīng)于圓上的那三個(gè)紙片共同重疊的面積的三倍與陰影部分面積的和,即:60 10 3陰影部分面積,則陰影部分面積為:60 30 30(平方厘米)考點(diǎn)四:容斥原理在數(shù)論問題中的應(yīng)用5的倍數(shù)的數(shù)有多少個(gè)?圓表示1100中3的倍數(shù),B圓表示1100中5的倍數(shù),長(zhǎng)方形內(nèi)兩圓外的部分表示既不是3的倍數(shù)也不是5的倍數(shù)的數(shù).由100 3 33L 1可知,1100中3的倍數(shù)有33個(gè);由100 520可知,1100中5的倍數(shù)有20個(gè);由100 (3 5 6L 10可知,1100既是3的倍數(shù)又是5的倍數(shù)的數(shù)有6 個(gè).由包含排除法,3或5的倍數(shù)有:33 20 6 47(個(gè)).從而不是3的倍數(shù)也不是5的倍數(shù)的數(shù)有100

12、47 53(個(gè)).考點(diǎn)五:容斥原理中的最值問題例1、將113這13個(gè)數(shù)字分別填入如圖所示的由四個(gè)大小相同的圓分割成的內(nèi)的7個(gè)數(shù)相加,最后把四個(gè)圓的和相加,問:和最大是多少?13個(gè)區(qū)域中,然后把每個(gè)圓【解析】越是中間,被重復(fù)計(jì)算的越多,最中心的區(qū)域被重復(fù)計(jì)算四次,將數(shù)字按從大到小依次填寫于被重復(fù)計(jì)算多的區(qū)格中,最大和為:13×4+ (12+11+10+9 ) ×3+ ( 8+7+6+5 ) ×2+ (4+3+2+1 ) =240.實(shí)戰(zhàn)演練 T?課堂狙擊1、 一個(gè)班有48人,班主任在班會(huì)上問:誰(shuí)做完語(yǔ)文作業(yè)?請(qǐng)舉手! ”有37人舉手。又問: 誰(shuí)做完數(shù)學(xué)作業(yè)?請(qǐng)舉手!

13、”有42人舉手。最后問:誰(shuí)語(yǔ)文、數(shù)學(xué)作業(yè)都沒有做完?”沒有人舉手。求這個(gè)班語(yǔ)文、數(shù)學(xué)作業(yè)都完成的人數(shù)。【解析】完成語(yǔ)文作業(yè)的有37人,完成數(shù)學(xué)作業(yè)的有 42人,一共有37 + 42=79人,多于全班人數(shù)。這是因?yàn)檎Z(yǔ)文、數(shù)學(xué)作業(yè)都完成的人數(shù)在統(tǒng)計(jì)做完語(yǔ)文作業(yè)的人數(shù)時(shí)算過一次,在統(tǒng)計(jì)做完數(shù)學(xué)作業(yè)的人數(shù)時(shí) 又算了一次,這樣就多算了一次。所以,這個(gè)班語(yǔ)文、數(shù)作業(yè)都完成的有:79- 48=31人。2、 某班有36個(gè)同學(xué)在一項(xiàng)測(cè)試中, 答對(duì)第一題的有25人,答對(duì)第二題的有23人,兩題都答對(duì)的有15人。 問多少個(gè)同學(xué)兩題都答得不對(duì)?【解析】已知答對(duì)第一題的有25人,兩題都答對(duì)的有 15人,可以求出只答對(duì)第一

14、題的有25- 15=10人。又已知答對(duì)第二題的有 23人,用只答對(duì)第一題的人數(shù),加上答對(duì)第二題的人數(shù)就得到至少有一題答對(duì)的人 數(shù):10+ 23=33人。所以,兩題都答得不對(duì)的有36 33=3人。3、 某班有56人,參加語(yǔ)文競(jìng)賽的有 28人,參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽的有 27人,如果兩科都沒有參加的有25人,那 么同時(shí)參加語(yǔ)文、數(shù)學(xué)兩科競(jìng)賽的有多少人?【解析】要求兩科競(jìng)賽同時(shí)參加的人數(shù),應(yīng)先求出至少參加一科競(jìng)賽的人數(shù):56 25=31人,再求兩科競(jìng)賽同時(shí)參加的人數(shù):28+ 27 31=24人。4、 在1到100的自然數(shù)中,既不是 5的倍數(shù)也不是6的倍數(shù)的數(shù)有多少個(gè)?【解析】從1到100的自然數(shù)中,減去5或6

15、的倍數(shù)的個(gè)數(shù)。從1到100的自然數(shù)中,5的倍數(shù)有100÷5=20 個(gè),6的倍數(shù)有16個(gè)(100÷6=164),其中既是5的倍數(shù)又是6的倍數(shù)(即5和6的公倍數(shù))的數(shù)有 3 個(gè)(100÷30=310)。因此,是6或5的倍數(shù)的個(gè)數(shù)是16 + 20 3=33個(gè),既不是5的倍數(shù)又不是 6的倍 數(shù)的數(shù)的個(gè)數(shù)是:100 33=67個(gè)。5、 光明小學(xué)舉辦學(xué)生書法展覽。學(xué)校的櫥窗里展出了每個(gè)年級(jí)學(xué)生的書法作品,其中有24幅不是五年級(jí)的,有22幅不是六年級(jí)的,五、六年級(jí)參展的書法作品共有10幅,其他年級(jí)參展的書法作品共有多少幅?【解析】由題意知,24幅作品是一、二、三、四、六年級(jí)參展

16、作品的總數(shù),22幅是一、二、三、四、五年級(jí)參展作品的總數(shù)。24+ 22=46幅,這是一個(gè)五、六年級(jí)和兩個(gè)一、二、三、四年級(jí)參展的作品數(shù),從其中 去掉五、六兩個(gè)年級(jí)共參展的10幅作品,即得到兩個(gè)一、二、三、四年級(jí)參展作品的總數(shù),再除以2,即課后反擊1、芳草地小學(xué)四年級(jí)有 58人學(xué)鋼琴,43人學(xué)畫畫,37人既學(xué)鋼琴又學(xué)畫畫,問只學(xué)鋼琴和只學(xué)畫畫的分別有多少人?【解析】如圖, A圓表示學(xué)畫畫的人,B圓表示學(xué)鋼琴的人,C表示既學(xué)鋼琴又學(xué)畫畫的人,圖中A圓不含陰影的部分表示只學(xué)畫畫的人,有:43 37 6 (人),圖中B圓不含陰影的部分表示只學(xué)鋼琴的人,有:58 37 21(人).2、科技活動(dòng)小組有55

17、人.在一次制作飛機(jī)模型和制作艦艇模型的定時(shí)科技活動(dòng)比賽中,老師到時(shí)清點(diǎn)發(fā)現(xiàn):制作好一架飛機(jī)模型的同學(xué)有40人,制作好一艘艦艇的同學(xué)有 32人每個(gè)同學(xué)都至少完成了一項(xiàng)制作問兩項(xiàng)制作都完成的同學(xué)有多少人?【解析】因?yàn)?0 32 72 , 72 55 ,所以必有人兩項(xiàng)制作都完成了.由于每個(gè)同學(xué)都至少完成了一項(xiàng)制作,根據(jù)包含排除法可知:全組人數(shù) 40 32完成了兩項(xiàng)制作的人數(shù),即55 72完成了兩項(xiàng)制作的人數(shù).所以,完成了兩項(xiàng)制作的人數(shù)為:72 55 17(人).3、五年級(jí)一班共有36人,每人參加一個(gè)興趣小組, 共有A、B、C、D、E五個(gè)小組,若參加A組的有15 人,參加B組的人數(shù)僅次于 A組,參加C

18、組、D組的人數(shù)相同,參加 E組的人數(shù)最少,只有 4人那么, 參加B組的有人.【解析】參加B , C , D三組的總?cè)藬?shù)是36 15 4 17(人),C , D每組至少5人,當(dāng)C , D每組6人時(shí),B組為5人,不符合題意,所以參加B組的有17 5 5 7(人).4、如下圖,一張長(zhǎng)8厘米,寬6厘米,另一個(gè)正方形邊長(zhǎng)為 6厘米,它們中間重疊的部分是一個(gè)邊長(zhǎng)為4厘米的正方形,求這個(gè)組合圖形的面積.那么3人都澆過的75人懂英語(yǔ),83人【解析】?jī)蓚€(gè)圖形如圖擺放時(shí)出現(xiàn)了重疊(見圖中的陰影部分),重疊部分恰好是邊長(zhǎng)為 4厘米的正方形,如果利用長(zhǎng)方形和正方形面積之和來計(jì)算被覆蓋桌面的面積,那么重疊部分在長(zhǎng)方形和正方形面積中各被計(jì)算了一次,而實(shí)際上這部分只需計(jì)算一次就可以

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