點線面之間的關(guān)系

1、點線面之間的關(guān)系一.選擇題（共8小題）1 .在正方體ABCD- AiBiGDi中，E為棱CD的中點，則（A. AiE± DCiB. AiE± BD C AiE± BC D. AiE± AC2 .在正方體 ABCD- AiBiGDi中，下列幾種說法正確的是（A. AiGXAD B. DiQXABC. ACi 與 DC成 45°角 D. AiCi 與 BiC成 60°角3 .設(shè)a、b是不同的直線，a、B是不同的平面，則下列四個命題中正確的是（A.若 a±b, a± a, b II oB.若 a/ a, a±

2、0, a± 0C.若 a± B, a± B,則 a/ oD.若 a±b, a± a, b± B,則 a± B4 .已知互不相等的直線l, m, n和平面a, & T,則下列命題正確的是（）A.若l與m為異面直線，l? a, m? &則a/ B；B.若 a/ B, l? a, m? B,則 l / m；C.若 aC B =J K Y =m aC Y =n l / Y,則 m / n;D.若 aX 0, pX y,則 all 就5 .在長方體ABCD- AiBiCiDi中，AB=BC=i AAi=73,則異面直線

3、ADi與DBi所成角的余弦值為（A.15C 二 D.二6 .已知直三棱柱 ABC- AiBiG中，/ABC=i20, AB=2, BC=CC=i ,則異面直線ABi與BG所成角的余弦值為（）A.- B.77 C. rD.-25537,直三棱柱ABC- AiBiG中，若/BAC=90, AB=AC=AA,貝U異面直線BA與AG所成的角等于（君IA. 30° B. 45° C. 60° D. 90 8.如圖，在下列四個正方體中，A, B為正方體的兩個頂點，M, N, Q為所在棱的中點，則在這四個正方體中，直線 AB與平面MNQ不平行的是（第2頁（共22頁）2 .填空題

4、（共4小題）9 .在三棱錐 P ABC 中，PA1底面 ABC, AC± BC, PA=AC=BC=2 貝U直線 PC 與 AB所成角的大小是 .10 .如圖所示，在棱長為2的正方體ABCD- AiBiCiDi中，點E、F分別為邊CG、 BiCi的中點，點G、H分別在AAi、D1A1上，且滿足 AAi=3AG, DiH=2HA,則異 面直線ER GH所成角的余弦值為 .11 .已知正四棱錐的體積為 i2,底面對角線長為2加，則側(cè)面與底面所成的二面角等于12 .如圖，正方形ABCD所在平面與正方形ABEF所在平面成60°的二面角，則異面直線AD與BF所成角的余弦值是3 .解答

5、題(共6小題)13.如圖所示，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，側(cè)棱PA垂直于底面,E, F, G分別是AB, PC, CD的中點.求證：(1) CD± PD;(2)平面EFG/平面PAD.14 .如圖，三角形ABC中，AC=BC返配，ABED是邊長為1的正方形，平面ABED -W，底面ABC,若G、F分別是EC BD的中點.(I)求證：GF/底面ABC(H)求證：AC平面EBC(m)求幾何體 ADEBC勺體積V.15 .如圖，已知PAa矩形ABCD所在平面，M、N分別是AB、PC的中點.(1)求證：MNXCD;(2)若/ PDA=45,求證：MN，平面 PCD16 .如圖

6、，在正三棱柱 ABC- A1B1G中，點D是AB中點，M是AAi上一點，且AM=tAAi.(1)求證：BC /平面ACD;(2)若3AB=2AA,當(dāng)t為何值時，&M，平面ACD?17 .如圖所示，PA1平面ABC,點C在以AB為直徑的。上，/ CBA=30, PA=AB=2 點E為線段PB的中點，點M在意上，且OM / AC.(I )求證：平面MOE/平面PAC(H)求證：平面 PACL平面PCB18 .如圖，在直三棱柱ABC- A1B1C1中，底面 ABC為等邊三角形，AB=4, AA1二5,點M是BBi中點(I )求證：平面 AiMCL平面AAiCiC (H)求點A到平面AiMC的

7、距離.第5頁(共22頁)點線面之間的關(guān)系參考答案與試題解析一.選擇題(共8小題)1 .在正方體ABCD- AiBiGDi中，E為棱CD的中點，則()A. AiE± DCi B. AiE± BD C AiE± BCD. AiE± AC【解答】解：法一：連BiC,由題意得BG±BiC,.AiBi,平面 BiBCG,且 BC?平面 BiBCG,AiBiXBQ,AiBinBiC=B, BCL平面 AiECB,AiE?平面 AiECB,. AiE± BC.故選：C.法二：以D為原點，DA為x軸，DC為y軸，DDi為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正

8、方體ABCD- AiBiCiDi中棱長為2,則 Ai (2, 0, 2), E (0, i, 0), B (2, 2, 0), D (0, 0, 0), G (0, 2, 2),A (2, 0, 0), C (0, 2, 0),不二(-2, i, -2),西二(0, 2, 2), BD= (-2, -2, 0),西二(-2, 0, 2), AC= (-2, 2, 0),不?布2,同。而=2, 不前=0, 不正=6,. AiE± BQ.故選：C.a42 .在正方體 ABCD- AiBiGDi中，下列幾種說法正確的是（A. AiG±AD B. DiQlABC. ACi 與 DC

9、成 45°角 D. A1C1 與 BiC成 60°角【解答】解：由題意畫出如下圖形：A.因為 AD / AiDi,所以/GAiDi即為異面直線AiCi與AD所成的角，而/ CiAiDi=45°,所以A錯；B,因為DiCi/CD,禾I平彳T公理4可以知道：AB/ CD/ CiDi,所以B錯；C .因為DC / AB .所以/ CiAB即為這兩異面直線所成的角，而 在中，所以 C錯；D,因為AiG/AC,所以/ BiCA即為異面直線AiCi與BiC所成的角，在正三角 形BiCA中，/BiCA=60,所以D正確.故選：D.3 .設(shè)a、b是不同的直線，a、B是不同的平面，

10、則下列四個命題中正確的是（A.若 a±b,a± a, b/oB.若 a/ a, a± 0, a±0C.若 a± B,a± B,則 a/oD.若 a±b, a± a, b± B,則a± B【解答】解：A中，b可能在a內(nèi)；B中，a可能在B內(nèi)，也可能與B平行或相交（不垂直）；C中，a可能在a內(nèi)；D 中，a±b, a± % 則 b? a或 b/ a,又 b± &. a± 0.故選：D.4 .已知互不相等的直線l, m, n和平面a, & T,則下列

11、命題正確的是（A.若l與m為異面直線，l? a, m? &則a/ B；B.若 all B, l? a, m? B,則 l / m；C.若 aC B =J K Y =m aC Y =n l / Y,則 m / n;D.若 aX 0, pX y,則 all 就【解答】解：在A中，若l與m為異面直線，l? a, m? B,則a與B相交或平 行，故A錯誤；在B中，若all P, l? a, m? B,則l與m平行或異面，故B錯誤；在C中，若aC B =J pn Y =m aA Y =n l / %則由線面平行的性質(zhì)定理得 m / n, 故C正確；在D中，若 n B,社則a與B相交或平行，故D錯

12、誤.故選：C.5.在長方體ABCD- AiBiCiDi中，AB=BC=1 AA1W3,則異面直線 ADi與DBi所成角的余弦值為（【解答】解：以D為原點，DA為x軸，DC為y軸，DDi為z軸，建立空間直角 坐標(biāo)系，.在長方體 ABCD- AiBiCiDi 中，AB=BC=iAAi=V3, A (i, 0, 0) , Di (0, 0,加)，D (0, 0, 0), Bi (i, i g)，西=(T, 0, V3),西=(i , i, V5),設(shè)異面直線ADi與DBi所成角為9,w I西西I 2煙貝U cos 0 =>. 一 -二,|ADj|DBil 2V5 5異面直線ADi與DBi所成角

13、的余弦值為 坐. 5故選：C.6.已知直三棱柱 ABC- A1B1C1中，/ABC=120, AB=2, BC=CQ1,則異面直線ABi與BG所成角的余弦值為（A.-B -J±C.".二53【解答】解：【解法一】如圖所示，設(shè)MN、P分別為AB, BB和BiCi的中點,則AB、BG夾角為MN和NP夾角或其補角（因異面直線所成角為（0,）, 2可知 MN=ABi=, 二 ，NPBG=; 22作BC中點Q,則4 PQM為直角三角形；PQ=1, MQ= AC, 2 ABC中，由余弦定理得A-aAbC：2 - 2AB?BC?coS ABC=4+1 - 2X2X1 X （ - y）二7

14、,acW,. mqH；2，在AMQP 中，MP=Mq，PQ2=4L!W第14頁（共22頁）在4PMN中，由余弦定理得cos/ MNP二P PT2MNNP又異面直線所成角的范圍是（0,工, 2AB,與BG所成角的余弦值為 逗.5【解法二】如圖所示,補成四棱柱ABCtD- A1B1C1D1,求/BGD即可；BG=阻,BD=/22+l-2X2Xixcos60 =,CiD=/5,BC/+bd2=CD， ./ DBC=90°, .cos/ BGD平=L故選：C.7,直三棱柱ABC A1B1G中，若/BAC=90, AB=AC=AA,貝U異面直線BA與AGA. 30° B. 45

15、76; C. 60° D. 90°【解答】解：延長CA到D,使得AD=AC則ADAiCi為平行四邊形，/DAiB就是異面直線BAi與AG所成的角，又 AiD=AB=DB=二AB,則三角形AiDB為等邊三角形，DAiB=60°故選：C.8.如圖，在下列四個正方體中，A, B為正方體的兩個頂點，M, N, Q為所在棱的中點，則在這四個正方體中，直線 AB與平面MNQ不平行的是（）A.B.D【解答】解：對于選項B,由于AB/ MQ,結(jié)合線面平行判定定理可知 B不滿足對于選項C,由于AB/ MQ,結(jié)合線面平行判定定理可知 C不滿足題意;對于選項D,由于AB/ NQ,結(jié)合線

16、面平行判定定理可知 D不滿足題意;所以選項A滿足題意,故選：A.2 .填空題（共4小題）9 .在三棱錐 P ABC 中，PA1底面 ABC, AC± BC, PA=AC=BC=2 貝U直線 PC 與AB所成角的大小是 60° .【解答】 解：取PA中點E, PB中點F, BC中點G,連接EF, FG, EG,.ER FG分另I是APAB zPBC的中位線EF/ AB, FG/ PC,因此，/ EFG （或其補角）就是異面直線 AB與PC所成的角.連接 AG,則 RtAACG中，AG習(xí)ac?+Cg2=娓，eg=/ea2+ag2=，又. AB=PC=2,EF=FG=2.222由

17、此可得，在 EFG中，cos/ EFG= F= - 12EF*FG 2結(jié)合/ EFG三角形內(nèi)角，可得/ EFG=120.綜上所述，可得異面直線 AB與PC所成角的大小為60。.故答案為：60°.10 .如圖所示，在棱長為2的正方體ABCA AiBiCiDi中，點E、F分別為邊CG、 BiCi的中點，點G、H分別在AAi、D1A1上，且滿足AAi=3AG, DiH=2HA,則異 面直線ER GH所成角的余弦值為_嬖_.D-G【解答】解：以D為原點，DA為x軸，DC為y軸，DDi為z軸，建立空間直角 坐標(biāo)系，由題意 E (0, 2, 1), F (1, 2, 2), G (2, 0, 1

18、), H (1,。, 2), 33EF= (1, 0, 1), GH= ( 1, 0, -1), Vw設(shè)異面直線ER GH所成角的為9,_2貝U cose一叵通=4.|BF|-|GH| 折楞 10異面直線ER GH所成角的余弦值為叵.1011 .已知正四棱錐的體積為 12,底面對角線長為2加，則側(cè)面與底面所成的二 面角等于 60:【解答】解：正四棱錐的體積為12,底面對角線的長為2班,底面邊長為2點, 底面積為12,所以正四棱錐的高為3,則側(cè)面與底面所成的二面角的正切tan a表, ;二面角等于60°,故答案為60012 .如圖，正方形ABCD所在平面與正方形ABEF所在平面成60&

19、#176;的二面角，則異 面直線AD與BF所成角的余弦值是 退 .4 【解答】解：由題意得，CB!AB, AB± BE.可得正方形 ABCD所在平面與正方形ABEF的二面角即/ CBE=60,同時也得AB，平面BCE即AB± CE,即三角形CEF為直角三角形和三角形CBE為等邊三角形;即是 EF，CE 設(shè) AB=1,貝U CE=1 CFV2, FB=/2,利用余弦定理，得cos/cbfJ.故異面直線AD與BF所成角的余弦值是 零.43 .解答題（共6小題）13.如圖所示，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，側(cè)棱PA垂直于底面,E, F, G分別是AB, PC CD的

20、中點.求證：(1) CD)± PD;(2)平面EFG/平面PAD.【解答】 證明：(1) .PAa底面ABCD - CD! PA,又矩形 ABCD中，CD±AD,且 ADA PA=A CD，平面 PAD,PD?平面 PAD, a CD± PD.(2)二.矩形 ABCD中，E、G分別是 AB、CD中點，. EG/ AD,v EG?平面 PAD, AD?平面 PAD,.EG/ 平面 PAD,.F是 PC中點，F(xiàn)G/ PD,v FG?平面 PAD, PD?平面 PAD,FG/ 平面 PAD,v EGA FG=G EG FG?平面 EFQ平面EFG/平面PAD14.如圖，

21、三角形ABC中，AC=BC華AB, ABED是邊長為1的正方形，平面ABED -W，底面ABC,若G、F分別是EC BD的中點.(I)求證：GF/底面ABC(H)求證：AC平面EBC(m)求幾何體 ADEBC勺體積V.【解答】解：（I）證法一：取BE的中點H,連接HF、GH,（如圖）C. G、F分別是EC和BD的中點HG/ BC, HF/ DE, （2 分）又.ADEB為正方形. DE/ AB,從而 HF/ AB .HF/面 ABC, HG/平面 ABC, HFA HG=H,平面HGF/平面ABC.GF/平面 ABC （5 分）證法二：取BC的中點M, AB的中點N連接GM、FN、MN（如圖）

22、C. G、F分別是EC和BD的中點GM# BE,且.:（2 分）NF# DM 且NF-DA u又ADEB為正方形. BE/ AD, BE=AD .GM/ NF 且 GM=NF . MNFG為平行四邊形GF/ MN ,又 MN?平面 ABC,.GF/平面 ABC （5 分）證法三：連接AE, ADEB為正方形， AEA BD=F 且 F是 AE 中點，（2 分）GF/ AC,又AC?平面ABC,.GF/平面 ABC （5 分）（H） ; ADEB 為正方形，. EB± AB,. GF/平面 ABC （5 分）又平面 ABEDLT面 ABC. BEX平面 ABC （7 分）BE! AC又

23、; cK+cBaB2 .AC, BC,BCn BE=BAC,平面 BCE （9 分）（m）連接 CN,因為 AC=BC CN±AB, （10 分）又平面 ABEDIN面 ABC CN?平面 ABC, CN,平面 ABED （11 分）三角形ABC是等腰直角三角形,ABy, （12 分）. C- ABED是四棱錐，Vc abed=-Sabed ©4 X 1 X卷” 114 分） -0O上 口15.如圖，已知PA1矩形ABCD所在平面，M、N分別是AB、PC的中點.第17頁（共22頁）(1)求證：MNXCD;(2)若/ PDA=45,求證：MN，平面 PCD【解答】證明：（1）

24、連接AC, BD,設(shè)ACABD=O,連接 NO, M0,則 NO/ PAPZ平面 ABCQ NO,平面 ABCQ NOXAB, MOXAB,AB±H MNOa MNXAB,而 CD/AB, .MN，CD,（6 分）（2） v Z PDA=45a PA=AD=BQ 由 PAMACMB,得 PM=CM,又 N為PC的中點, MNXPC又 MN LCD, PCn CD=C MN,平面PCD （12分）16 .如圖，在正三棱柱 ABC- A1B1G中，點D是AB中點，M是AAi上一點，且AM=tAAi.(1)求證：BC”平面ACD;(2)若3AB=2AA,當(dāng)t為何值時，BM，平面ACD?【解

25、答】解：(1)如圖1,取A1B1的中點E,連接BE, GE.在正三棱柱ABC- A1B1C1中，點D是AB中點，可得CD/ C1E 又因為 DB/ EA, DB=EA? BE/ DA.且 CDA DAi=D, BEA GE=E 面 EBC / 平面 ACD;V BC?面 EBC, BG?平面 ACD,BC / 平面 ACD圖1(2)由在正三棱柱 ABC- A1B1C1中，點D是AB中點，可得CD±面AA1B1B.? CD± B1M ,要使BM,平面AQD,只需DALMB即可，如下圖，當(dāng) DAMB 時， ADA1s A1MB1,_ AD AAi 一 _ _、一 一? 鐺二t甘，又3AB=2AA, DAB為中點A1Bl 5萬配 AR Til 7 4TAA i即當(dāng)t=!時，B1M,平面A£D. RL- 31122第19頁(共22頁)1