三維人教B版數(shù)學(xué)必修33.3隨機(jī)數(shù)的含義與應(yīng)用

1、33.1 & 3.3.2幾何概型隨機(jī)數(shù)的含義與應(yīng)用預(yù)習(xí)課本P109114，思考并完成以下問(wèn)題(1)什么是幾何概型？(2)幾何概型的概率計(jì)算公式是什么？(3)隨機(jī)數(shù)的含義是什么？它的主要作用有哪些？ 1幾何概型(1)定義：事件A理解為區(qū)域的某一子區(qū)域A，A的概率只與子區(qū)域A的幾何度量(長(zhǎng)度、面積或體積)成正比，而與A的位置和形狀無(wú)關(guān)滿(mǎn)足以上條件的試驗(yàn)稱(chēng)為幾何概型(2)計(jì)算公式：P(A)，其中表示區(qū)域的幾何度量，A表示子區(qū)域A的幾何度量2隨機(jī)數(shù)(1)含義隨機(jī)數(shù)就是在一定范圍內(nèi)隨機(jī)產(chǎn)生的數(shù)，并且得到這個(gè)范圍內(nèi)的每一個(gè)數(shù)的機(jī)會(huì)一樣(2)產(chǎn)生在函數(shù)型計(jì)算器上，每次按 鍵都會(huì)產(chǎn)生一個(gè)01之間的隨機(jī)

2、數(shù)Scilab中用rand()函數(shù)來(lái)產(chǎn)生01的均勻隨機(jī)數(shù)如果要產(chǎn)生ab之間的隨機(jī)數(shù)，可以使用變換rand()*(ba)a得到1用隨機(jī)模擬方法得到的頻率()A大于概率B小于概率C等于概率 D是概率的近似值答案：D2已知集合Mx|2x6，Nx|02x1，在集合M中任取一個(gè)元素x，則xMN的概率是()A. B.C. D.解析：選B因?yàn)镹x|02x1x|1x2，又Mx|2x6，所以MNx|1x2，所以所求的概率為.3.如圖所示，半徑為4的圓中有一個(gè)小狗圖案，在圓中隨機(jī)撒一粒豆子，它落在小狗圖案內(nèi)的概率是，則小狗圖案的面積是()A. B.C. D.解析：選D設(shè)小狗圖案的面積為S1，圓的面積S×

3、4216，由幾何概型的計(jì)算公式得，得S1.故選D.4在區(qū)間1,1上隨機(jī)取一個(gè)數(shù)x，則x0,1的概率為_(kāi)解析：根據(jù)幾何概型的概率的計(jì)算公式，可得所求概率為.答案：與長(zhǎng)度有關(guān)的幾何概型典例(1)在區(qū)間1,2上隨機(jī)取一個(gè)數(shù)x，則|x|1的概率為_(kāi)(2)某汽車(chē)站每隔15 min有一輛汽車(chē)到達(dá)，乘客到達(dá)車(chē)站的時(shí)刻是任意的，求一位乘客到達(dá)車(chē)站后等車(chē)時(shí)間超過(guò)10 min的概率解析(1)區(qū)間1,2的長(zhǎng)度為3，由|x|1，得x1,1，而區(qū)間1,1的長(zhǎng)度為2，x取每個(gè)值為隨機(jī)的，在1,2上取一個(gè)數(shù)x，|x|1的概率P.答案：(2)解：設(shè)上一輛車(chē)于時(shí)刻T1到達(dá)，而下一輛車(chē)于時(shí)刻T2到達(dá)，則線段T1T2的長(zhǎng)度為15，

4、設(shè)T是線段T1T2上的點(diǎn)，且T1T5，T2T10，如圖所示記“等車(chē)時(shí)間超過(guò)10 min”為事件A，則當(dāng)乘客到達(dá)車(chē)站的時(shí)刻t落在線段T1T上(不含端點(diǎn))時(shí)，事件A發(fā)生P(A)，即該乘客等車(chē)時(shí)間超過(guò)10 min的概率是.1解幾何概型概率問(wèn)題的一般步驟(1)選擇適當(dāng)?shù)挠^察角度(一定要注意觀察角度的等可能性)；(2)把基本事件轉(zhuǎn)化為與之對(duì)應(yīng)的區(qū)域D；(3)把所求隨機(jī)事件A轉(zhuǎn)化為與之對(duì)應(yīng)的區(qū)域I；(4)利用概率公式計(jì)算2與長(zhǎng)度有關(guān)的幾何概型問(wèn)題的計(jì)算公式如果試驗(yàn)的結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域的幾何度量可用長(zhǎng)度表示，則其概率的計(jì)算公式為：P(A).活學(xué)活用一個(gè)路口的紅燈亮的時(shí)間為30秒，黃燈亮的時(shí)間為5秒，綠燈亮的時(shí)間

5、為40秒，當(dāng)你到達(dá)路口時(shí)，看見(jiàn)下列三種情況的概率各是多少？(1)紅燈亮；(2)黃燈亮；(3)不是紅燈亮解：在75秒內(nèi)，每一時(shí)刻到達(dá)路口亮燈的時(shí)間是等可能的，屬于幾何概型(1)P.(2)P.(3)法一：P.法二：P1P(紅燈亮)1.與面積和體積有關(guān)的幾何概型典例(1)(福建高考)如圖，矩形ABCD中，點(diǎn)A在x軸上，點(diǎn)B的坐標(biāo)為(1,0)，且點(diǎn)C與點(diǎn)D在函數(shù)f(x)的圖象上若在矩形ABCD內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，則此點(diǎn)取自陰影部分的概率等于()A.B.C. D.(2)有一個(gè)底面圓的半徑為1、高為2的圓柱，點(diǎn)O為這個(gè)圓柱底面圓的圓心，在這個(gè)圓柱內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)P，則點(diǎn)P到點(diǎn)O的距離大于1的概率為_(kāi)解析(1)依題意

6、得，點(diǎn)C的坐標(biāo)為(1,2)，所以點(diǎn)D的坐標(biāo)為(2,2)，所以矩形ABCD的面積S矩形ABCD3×26，陰影部分的面積S陰影×3×1，根據(jù)幾何概型的概率求解公式，得所求的概率P，故選B.(2)先求點(diǎn)P到點(diǎn)O的距離小于1或等于1的概率，圓柱的體積V圓柱×12×22，以O(shè)為球心，1為半徑且在圓柱內(nèi)部的半球的體積V半球××13.則點(diǎn)P到點(diǎn)O的距離小于1或等于1的概率為：，故點(diǎn)P到點(diǎn)O的距離大于1的概率為：1.答案(1)B(2)1與面積有關(guān)的幾何概型的概率公式如果試驗(yàn)的結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域的幾何度量可用面積表示，則其概率的計(jì)算公式為：P(

7、A).2與體積有關(guān)的幾何概型概率的求法如果試驗(yàn)的結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域的幾何度量可用體積表示，則其概率的計(jì)算公式為P(A). 活學(xué)活用1在一球內(nèi)有一棱長(zhǎng)為1的內(nèi)接正方體，一點(diǎn)在球內(nèi)運(yùn)動(dòng)，則此點(diǎn)落在正方體內(nèi)部的概率為()A. B.C. D.解析：選D由題意可得正方體的體積為V11.又球的直徑是正方體的體對(duì)角線，故球的半徑R.球的體積V2R3.則此點(diǎn)落在正方體內(nèi)的概率為P.2若將一個(gè)質(zhì)點(diǎn)隨機(jī)投入如圖所示的長(zhǎng)方形ABCD中，其中AB2，BC1，則質(zhì)點(diǎn)落在以AB為直徑的半圓內(nèi)的概率是()A. B. C. D. 解析：選B設(shè)質(zhì)點(diǎn)落在以AB為直徑的半圓內(nèi)為事件A，則P(A).隨機(jī)模擬法的應(yīng)用典例利用隨機(jī)模擬法計(jì)

8、算圖中陰影部分(曲線y2x與x軸、x±1圍成的部分)的面積解設(shè)事件A“隨機(jī)向正方形內(nèi)投點(diǎn)，所投的點(diǎn)落在陰影部分”S1用計(jì)數(shù)器n記錄做了多少次投點(diǎn)試驗(yàn)，用計(jì)數(shù)器m記錄其中有多少次(x，y)滿(mǎn)足1<x<1,0<y<2x(即點(diǎn)落在陰影部分)首先置n0，m0；S2用變換rand()*21產(chǎn)生11之間的均勻隨機(jī)數(shù)x表示所投的點(diǎn)的橫坐標(biāo)；用變換rand()*2產(chǎn)生02之間均勻隨機(jī)數(shù)y表示所投的點(diǎn)的縱坐標(biāo)；S3判斷點(diǎn)是否落在陰影部分，即是否滿(mǎn)足y<2x，如果是，則計(jì)數(shù)器m的值加1，即mm1，如果不是，m的值保持不變；S4表示隨機(jī)試驗(yàn)次數(shù)的計(jì)數(shù)器n的值加1，即nn1，如

9、果還要繼續(xù)試驗(yàn)，則返回步驟S2繼續(xù)執(zhí)行，否則，程序結(jié)束程序結(jié)束后事件A發(fā)生的頻率作為事件A的概率的近似值設(shè)陰影部分的面積為S，正方形的面積為4，由幾何概型計(jì)算公式得P(A).所以.所以S.即為陰影部分面積的近似值利用隨機(jī)模擬法估計(jì)圖形面積的步驟(1)把已知圖形放在平面直角坐標(biāo)系中，將圖形看成某規(guī)則圖形(長(zhǎng)方形或圓等)內(nèi)的一部分，并用陰影表示；(2)利用隨機(jī)模擬方法在規(guī)則圖形內(nèi)任取一點(diǎn)，求出落在陰影部分的概率P(A)；(3)設(shè)陰影部分的面積是S，規(guī)則圖形的面積是S，則有，解得SS，則已知圖形面積的近似值為S. 活學(xué)活用取一根長(zhǎng)度為3 cm的繩子，拉直后在任意位置剪斷，用隨機(jī)模擬法估算剪得兩段的長(zhǎng)

10、都不小于1 cm的概率有多大？解：設(shè)事件A“剪得兩段的長(zhǎng)都不小于1 cm”S1用記數(shù)器n記錄做了多少次試驗(yàn)，用記數(shù)器m記錄其中有多少個(gè)數(shù)出現(xiàn)在12之間(即得兩段的長(zhǎng)都不小于1 cm)，首先置n0，m0；S2用變換rand()*3，產(chǎn)生03之間的均勻隨機(jī)數(shù)x；S3判斷剪得兩段是否長(zhǎng)度都大于1 cm，即是否滿(mǎn)足1x2，若是，則記數(shù)器m的值增加1，即mm1，若不是，m的值不變；S4表示隨機(jī)試驗(yàn)次數(shù)的記數(shù)器n的值加1，即nn1；如果還需試驗(yàn)，則返回S2，繼續(xù)執(zhí)行，否則程序結(jié)束程序結(jié)束后事件A發(fā)生的頻率作為事件A的概率的近似值層級(jí)一學(xué)業(yè)水平達(dá)標(biāo)1.如圖，一顆豆子隨機(jī)扔到桌面上，則它落在非陰影區(qū)域的概率為

11、()A.B.C. D.解析：選C試驗(yàn)發(fā)生的范圍是整個(gè)桌面，其中非陰影部分面積占整個(gè)桌面的，而豆子落在任一點(diǎn)是等可能的，所以豆子落在非陰影區(qū)域的概率為，故選C.2.如圖所示，在一個(gè)邊長(zhǎng)為a，b(ab0)的矩形內(nèi)畫(huà)一個(gè)梯形，梯形上、下底長(zhǎng)分別為與，高為b.向該矩形內(nèi)隨機(jī)地投一點(diǎn)，則所投的點(diǎn)落在梯形內(nèi)部的概率為()A. B.C. D.解析：選CS矩形ab，S梯形bab.故所投的點(diǎn)在梯形內(nèi)部的概率為P.3已知函數(shù)f(x)log2x，x，在區(qū)間上任取一點(diǎn)x0，則使f(x0)0的概率為_(kāi)解析：欲使f(x)log2x0，則x1，而x，x01,2，從而由幾何概型概率公式知所求概率P.答案：4已知正三棱錐S&#

12、173;ABC的底面邊長(zhǎng)為4，高為3，在正三棱錐內(nèi)任取一點(diǎn)P，使得VP­ABC<VS­ABC的概率是_解析：由VP­ABC<VS­ABC知，P點(diǎn)在三棱錐S­ABC的中截面A0B0C0的下方，P11.答案：層級(jí)二應(yīng)試能力達(dá)標(biāo)1已知地鐵列車(chē)每10 min一班，在車(chē)站停1 min，則乘客到達(dá)站臺(tái)立即乘上車(chē)的概率是()A. B.C. D.解析：選A試驗(yàn)的所有結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域長(zhǎng)度為10 min，而構(gòu)成事件A的區(qū)域長(zhǎng)度為1 min，故P(A).2.如圖，矩形ABCD中，點(diǎn)E為邊CD的中點(diǎn)，若在矩形ABCD內(nèi)部隨機(jī)取一個(gè)點(diǎn)Q，則點(diǎn)Q取自ABE內(nèi)部的

13、概率等于()A. B.C. D.解析：選CABE的面積是矩形ABCD面積的一半，由幾何概型知，點(diǎn)Q取自ABE內(nèi)部的概率為.3.如圖所示，一半徑為2的扇形(其中扇形中心角為90°)，在其內(nèi)部隨機(jī)地撒一粒黃豆，則它落在陰影部分的概率為()A. B.C. D1解析：選DS扇形××22，S陰影S扇形SOAB×2×22，P1.4在區(qū)間1,1上任取兩數(shù)x和y，組成有序?qū)崝?shù)對(duì)(x，y)，記事件A為“x2y21”，則P(A)為()A. B.C D2解析：選A如圖，集合S(x，y)|1x1，1y1，則S中每個(gè)元素與隨機(jī)事件的結(jié)果一一對(duì)應(yīng)，而事件A所對(duì)應(yīng)的事件(x

14、，y)與圓x2y21內(nèi)的點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)，所以P(A).5方程x2xn0(n(0,1)有實(shí)根的概率為_(kāi)解析：由于方程x2xn0(n(0,1)有實(shí)根，0，即14n0，n，又n(0,1)，有實(shí)根的概率為P.答案：6在400毫升自來(lái)水中有一個(gè)大腸桿菌，今從中隨機(jī)取出2毫升水樣放到顯微鏡下觀察，則發(fā)現(xiàn)大腸桿菌的概率為_(kāi)解析：大腸桿菌在400毫升自來(lái)水中的位置是任意的，且結(jié)果有無(wú)限個(gè)，屬于幾何概型設(shè)取出2毫升水樣中有大腸桿菌為事件A，則事件A構(gòu)成的區(qū)域體積是2毫升，全部試驗(yàn)結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域體積是400毫升，則P(A)0.005.答案：0.0057在棱長(zhǎng)為a的正方體ABCD­A1B1C1D1內(nèi)任取一點(diǎn)P

15、，則點(diǎn)P到點(diǎn)A的距離小于等于a的概率為_(kāi)解析：點(diǎn)P到點(diǎn)A的距離小于等于a可以看做是隨機(jī)的，點(diǎn)P到點(diǎn)A的距離小于等于a可視作構(gòu)成事件的區(qū)域，棱長(zhǎng)為a的正方體ABCD­A1B1C1D1可視做試驗(yàn)的所有結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域，可用“體積比”公式計(jì)算概率P.答案：8.如圖，射箭比賽的箭靶涂有五個(gè)彩色的分環(huán)從外向內(nèi)依次為白色、黑色、藍(lán)色、紅色，靶心為金色金色靶心叫“黃心”奧運(yùn)會(huì)的比賽靶面直徑為122 cm，靶心直徑為12.2 cm.運(yùn)動(dòng)員在70 m外射箭假設(shè)運(yùn)動(dòng)員射的箭都能中靶，且射中靶面內(nèi)任一點(diǎn)都是等可能的，那么射中黃心的概率為多少？解：記“射中黃心”為事件B，由于中靶點(diǎn)隨機(jī)地落在面積為××1222 cm2的大圓內(nèi)，而當(dāng)中靶點(diǎn)落在面積為××12.22 cm2的黃心時(shí)，事件B發(fā)生，于是事件B發(fā)生的概率為P(B)0.01.即“射中黃心”的概率是0.01.9已知圓C：x2y212，直線l：4x3y25.(1)求圓C的