【精品】五年級(jí)奧數(shù)培優(yōu)教程講義第24講包含與排除(教師版)

1、第24講包含與排除教學(xué)目標(biāo)翩了解容斥原理二量重疊和三量重疊的內(nèi)容圉掌握容斥原理在組合計(jì)數(shù)等各個(gè)方面的應(yīng)用、兩量重疊問題在一些計(jì)數(shù)問題中，經(jīng)常遇到有關(guān)集合元素個(gè)數(shù)的計(jì)算求兩個(gè)集合并集的元素的個(gè)數(shù)，不能簡(jiǎn)單地把兩個(gè)集合的元素個(gè)數(shù)相加，而要從兩個(gè)集合個(gè)數(shù)之和中減去重復(fù)計(jì)算的元素個(gè)數(shù)，即減去交集的元素個(gè) 數(shù)，用式子可表示成： AUB AB AlB ,則稱這一公式為包含與排除原理，簡(jiǎn)稱容斥原理.圖示如下：A表示小圓部分，B表示大圓部分，C表示大圓與小圓的公共部分，記為： AI B ,即陰影面積. 圖示如下：A表示小圓部分，B表示大圓部分，C表示大圓與小圓的公共部分，記為： AI B ,即陰影面積.先包含

2、一一A B重疊部分AI B計(jì)算了 2次，多加了 1次;2 再排除A B AI B把多加了 1次的重疊部分 AI B減去.包含與排除原理告訴我們，要計(jì)算兩個(gè)集合A、B的并集AUB的元素的個(gè)數(shù)，可分以下兩步進(jìn)行:第一步：分別計(jì)算集合 A、B的元素個(gè)數(shù)，然后加起來，即先求A B （意思是把 A B的一切元素都 包含進(jìn)來，加在一起）;第二步：從上面的和中減去交集的元素個(gè)數(shù)，即減去C AI B（意思是 排除”了重復(fù)計(jì)算的元素個(gè)數(shù)）.、三量重疊問題A類、B類與C類元素個(gè)數(shù)的總和 A類元素的個(gè)數(shù) B類元素個(gè)數(shù) C類元素個(gè)數(shù) 既是A類又是B 類的元素個(gè)數(shù) 既是B類又是C類的元素個(gè)數(shù) 既是A類又是C類的元素個(gè)數(shù)

3、 同時(shí)是A類、B類、C類 的元素個(gè)數(shù).用符號(hào)表示為： AUBUC A B C AI B BI C AI C AI BI C .圖示如下：圖中小圓表示 A的元素的個(gè)數(shù)，中圓表示 B的元素的個(gè)數(shù), 大圓表示C的元素的個(gè)數(shù)1 .先包含：A I重疊部分AI再排除：A I重疊部分AIAI BBl C再包含：A I2.B CB、BI C、C I A重疊了 2次，多加了 1次.B C AI B BI C AI CBI C重疊了 3次，但是在進(jìn)行ABCAI C計(jì)算時(shí)都被減掉了.在解答有關(guān)包含排除問題時(shí)，我們常常利用圓圈圖（韋恩圖）來幫助分析思考.B C AI B BI C AI C AI BI C . -J典

4、例分析AX *JRL<考點(diǎn)一：兩量重疊問題例1、實(shí)驗(yàn)小學(xué)四年級(jí)二班，參加語(yǔ)文興趣小組的有28人，參加數(shù)學(xué)興趣小組的有 29人，有12人兩個(gè)小組都參加.這個(gè)班有多少人參加了語(yǔ)文或數(shù)學(xué)興趣小組？【解析】如圖所示，A圓表示參加語(yǔ)文興趣小組的人，B圓表示參加數(shù)學(xué)興趣小組的人，A與B重合的部分C （陰影部分）表示同時(shí)參加兩個(gè)小組的人.圖中A圓不含陰影的部分表示只參加語(yǔ)文興趣小組未參加數(shù)學(xué)興趣小組的人，有28 12 16（人）;圖中B圓不含陰影的部分表示只參加數(shù)學(xué)興趣小組未參加語(yǔ)文興趣小組 的人，有29 12 17（人）.方法一：由此得到參加語(yǔ)文或數(shù)學(xué)興趣小組的有：16 12 17 45（人）.方法

5、二：根據(jù)包含排除法，直接可得：參加語(yǔ)文或數(shù)學(xué)興趣小組的人參加語(yǔ)文興趣小組的人參加數(shù)學(xué)興趣小組的人兩個(gè)小組都參加的人，即：28 29 12 45（人）.例2、對(duì)全班同學(xué)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，會(huì)游泳的有20人，會(huì)打籃球的有25人.兩項(xiàng)都會(huì)的有10人，兩項(xiàng)都不會(huì)的有 9人這個(gè)班一共有多少人?【解析】如圖，用長(zhǎng)方形表示全班人數(shù)，A圓表示會(huì)游泳的人數(shù)，B圓表示會(huì)打籃球的人數(shù)，長(zhǎng)方形中陰影部分表示兩項(xiàng)都不會(huì)的人數(shù).由圖中可以看出，全班人數(shù)至少會(huì)一項(xiàng)的人數(shù)兩項(xiàng)都不會(huì)的人數(shù)，至少會(huì)一項(xiàng)的人數(shù)為：20 25 10 35（人）,全班人數(shù)為：35 9 44 （人）.例3、在46人參加的采摘活動(dòng)中，只采了櫻桃的有18人，既采了櫻

6、桃又采了杏的有 7人，既沒采櫻桃又沒采杏的有6人，問：只采了杏的有多少人？【解析】如圖，用長(zhǎng)方形表示全體采摘人員46人，A圓表示采了櫻桃的人數(shù)，B圓表示采了杏的人數(shù).長(zhǎng)方形中陰影部分表示既沒采櫻桃又沒采杏的人數(shù).由圖中可以看出，全體人員是至少采了一種的人數(shù)與兩種都沒采的人數(shù)之和，則至少采了一種的人數(shù)為：46 6 40（人）,而至少采了一種的人數(shù)只采了櫻桃的人數(shù)兩種都采了的人數(shù)只采了杏的人數(shù)，所以，只采了杏的人數(shù)為：40 18 7 15（人）.例4、育才小學(xué)畫展上展出了許多幅畫，其中有16幅畫不是六年級(jí)的，有 15幅畫不是五年級(jí)的，五、六年級(jí)共展出25幅畫，其他年級(jí)的畫共有多少幅?【解析】通過1

7、6幅畫不是六年級(jí)的可以知道，五年級(jí)和其他年級(jí)的畫作數(shù)量之和是16 ,通過15幅畫不是五年級(jí)的可以知道六年級(jí)和其他年級(jí)的畫作數(shù)量之和是15，那也就是說五年級(jí)的畫比六年級(jí)多1幅，我們還知道五、六年級(jí)共展出25幅畫，進(jìn)而可以求出五年級(jí)畫作有 13幅，六年級(jí)畫作有12幅，那么就可以求出其他年級(jí)的畫作共有3幅.考點(diǎn)二：三量重疊問題例1、全班有25個(gè)學(xué)生，其中17人會(huì)騎自行車，13人會(huì)游泳，8人會(huì)滑冰，這三個(gè)運(yùn)動(dòng)項(xiàng)目沒有人全會(huì)， 至少會(huì)這三項(xiàng)運(yùn)動(dòng)之一的學(xué)生數(shù)學(xué)成績(jī)都及格了，但又都不是優(yōu)秀若全班有6個(gè)人數(shù)學(xué)不及格，那么,（1）數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀的有幾個(gè)學(xué)生？（2）有幾個(gè)人既會(huì)游泳，又會(huì)滑冰？【解析】（1）有6個(gè)數(shù)

8、學(xué)不及格，那么及格的有：25 6 19（人）,即最多不會(huì)超過19人會(huì)這三項(xiàng)運(yùn)動(dòng)之一.而又因?yàn)闆]人全會(huì)這三項(xiàng)運(yùn)動(dòng)，那么，最少也會(huì)有：（17 13 8219（人）至少會(huì)這三項(xiàng)運(yùn)動(dòng)之一.于是，至少會(huì)三項(xiàng)運(yùn)動(dòng)之一的只能是19人，而這19人又不是優(yōu)秀，說明全班 25人中除了 19人外，剩下的6名不及格， 所以沒有數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀的.（2）上面分析可知，及格的 19人中，每人都會(huì)兩項(xiàng)運(yùn)動(dòng)；會(huì)騎車的一定有一部分會(huì)游泳，一部分會(huì)滑冰；會(huì)游泳的人中若不會(huì)騎車就一定會(huì)滑冰，而會(huì)滑冰的人中若不會(huì)騎車就一定會(huì)游泳，但既會(huì)游泳又會(huì)滑冰的人一定不會(huì)騎自行車所以，全班有19 17 2（人）既會(huì)游泳又會(huì)滑冰.考點(diǎn)三：圖形中的重疊

9、問題例1、把長(zhǎng)38厘米和53厘米的兩根鐵條焊接成一根鐵條.已知焊接部分長(zhǎng)4厘米，焊接后這根鐵條有多長(zhǎng)?【解析】因?yàn)楹附硬糠譃閮筛F條的重合部分，所以，由包含排除法知，焊接后這根鐵條長(zhǎng)38 53 4 87 （厘米）.例2、兩張長(zhǎng)4厘米，寬2厘米的長(zhǎng)方形紙擺放成如圖所示形狀.把它放在桌面上，覆蓋面積有多少平方厘米？圖3【解析】?jī)蓚€(gè)長(zhǎng)方形如圖擺放時(shí)出現(xiàn)了重疊（見圖中的陰影部分）,重疊部分恰好是邊長(zhǎng)為 2厘米的正方形，如果利用兩個(gè)4 2的長(zhǎng)方形面積之和來計(jì)算被覆蓋桌面的面積，那么重疊部分在兩個(gè)長(zhǎng)方形面積中各被計(jì)算了一次，而實(shí)際上這部分只需計(jì)算一次就可以了.所以，被覆蓋面積長(zhǎng)方形面積之和-重疊部分.于是

10、，被覆蓋面積4 2 2 2 2 12 （平方厘米）.例3、三個(gè)面積均為50平方厘米的圓紙片放在桌面上 （如圖），三個(gè)紙片共同重疊的面積是 10平方厘米.個(gè)紙片蓋住桌面的總面積是 100厘米問：圖中陰影部分面積之和是多少？【解析】將圖中的三個(gè)圓標(biāo)上A、B、C .根據(jù)包含排除法，三個(gè)紙片蓋住桌面的總面積（A圓面積 B圓面積 C圓面積）（A與B重合部分面積A與C重合部分面積 B與C重合部分面積）三個(gè)紙片共同重疊的面積，得：100 （50 50 50）（ A與B重合部分面積 A與C重合部分面積 B與C重合部分面積）10 ,得到A、B、C三個(gè)圓兩兩重合面積之和為：160 100 60平方厘米，而這個(gè)面積

11、對(duì)應(yīng)于圓上的那三個(gè)紙片共同重疊的面積的三倍與陰影部分面積的和，即：60 10 3陰影部分面積，則陰影部分面積為：60 30 30(平方厘米)考點(diǎn)四：容斥原理在數(shù)論問題中的應(yīng)用5的倍數(shù)的數(shù)有多少個(gè)?圓表示1100中3的倍數(shù)，B圓表示1100中5的倍數(shù),長(zhǎng)方形內(nèi)兩圓外的部分表示既不是3的倍數(shù)也不是5的倍數(shù)的數(shù).由100 3 33L 1可知，1100中3的倍數(shù)有33個(gè)；由100 520可知，1100中5的倍數(shù)有20個(gè)；由100 (3 5 6L 10可知，1100既是3的倍數(shù)又是5的倍數(shù)的數(shù)有6 個(gè).由包含排除法，3或5的倍數(shù)有：33 20 6 47(個(gè)).從而不是3的倍數(shù)也不是5的倍數(shù)的數(shù)有100

12、47 53(個(gè)).考點(diǎn)五：容斥原理中的最值問題例1、將113這13個(gè)數(shù)字分別填入如圖所示的由四個(gè)大小相同的圓分割成的內(nèi)的7個(gè)數(shù)相加，最后把四個(gè)圓的和相加，問：和最大是多少？13個(gè)區(qū)域中,然后把每個(gè)圓【解析】越是中間，被重復(fù)計(jì)算的越多，最中心的區(qū)域被重復(fù)計(jì)算四次，將數(shù)字按從大到小依次填寫于被重復(fù)計(jì)算多的區(qū)格中，最大和為：13×4+ (12+11+10+9 ) ×3+ ( 8+7+6+5 ) ×2+ (4+3+2+1 ) =240.實(shí)戰(zhàn)演練 T?課堂狙擊1、 一個(gè)班有48人，班主任在班會(huì)上問：誰(shuí)做完語(yǔ)文作業(yè)？請(qǐng)舉手！ ”有37人舉手。又問： 誰(shuí)做完數(shù)學(xué)作業(yè)？請(qǐng)舉手！

13、”有42人舉手。最后問：誰(shuí)語(yǔ)文、數(shù)學(xué)作業(yè)都沒有做完？”沒有人舉手。求這個(gè)班語(yǔ)文、數(shù)學(xué)作業(yè)都完成的人數(shù)。【解析】完成語(yǔ)文作業(yè)的有37人，完成數(shù)學(xué)作業(yè)的有 42人，一共有37 + 42=79人，多于全班人數(shù)。這是因?yàn)檎Z(yǔ)文、數(shù)學(xué)作業(yè)都完成的人數(shù)在統(tǒng)計(jì)做完語(yǔ)文作業(yè)的人數(shù)時(shí)算過一次，在統(tǒng)計(jì)做完數(shù)學(xué)作業(yè)的人數(shù)時(shí) 又算了一次，這樣就多算了一次。所以，這個(gè)班語(yǔ)文、數(shù)作業(yè)都完成的有：79- 48=31人。2、 某班有36個(gè)同學(xué)在一項(xiàng)測(cè)試中， 答對(duì)第一題的有25人，答對(duì)第二題的有23人，兩題都答對(duì)的有15人。 問多少個(gè)同學(xué)兩題都答得不對(duì)？【解析】已知答對(duì)第一題的有25人，兩題都答對(duì)的有 15人，可以求出只答對(duì)第一

14、題的有25- 15=10人。又已知答對(duì)第二題的有 23人，用只答對(duì)第一題的人數(shù)，加上答對(duì)第二題的人數(shù)就得到至少有一題答對(duì)的人 數(shù)：10+ 23=33人。所以，兩題都答得不對(duì)的有36 33=3人。3、 某班有56人，參加語(yǔ)文競(jìng)賽的有 28人，參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽的有 27人，如果兩科都沒有參加的有25人，那 么同時(shí)參加語(yǔ)文、數(shù)學(xué)兩科競(jìng)賽的有多少人？【解析】要求兩科競(jìng)賽同時(shí)參加的人數(shù)，應(yīng)先求出至少參加一科競(jìng)賽的人數(shù)：56 25=31人，再求兩科競(jìng)賽同時(shí)參加的人數(shù)：28+ 27 31=24人。4、 在1到100的自然數(shù)中，既不是 5的倍數(shù)也不是6的倍數(shù)的數(shù)有多少個(gè)？【解析】從1到100的自然數(shù)中，減去5或6

15、的倍數(shù)的個(gè)數(shù)。從1到100的自然數(shù)中，5的倍數(shù)有100÷5=20 個(gè)，6的倍數(shù)有16個(gè)(100÷6=164),其中既是5的倍數(shù)又是6的倍數(shù)(即5和6的公倍數(shù))的數(shù)有 3 個(gè)(100÷30=310)。因此，是6或5的倍數(shù)的個(gè)數(shù)是16 + 20 3=33個(gè)，既不是5的倍數(shù)又不是 6的倍 數(shù)的數(shù)的個(gè)數(shù)是：100 33=67個(gè)。5、 光明小學(xué)舉辦學(xué)生書法展覽。學(xué)校的櫥窗里展出了每個(gè)年級(jí)學(xué)生的書法作品，其中有24幅不是五年級(jí)的，有22幅不是六年級(jí)的，五、六年級(jí)參展的書法作品共有10幅，其他年級(jí)參展的書法作品共有多少幅？【解析】由題意知，24幅作品是一、二、三、四、六年級(jí)參展

16、作品的總數(shù)，22幅是一、二、三、四、五年級(jí)參展作品的總數(shù)。24+ 22=46幅，這是一個(gè)五、六年級(jí)和兩個(gè)一、二、三、四年級(jí)參展的作品數(shù)，從其中 去掉五、六兩個(gè)年級(jí)共參展的10幅作品，即得到兩個(gè)一、二、三、四年級(jí)參展作品的總數(shù)，再除以2,即課后反擊1、芳草地小學(xué)四年級(jí)有 58人學(xué)鋼琴，43人學(xué)畫畫，37人既學(xué)鋼琴又學(xué)畫畫，問只學(xué)鋼琴和只學(xué)畫畫的分別有多少人？【解析】如圖， A圓表示學(xué)畫畫的人，B圓表示學(xué)鋼琴的人，C表示既學(xué)鋼琴又學(xué)畫畫的人,圖中A圓不含陰影的部分表示只學(xué)畫畫的人，有：43 37 6 （人），圖中B圓不含陰影的部分表示只學(xué)鋼琴的人，有：58 37 21（人）.2、科技活動(dòng)小組有55

17、人.在一次制作飛機(jī)模型和制作艦艇模型的定時(shí)科技活動(dòng)比賽中，老師到時(shí)清點(diǎn)發(fā)現(xiàn):制作好一架飛機(jī)模型的同學(xué)有40人，制作好一艘艦艇的同學(xué)有 32人每個(gè)同學(xué)都至少完成了一項(xiàng)制作問兩項(xiàng)制作都完成的同學(xué)有多少人？【解析】因?yàn)?0 32 72 , 72 55 ,所以必有人兩項(xiàng)制作都完成了.由于每個(gè)同學(xué)都至少完成了一項(xiàng)制作，根據(jù)包含排除法可知：全組人數(shù) 40 32完成了兩項(xiàng)制作的人數(shù)，即55 72完成了兩項(xiàng)制作的人數(shù).所以，完成了兩項(xiàng)制作的人數(shù)為：72 55 17（人）.3、五年級(jí)一班共有36人，每人參加一個(gè)興趣小組， 共有A、B、C、D、E五個(gè)小組，若參加A組的有15 人，參加B組的人數(shù)僅次于 A組，參加C

18、組、D組的人數(shù)相同，參加 E組的人數(shù)最少，只有 4人那么， 參加B組的有人.【解析】參加B , C , D三組的總?cè)藬?shù)是36 15 4 17（人）,C , D每組至少5人，當(dāng)C , D每組6人時(shí)，B組為5人，不符合題意，所以參加B組的有17 5 5 7（人）.4、如下圖，一張長(zhǎng)8厘米，寬6厘米，另一個(gè)正方形邊長(zhǎng)為 6厘米，它們中間重疊的部分是一個(gè)邊長(zhǎng)為4厘米的正方形，求這個(gè)組合圖形的面積.那么3人都澆過的75人懂英語(yǔ)，83人【解析】?jī)蓚€(gè)圖形如圖擺放時(shí)出現(xiàn)了重疊（見圖中的陰影部分），重疊部分恰好是邊長(zhǎng)為 4厘米的正方形，如果利用長(zhǎng)方形和正方形面積之和來計(jì)算被覆蓋桌面的面積，那么重疊部分在長(zhǎng)方形和正方形面積中各被計(jì)算了一次，而實(shí)際上這部分只需計(jì)算一次就可以