2014年高考數(shù)學題分類匯編__函數(shù)與導數(shù)

1、2014年高考數(shù)學題分類匯編函數(shù)與導數(shù)一、選擇題1.【2014·全國卷（理3，文5）】設函數(shù)，的定義域都為R，且時奇函數(shù)，是偶函數(shù)，則下列結論正確的是（ ）.是偶函數(shù) .|是奇函數(shù).|是奇函數(shù) .|是奇函數(shù)【答案】C2. 【2014·全國卷（理6）】如圖，圓O的半徑為1，A是圓上的定點，P是圓上的動點，角的始邊為射線，終邊為射線，過點作直線的垂線，垂足為，將點到直線的距離表示為的函數(shù)，則=在0,上的圖像大致為（ ）【答案】C3. 【2014·全國卷（理11，文12）】已知函數(shù)=，若存在唯一的零點，且0，則的取值范圍為（ ）.（2，+） .（-，-2） .（1，+）

2、 .（-，-1）【答案】B4. 【2014·全國卷（理8）】設曲線y=ax-ln(x+1)在點(0,0)處的切線方程為y=2x，則a= A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】 D【解析】5【2014·全國卷（理12）】設函數(shù).若存在的極值點滿足，則m的取值范圍是（ ）A. B. C. D.【答案】C?！窘馕觥?.【2014·全國卷（文3）】函數(shù)在處導數(shù)存在，若p：f（x0）=0；q：x=x0是的極值點，則 （A）是的充分必要條件 （B）是的充分條件，但不是的必要條件 （C）是的必要條件，但不是 的充分條件 (D) 既不是的充分條件，也不是的必要條件【答案

3、】C7.【2014·全國卷（文11）】若函數(shù)在區(qū)間（1，+）單調遞增，則k的取值范圍是（ ） （A） （B） （C） （D）【答案】D8. 【2014·全國大綱卷（理7）】曲線在點（1,1）處切線的斜率等于（ ）A2e Be C2 D1【答案】C9. 【2014·全國大綱卷（理12）】函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象關于直線對稱，則的反函數(shù)是（ ）A B C D【答案】D10.【2014·全國大綱卷（文5）】函數(shù)的反函數(shù)是（ ）A B C D【答案】D11.【2014·全國大綱卷（文12）】奇函數(shù)的定義域為R，若為偶函數(shù)，且，則（ ）A-2 B-1 C0

4、 D1【答案】D12. 【2014·山東卷（理3）】函數(shù)的定義域為（A）（B）（C）（D）13.【2014·山東卷（文3）】函數(shù)的定義域為（ ）(A) (B) (C) (D) 【答案】C14.【2014·山東卷（理5）】已知實數(shù)滿足（），則下列關系式恒成立的是（A） （B）（C） （D）15.【2014·山東卷（文5）】已知實數(shù)滿足，則下列關系式恒成立的是(A) (B) (C) (D) 【答案】A 16.【2014·山東卷（文6）】已知函數(shù)的圖象如右圖，則下列結論成立的是(A) (B) (C) (D) 【答案】D17.【2014·山東

5、卷（文9）】對于函數(shù)，若存在常數(shù)，使得取定義域內的每一個值，都有，則稱為準偶函數(shù)，下列函數(shù)中是準偶函數(shù)的是(A) (B) (C) (D) 【答案】D18.【2014·山東卷（理6）】直線與曲線在第一象限內圍成的封閉圖形的面積為（A）（B）（C）2（D）419.【2014·山東卷（理8）】已知函數(shù)，若有兩個不相等的實根，則實數(shù)的取值范圍是（A）（B）（C）（D）20.【2014·安徽卷（理6）】設函數(shù)滿足.當時，則( )A. B. C. D.【解析】由條件知：，故選A；21.【2014·安徽卷（文、理9）】若函數(shù)的最小值3，則實數(shù)的值為（ ）A. 或 B.

6、 或 C. 或 D. 或【答案】D.22.【2014·安徽卷（文5）】設，則（ ）A. B. C. D. 【答案】B23.【2014·浙江卷（理6，文8）】已知函數(shù) 且，則（ ）A. B. C. D. 24.【2014·浙江卷（理7，文8）】在同意直角坐標系中，函數(shù)的圖像可能是（ ） 25.【2014·浙江卷（理10）】設函數(shù)，記，則A. B. C. D. 26.【2014·北京卷（理2）】下列函數(shù)中，在區(qū)間上為增函數(shù)的是（ ） 27.【2014·北京卷（文2）】下列函數(shù)中，定義域是且為增函數(shù)的是（ ） A. B. C. D.【答案】

7、B。28.【2014·北京卷（文6）】已知函數(shù)，在下列區(qū)間中，包含零點的區(qū)間是（ ） A. B. C. D.【答案】C29.【2014·天津卷（理4）】函數(shù)的單調遞增區(qū)間是（）A B. C. D.【答案】D.【解析】函數(shù)的定義域為。由于在上單調遞減，而在區(qū)間上單調遞減，故為函數(shù)的單調遞增區(qū)間，選D.30.【2014·天津卷（文4）】設，則（） （A） （B） （C） （D）【解析】因為，所以，選C.31.【2014·福建卷（理4，文8）】若函數(shù)的圖像如右圖所示，則下列函數(shù)圖像正確的是（ ）【答案】B32.【2014·福建卷（理7，文8）】已知函

8、數(shù)則下列結論正確的是（ ）A. 是偶函數(shù) B. 是增函數(shù) C.是周期函數(shù) D.的值域為【答案】D33.【2014·遼寧卷（理3，文3）】已知，則（ ）A B C D【答案】C34.【2014·遼寧卷（理11）】當時，不等式恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是（ ）A B C D【答案】C35.【2014·遼寧卷（理12）】已知定義在上的函數(shù)滿足：；對所有，且，有.若對所有，則k的最小值為（ ）A B C D【答案】B36.【2014·遼寧卷（文10）】已知為偶函數(shù)，當時，則不等式的解集為（ ）A B C D37.【2014·陜西卷（理3）】定積分的值為

9、（ ） 【答案】C【解析】，選C。38.【2014·陜西卷（文、理7）】下列函數(shù)中，滿足“”的單調遞增函數(shù)是（ ）（A） （B） （C） （D）【答案】D【解析】39.【2014·陜西卷（理10）】如圖，某飛行器在4千米高空水平飛行，從距著陸點的水平距離10千米處下降，已知下降飛行軌跡為某三次函數(shù)圖像的一部分，則函數(shù)的解析式為（ ）（A） （B）（C） （D）【答案】A【解析】三次奇函數(shù)過點，且為極值點，即，對而言，由于，符合題意。40.【2014·陜西卷（文10）】如圖，修建一條公路需要一段環(huán)湖彎曲路段與兩條直道平滑連接（相切）.已知環(huán)湖彎曲路段為某三次函數(shù)圖象

10、的一部分，則該函數(shù)的解析式為（ ）A. B. C. D.【答案】A.【解析】三次函數(shù)圖象過點，且，設，則，從而解得，則函數(shù)式為，故選A.41.【2014·湖南卷（理3）】已知分別是定義在R上的偶函數(shù)和奇函數(shù)，且A3 B1 C1 D342.【2014·湖南卷（文4）】下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又在區(qū)間上單調遞增的是（ ） 【答案】A43.【2014·湖南卷（理10）】已知函數(shù)的圖象上存在關于軸對稱的點，則的取值范圍是A B C D【答案】B【解析】由題可得存在滿足,當取決于負無窮小時,趨近于,因為函數(shù)在定義域內是單調遞增的,所以,故選B.【考點定位】指對數(shù)函數(shù) 方程44

11、.【2014·湖南卷（文9）】若，則（ ）A.B.C. D.【答案】C45【2014·江西卷（理2）】函數(shù)的定義域為（ ）A. B. C. D. 【答案】C46.【2014·江西卷（理3）】已知函數(shù)，若，則（ ）A. 1 B. 2 C. 3 D. -1【答案】A47.【2014·江西卷（文4）】已知函數(shù)，若，則（ ） 【答案】A48.【2014·江西卷（理8）】若則（ ）A. B. C. D.1【答案】B49.【2014·江西卷（文10）】在同意直角坐標系中，函數(shù)與的圖像不可能的是（ ）【答案】B50.【2014·湖北卷（理

12、6）】若函數(shù) 滿足 ，則稱為區(qū)間 上的一組正交函數(shù)，給出三組函數(shù)：；。其中為區(qū)間的正交函數(shù)的組數(shù)是（ ）A.0 B.1 C.2 D.3【答案】C51.【2014·湖北卷（理10）】已知函數(shù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，當時，若則實數(shù)a的取值范圍為（ ）A. B. C. D. 【答案】B52.【2014·湖北卷（文9）】已知是定義在上的奇函數(shù)，當時，. 則函數(shù)的零點的集合為 A. B. C. D. 【答案】D53.【2014·四川卷（理9）】已知，?，F(xiàn)有下列命題：；。其中的所有正確命題的序號是A B C D 【答案】B54.【2014·四川卷（文7）】已知

13、，則下列等式一定成立的是（ ）A、 B、 C、 D、【答案】B55.【2014·重慶卷（文4）】下列函數(shù)為偶函數(shù)的是（ ） 【答案】D56.【2014·重慶卷（文9）】若的最小值是（ ）A. B. C. D.【答案】D57.【2014·重慶卷（文10）】已知函數(shù) ，且在內有且僅有兩個不同的零點，則實數(shù)的取值范圍是（ ）A. B. C. D.【答案】A58.【2014·廣東卷（文5）】下列函數(shù)為奇函數(shù)的是 【答案】A二、填空題59.【2014·全國卷（文15）】設函數(shù)則使得成立的的取值范圍是_.【答案】 60.【2014·全國卷（理15

14、）】已知偶函數(shù)在單調遞減，.若，則的取值范圍是_.【答案】【解析】偶函數(shù)在區(qū)間上單減，且，則，解得61.【2014·全國卷（文15）】已知函數(shù)的圖像關于直線=2對稱，=3，則_.62.【2014·山東卷（理15）】已知函數(shù).對函數(shù)，定義關于的“對稱函數(shù)”為，滿足：對任意，兩個點，關于點對稱.若是關于的“對稱函數(shù)”，且恒成立，則實數(shù)的取值范圍是 .63.【2014·江蘇卷（10）】已知函數(shù)若對于任意,都有成立,則實數(shù)的取值范圍是 .64.【2014·江蘇卷（13）】已知是定義在R上且周期為3的函數(shù),當時,.若函數(shù)在區(qū)間上有10個零點(互不相同),則實數(shù)的取

15、值范圍是 .65.【2014·安徽卷（文11）】_.【答案】 66.【2014·安徽卷（文14）】若函數(shù)是周期為的奇函數(shù)，且在上的解析式為，則 _.【答案】 67.【2014·安徽卷（文15）】若直線與曲線滿足下列兩個條件： 直線在點處與曲線相切；曲線在附近位于直線的兩側，則稱直線在點處“切過”曲線.下列命題正確的是_(寫出所有正確命題的編號) .直線：在點處“切過”曲線：； 直線：在點處“切過”曲線：； 直線：在點處“切過”曲線：； 直線：在點處“切過”曲線：， 直線：在點處“切過”曲線： 【答案】68.【2014·浙江卷（理15）】設函數(shù)若，則實數(shù)的

16、取值范圍是_【解析】不等式可化為或，解得，即 ，或69.【2014·浙江卷（文15）】設函數(shù)，若，則 .70.【2014·浙江卷（文16）】已知實數(shù)、滿足，則的最大值為為_.71.【2014·天津卷（文12）】函數(shù)的單調遞減區(qū)間值是_.【解析】由復合函數(shù)的單調性知，的單調遞減區(qū)間是.72.【2014·天津卷（理14）】已知函數(shù)，.若方程恰有4個互異的實數(shù)根，則實數(shù)的取值范圍為_.【答案】或【解析】顯然.（）當與相切時，此時恰有3個互異的實數(shù)根.（）當直線與函數(shù)相切時，此時恰有2個互異的實數(shù)根.結合圖象可知或.解2：顯然，所以.令，則.因為，所以.結合圖象

17、可得或.73.【2014·福建卷（文15）】函數(shù)的零點個數(shù)是_【答案】274.【2014·陜西卷（理11，文12）】已知則=_.【答案】【解析】75.【2014·陜西卷（文14）】已知f（x）=，x0, f1(x)=f(x),fn+1(x)=f(fn(x),nN+, 則f2014(x)的表達式為_.【答案】【解析】，由于，則，歸納得。76.【2014·湖南卷（文15）】若是偶函數(shù)，則_.【答案】77.【2014·江西卷（文11）】若曲線處的切線平行于直線的坐標是_.【答案】78.【2014·江西卷（理13）】若曲線上點處的切線平行于直

18、線，則點的坐標是_.【答案】（-ln2,2）79.【2014·湖北卷（理14）】設是定義在上的函數(shù)，且，對任意，若經(jīng)過點的直線與軸的交點為，則稱為關于函數(shù)的平均數(shù)，記為，例如，當時，可得，即為的算術平均數(shù).（1） 當時，為的幾何平均數(shù)；（2） 當時，為的調和平均數(shù)；（以上兩空各只需寫出一個符合要求的函數(shù)即可）【答案】；x 或；80.【2014·湖北卷（文15）】如圖所示，函數(shù)的圖象由兩條射線和三條線段組成第15題圖若，則正實數(shù)的取值范圍為【答案】81.【2014·四川卷（理12，文13）】設是定義在R上的周期為2的函數(shù)，當時，則 。【答案】82.【2014

19、3;四川卷（理15，文15）】以表示值域為R的函數(shù)組成的集合，表示具有如下性質的函數(shù)組成的集合：對于函數(shù)，存在一個正數(shù)，使得函數(shù)的值域包含于區(qū)間。例如，當，時，?，F(xiàn)有如下命題：設函數(shù)的定義域為，則“”的充要條件是“，”；函數(shù)的充要條件是有最大值和最小值；若函數(shù)，的定義域相同，且，則；若函數(shù)（，）有最大值，則。其中的真命題有 。（寫出所有真命題的序號）【答案】83.【2014·重慶卷（理12）】.函數(shù)的最小值為_.【答案】84.【2014·重慶卷（理16）】若不等式對任意實數(shù)恒成立，則實數(shù)的取值范圍是_.【答案】85.【2014·廣東卷（理11）】曲線在點處的切線方

20、程為 。【答案】86.【2014·廣東卷（文11）】曲線在點處的切線方程為 .【答案】三、解答題87.【2014·全國卷（理21）】(本小題滿分12分)設函數(shù)，曲線在點（1，處的切線為. ()求； （）證明：.【解析】 5分 8分 12分88.【2014·全國卷（文21）】設函數(shù)，曲線處的切線斜率為0()求b；()若存在使得，求a的取值范圍?！窘馕觥?，由題設知，解得. 4分（II）的定義域為，由（1）知，（）若，則，故當時，在單調遞增，所以，存在，使得的充要條件為，即，解得.（ii）若，則，故當時，；當時，在單調遞減，在單調遞增.所以，存在，使得的充要條件為，而，

21、所以不合題意.（iii）若，則.綜上，a的取值范圍是. 12分89.【2014·全國卷（理21）】已知函數(shù)=（）討論的單調性；（）設，當時，,求的最大值；（）已知，估計ln2的近似值（精確到0.001）【解析】（1）（2）（）由（）知，. 當b=2時，0；0.6928； 當時， =0， 0.6934 所以的近似值為0.693.90.【2014·全國卷（文21）】已知函數(shù)，曲線在點處的切線與軸交點的橫坐標為.（1） 求；（2） 證明：當時，曲線與直線只有一個交點.【解析】（I）=，.曲線在點（0,2）處的切線方程為。由題設得，所以a=1. （）由（I）知， 設由題設知. 當0

22、時，單調遞增，所以=0在有唯一實根。當時，令，則。 ，在單調遞減，在單調遞增，所以 所以在沒有實根.綜上，=0在R有唯一實根，即曲線與直線只有一個交點。91.【2014·全國大綱卷（理22）】（本小題滿分12分）函數(shù).（1）討論的單調性；（2）設，證明：.【解析】（I）的定義域為（i）當時，若，則在上是增函數(shù)；若則在上是減函數(shù)；若則在上是增函數(shù)（ii）當時,成立當且僅當在上是增函數(shù)（iii）當時，若，則在是上是增函數(shù)；若，則在上是減函數(shù)；若，則在上是增函數(shù)（II）由（I）知，當時，在是增函數(shù)當時，即又由（I）知，當時，在上是減函數(shù)；當時，即下面用數(shù)學歸納法證明（i）當時，由已知，故結

23、論成立；（ii）假設當時結論成立，即當時，即當時有，結論成立根據(jù)（i）、（ii）知對任何結論都成立92.【2014·全國大綱卷（文21）】函數(shù)f(x)=ax3+3x2+3x(a0).（1）討論函數(shù)f(x)的單調性；（2）若函數(shù)f(x)在區(qū)間（1，2）是增函數(shù)，求a的取值范圍.【解析】（1），的判別式=36（1-a）.（i）若a1，則，且當且僅當a=1，x=-1，故此時f（x）在R上是增函數(shù).（ii）由于a0，故當a<1時，有兩個根：，若0<a<1,則當x（，x2）或x（x1，+）時，故f（x）在（，x2），（x1，+）上是增函數(shù)；當x（x2，x1）時，故f（x）在（

24、x2，x1）上是減函數(shù)；（2）當a>0，x>0時, ，所以當a>0時，f（x）在區(qū)間（1，2）是增函數(shù).若a<0時，f（x）在區(qū)間（1,2）是增函數(shù)當且僅當且，解得.綜上，a的取值范圍是.93.【2014·山東卷（理20）】設函數(shù)（為常數(shù)，是自然對數(shù)的底數(shù)）.（）當時，求函數(shù)的單調區(qū)間；（）若函數(shù)在內存在兩個極值點，求的取值范圍.【解析】（1），當時，令，得，函數(shù)在上單調遞減，在上單調遞增；（2）令，則，令，得。由于，綜上知的取值范圍是。94.【2014·山東卷（文20）】（本小題滿分13分）設函數(shù) ，其中為常數(shù).（）若，求曲線在點處的切線方程；（I

25、I）討論函數(shù)的單調性.【解析】由題意知時，. 此時，可得。 所以在 處的切線方程為 函數(shù)的定義域為. 。 當，函數(shù)在上單調遞增；當時，令。由于，當時，函數(shù)在上單調遞減；當時，則，函數(shù)在上單調遞減；當時，設是函數(shù)的兩個零點，則，由。所以 時，函數(shù)單調遞減； 時， ，函數(shù)單調遞增； 時，函數(shù)單調遞減。綜上所述：當時，函數(shù)在（0，+）上單調遞增加；當時，函數(shù)在（0，+）上單調遞減；當時，在,上單調遞減，在上單調遞增。95.【2014·江蘇卷（19）】(本小題滿分16分)已知函數(shù),其中e是自然對數(shù)的底數(shù). (1)證明:是R上的偶函數(shù)；(2)若關于的不等式在上恒成立，求實數(shù)的取值范圍；(3)已

26、知正數(shù)滿足：存在，使得成立.試比較與的大小，并證明你的結論.【解析】本小題主要考查初等函數(shù)的基本性質、導數(shù)的應用等基礎知識，考查綜合運用數(shù)學思想 方法分析與解決問題的能力.滿分16分.（1），是上的偶函數(shù)（2）由題意，即，即對恒成立令，則對任意恒成立，當且僅當時等號成立（3），當時，在上單調增令，即在上單調減存在，使得，即設，則當時，單調增；當時，單調減因此至多有兩個零點，而當時，；當時，；當時，96.【2014·安徽卷（理19，文20）】（本小題滿分13分）設函數(shù)，其中.()討論在其定義域上的單調性；()當時，求取得最大值和最小值時的的值.【解析】（）的定義域為， 令得所以當或時；

27、當時故在和內單調遞減，在內單調遞增。（），（1）當時，由（）知在上單調遞增在和處分別取得最小值和最大值。（2）當時，由（）知在上單調遞增，在上單調遞減在處取得最大值又當時在處取得最小值 當時在和處同時取得最小值當時，在取得最小值。97.【2014·浙江卷（理20）】已知函數(shù) ()若在上的最大值和最小值分別記為，求 ()設，若對恒成立，求得取值范圍. (2) 98.【2014·浙江卷（文21）】已知函數(shù)，若在上的最小值記為.（1）求；（2）證明：當時，恒有.【解析】本題主要考查函數(shù)最大（最?。┲档母拍?、利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性等基礎知識，同時考查推理論證、分類討論、分析問題

28、和解決問題等綜合解題能力。滿分15分。（1）因為，當時，若，則，故在上是減函數(shù)；若，則，故在上是增函數(shù)；所以，.當，則，故在上是減函數(shù)，所以，綜上所述，.（2）令，當時，若，得，所以在上是增函數(shù)，所以在上的最大值是，且，所以，故.若，則，所以在上是減函數(shù)，所以在上的最大值是，令，則，所以在上是增函數(shù)，所以即，故，當時，所以，得，此時在上是減函數(shù)，因此在上的最大值是，故，綜上所述，當時恒有.99.【2014·北京卷（理18，文8）】已知函數(shù)，（1）求證：；（2）若在上恒成立，求的最大值與的最小值.【解析】（I）由得 。 因為在區(qū)間上，所以在區(qū)間上單調遞減。從而。（）當時，“”等價于“”

29、“”等價于“”。 令，則， 當時，對任意恒成立。 當時，因為對任意，所以在區(qū)間上單調遞減。從而對任意恒成立。 當時，存在唯一的使得。 與在區(qū)間上的情況如下： 0因為在區(qū)間上是增函數(shù)，所以。進一步，“對任意恒成立”當且僅當，即， 綜上所述，當且僅當時，對任意恒成立；當且僅當時，對任意恒成立。 所以，若對任意恒成立，則a最大值為，b的最小值為1.100.【2014·北京卷（文20）】已知函數(shù).（1）求在區(qū)間上的最大值；（2）若過點存在3條直線與曲線相切，求t的取值范圍；（3）問過點分別存在幾條直線與曲線相切？（只需寫出結論）（I）由得，令，得或，因為，所以在區(qū)間上的最大值為.（II）設過

30、點P（1，t）的直線與曲線相切于點，則，且切線斜率為，所以切線方程為，因此，整理得：，設，則“過點存在3條直線與曲線相切”等價于“有3個不同零點”， =，與的情況如下：01+00+t+3所以，是的極大值，是的極小值，當，即時，此時在區(qū)間和上分別至多有1個零點，所以至多有2個零點，當，時，此時在區(qū)間和上分別至多有1個零點，所以至多有2個零點.當且，即時，因為，所以分別為區(qū)間和上恰有1個零點，由于在區(qū)間和上單調，所以分別在區(qū)間和上恰有1個零點.綜上可知，當過點存在3條直線與曲線相切時，t的取值范圍是.（III）過點A（-1，2）存在3條直線與曲線相切；過點B（2，10）存在2條直線與曲線相切；過點

31、C（0，2）存在1條直線與曲線相切.101.【2014·天津卷（理20）】已知函數(shù)，.已知函數(shù)有兩個零點，且.（）求的取值范圍；（）證明 隨著的減小而增大；（）證明 隨著的減小而增大.【解析】本小題主要考查函數(shù)的零點、導數(shù)的運算、利用導數(shù)研究函數(shù)的性質等基礎知識和方法. 考查函數(shù)思想、化歸思想. 考查抽象概括能力、綜合分析問題和解決問題的能力. 滿分14分.（）解：由，可得.下面分兩種情況討論：（1）時 在上恒成立，可得在上單調遞增，不合題意.（2）時， 由，得.當變化時，的變化情況如下表：0這時，的單調遞增區(qū)間是；單調遞減區(qū)間是.于是，“函數(shù)有兩個零點”等價于如下條件同時成立：1&

32、#176;；2°存在，滿足；3°存在，滿足.由，即，解得，而此時，取，滿足，且；取，滿足，且.所以，的取值范圍是.（）證明：由，有.設，由，知在上單調遞增，在上單調遞減. 并且，當時，；當時，.由已知，滿足，. 由，及的單調性，可得，. 對于任意的，設，其中；，其中.因為在上單調遞增，故由，即，可得；類似可得.又由，得.所以，隨著的減小而增大.（）證明：由，可得，.故.設，則，且解得，.所以，. 令，則.令，得.當時，.因此，在上單調遞增，故對于任意的，由此可得，故在上單調遞增.因此，由可得隨著的增大而增大.而由（），隨著的減小而增大，所以隨著的減小而增大.102.【201

33、4·天津卷（文19）】已知函數(shù)，.（）求的單調區(qū)間和極值；（）若對于任意的，都存在，使得.求的取值范圍.（）解：因為，所以.令得或.因為當或時，單調遞減，當時，單調遞增，所以，.（）解：因為，所以.103.【2014·福建卷（理20）】已知函數(shù)（為常數(shù)）的圖像與軸交于點，曲線在點處的切線斜率為-1.（I）求的值及函數(shù)的極值；（II）證明：當時，；（III）證明：對任意給定的正數(shù)，總存在，使得當，恒有.【解析】本小題主要考查導數(shù)的運算及導數(shù)的應用、全稱量詞等基礎知識的考查運用，考查抽象概括能力、推理論證能力，考查函數(shù)與方程思想、有限與無限思想、化歸與轉化思想、分類與整合思想、

34、函數(shù)與方程思想等。 滿分14分。解法一：（I）由，得.又,得.所以.令,得.當時, 單調遞減;當時, 單調遞增.所以當時, 取得極小值,且極小值為無極大值.（II）令,則.由（I）得,故在R上單調遞增,又,因此,當時, ,即.（III）若,則.又由（II）知，當時, .所以當時, .取,當時，恒有.若,令,要使不等式成立，只要成立.而要使成立，則只要,只要成立.令,則.所以當時, 在內單調遞增.取,所以在內單調遞增.又.易知.所以.即存在,當時，恒有.綜上，對任意給定的正數(shù)c，總存在,當時,恒有.解法二：（I）同解法一；（II）同解法一（III）對任意給定的正數(shù)c，取由（II）知，當x>

35、0時，所以當時， 因此，對任意給定的正數(shù)c，總存在,當時,恒有.104.【2014·福建卷（文20）】已知函數(shù)（為常數(shù)）的圖像與軸交于點，曲線在點處的切線斜率為.（）求的值及函數(shù)的極值；（）證明：當時，（）證明：對任意給定的正數(shù)c，總存在，使得當時，恒有【解析】解法一：（1）由，得.又，得.所以，.令，得.當時，單調遞減；當時，單調遞增.所以當時，有極小值，且極小值為，無極大值.（2）令，則.由（1）得，即.所以在R上單調遞增，又，所以當時，即.（3）對任意給定的正數(shù)c，取，由（2）知，當時，.所以當時，即.因此，對任意給定的正數(shù)c，總存在，當時，恒有.解法二：（1）同解法一.（2）

36、同解法一.（3）令，要使不等式成立，只要成立.而要使成立，則只需，即成立.若，則，易知當時，成立.即對任意，取，當時，恒有.若，令，則，所以當時，在內單調遞增.取，易知，所以.因此對任意，取，當時，恒有.綜上，對任意給定的正數(shù)c，總存在，當時，恒有.解法三：（1）同解法一.（2）同解法一.（3）若，取，由（2）的證明過程知，所以當時，有，即.若，令，則，令得.當時，單調遞增.取，易知，又在內單調遞增，所以當時，恒有，即.綜上，對任意給定的正數(shù)c，總存在，當時，恒有.注：對c的分類可有不同的方式，只要解法正確，均相應給分。105.【2014·遼寧卷（理21）】已知函數(shù)，.證明：（1）存

37、在唯一，使；（2）存在唯一，使，且對（1）中的.（）當時，函數(shù)在上為減函數(shù)，又，所以存在唯一，使.（）考慮函數(shù)，令，則時，記，則 ，由（）得，當時，當時，.在上是增函數(shù)，又，從而當時，所以在上無零點.在上是減函數(shù)，由，存在唯一的 ，使.所以存在唯一的使.因此存在唯一的，使.因為當時，故與有相同的零點，所以存在唯一的，使.因，所以106.【2014·遼寧卷（文8）】已知函數(shù)，.證明：（）存在唯一，使；（）存在唯一，使，且對（1）中的x0，有.（）當時，所以在上為增函數(shù)又所以存在唯一，使（）當時，化簡得令記則由（）得，當時，；當時，從而在上為增函數(shù)，由知，當時，所以在上無零點在上為減函數(shù)

38、，由及知存在唯一，使得于是存在唯一，使得設因此存在唯一的，使得由于，所以107【2014·陜西卷（理21）】設函數(shù)，其中是的導函數(shù).（1） ，求的表達式；（2） 若恒成立，求實數(shù)的取值范圍；（3）設，比較與的大小，并加以證明.【解析】，（1），即，當且僅當時取等號當時，當時，即數(shù)列是以為首項，以1為公差的等差數(shù)列，當時，（2）在范圍內恒成立，等價于成立令，即恒成立，令，即，得當即時，在上單調遞增，所以當時，在上恒成立；當即時，在上單調遞增，在上單調遞減，所以設，因為，所以，即，所以函數(shù)在上單調遞減所以，即，所以不恒成立綜上所述，實數(shù)的取值范圍為；（3）由題設知：，比較結果為：證明如下

39、：上述不等式等價于在（2）中取，可得令，則，即故有上述各式相加可得：結論得證.108.【2014·陜西（文21）】設函數(shù).（1）當（為自然對數(shù)的底數(shù)）時，求的最小值；（2）討論函數(shù)零點的個數(shù)；（3）若對任意恒成立，求的取值范圍.【解析】（1）由題設，當時，易得函數(shù)的定義域為當時，此時在上單調遞減；當時，此時在上單調遞增；當時，取得極小值的極小值為2(2)函數(shù)令，得設當時，此時在上單調遞增；當時，此時在上單調遞減；所以是的唯一極值點，且是極大值點，因此x=1也是的最大值點，的最大值為又，結合y=的圖像（如圖），可知 當時，函數(shù)無零點；當時，函數(shù)有且僅有一個零點；當時，函數(shù)有兩個零點；時

40、，函數(shù)有且只有一個零點；綜上所述，當時，函數(shù)無零點；當或時，函數(shù)有且僅有一個零點；當時，函數(shù)有兩個零點.（2） 對任意恒成立，等價于恒成立設，在上單調遞減在恒成立恒成立（對，僅在時成立），的取值范圍是109.【2014·湖南卷（理22）】已知常數(shù)（1）討論在區(qū)間上的單調性；（2）若存在兩個極值點且求的取值范圍【解析】（I）=當1時，此時在區(qū)間上單調遞增。當0a1時，由得（舍去）當時，；當時，故在區(qū)間上單調遞增，在區(qū)間上單調遞增。綜上所述當時，在區(qū)間（0，）上單調遞增；當01時，在區(qū)間（0，）上單調遞減，在區(qū)間（，）上單調遞增（II）由（）式知。當，此時不存在極值點，因而要使得有兩個極

41、值點，必有01。又的極值點只可能是和，且由的定義可知，且2，所以。2，解得。此時，由（）式易知，分別是的極小值點和極大值點，而=（）-+（1+）- =- =+令2-1=x,由01且知當0時,-1x0; 當1時。0x1記（x）=ln+-2(i) 當-1x0時，（x）=2ln(-x)+ -2，所以（x）=-=0因此，（x）在區(qū)間（-1,0）上單調遞減，從而（x）（-1）=-40，故當0時，；（ii）當0x1時，（x）=2lnx+-2,所以，因此（x）在區(qū)間（0,1）上單調遞減，從而（x）（1）=0.故當1時，綜上所述。滿足條件的a的取值范圍為（，1）110【2014·湖南卷（文21）】已

42、知函數(shù).（1） 求的單調區(qū)間；（2）記為的從小到大的第個零點，證明：對一切，有（I）數(shù)求導可得,令可得,當時,.此時;當時,此時,故函數(shù)的單調遞減區(qū)間為,單調遞增區(qū)間為.(II)由(1)可知函數(shù)在區(qū)間上單調遞減,又,所以,當時,因為,且函數(shù)的圖像是連續(xù)不斷的,所以在區(qū)間內至少存在一個零點,又在區(qū)間上是單調的,故,因此,當時,;當時,;當時,綜上所述,對一切的,.111【2014·江西卷（理18）】已知函數(shù).（1）當時，求的極值；(2)若在區(qū)間上單調遞增，求b的取值范圍.【解析】（1）當時，由得或當時，單調遞減，當時，單調遞增，當時，單調遞減，故在取極小值，在取極大值4.（2）因為當時

43、, 依題意當時，有，從而所以b的取值范圍為112.【2014·江西卷（文18）】已知函數(shù)，其中. （1）當時，求的單調遞增區(qū)間; （2）若在區(qū)間上的最小值為8，求的值.當時，由，得或，由得或，故函數(shù)f（x）的單調遞增區(qū)間為和（2）因為，a<0，由 得或，當時，單調遞增，時，單調遞減，當時，單調遞增，易知=（2x+a）2，且當時，即-2a<0時，在上的最小值為，由=4+4a+a2=8，得a=均不符合題意當時，即，在上的最小值為不符合題意當時，即，在上的最小值可能在x=1或x=4上取得，而由得或(舍去)，當時，在上單調遞減，在上的最小值為符合題意。綜上有，a=-10113.【2014·湖北卷（理22，文8（）、（）】為圓周率，為自然對數(shù)的底數(shù). （）求函數(shù)的單調區(qū)間；（）求，這6個數(shù)中的最大數(shù)與最小數(shù). （）將，這6個數(shù)按從小到大的順序排列，并證明你的結論。（I）函數(shù)的定義域為，因為，所以，當，即時，函數(shù)單調遞增；當，即時，函數(shù)單調遞減；故函數(shù)的單調增區(qū)間為，單調減區(qū)間為.（II）因為，所以，即，于是根據(jù)函數(shù)、在定義域上單調遞增，所以，故這6個數(shù)的最大數(shù)在與之中，最小數(shù)在與之中，由及（I）的結論得，即，由得，所以，由得，所以，綜上，6個數(shù)中的最大數(shù)為，最小數(shù)為.（III）由（II）知，又由（II）知，故只