中考數(shù)學(xué)相似綜合經(jīng)典題含答案

1、-X相似真題與模擬題分類匯編（難題易錯(cuò)題）1. 在AABC 中，Z ABC=90o （1）如圖1，分別過(guò)A、C兩點(diǎn)作經(jīng)過(guò)點(diǎn)B的直線的垂線，垂足分別為IVK N,求證: ABM- BCN：(2) 如圖 2, P 是邊 BC 上一點(diǎn)，ZBAP=ZC, tanZ PAC= 5 ,求 tanC 的值：3 AD 2 " 二(3) 如圖 3, D 是邊 CA 延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，AE二AB, ZDEB二90°, SinZ BAC= <5 , AC 5、直接寫岀tanZ CEB的值.【答案】(1)解:.AMMN, CNdIVIN, Z AMB=Z BNC=90% Z BAM+Z ABM=

2、90% Z ABC=90o, Z ABM+Z CBN=90% Z BAM=Z CBN,T Z AMB=Z NBC, ABM-厶BCN（2）解：如圖2,過(guò)點(diǎn)P作PM丄AP交AC于M, PN丄AlvI于N圖2. Z BAP+Z I=Z CPM+Z l=90 Z BAP=Z CPM=Z C,MP=MCT tanZPN _ 252 MPAC頁(yè)一一喬一瓦設(shè) MN=2m,PN=rX,根據(jù)勾股立理得，PM=加= 3m = a PN y taC=5m5BC J(3)解：在 RtZiABC 中 SinZBAC=ME = J,過(guò)點(diǎn)A作AG丄BE于G,過(guò)點(diǎn)C作CH丄BE交EB的延長(zhǎng)線于H,T Z DEB=90o,

3、CHIl AGIl DE,GH _ AC 5Ig "元=2同(1)的方法得ZiABG-心BCHBG AC AB 4習(xí)一莎反_ 2,設(shè) BG=4m, CH=3m AG=4n, BH3rTAB二AE, AG丄BE,/. EG=BG=4m»/. GH=BG+BH=4m+3n 4m ÷ 3n 54m. n=2m,. EH=EG+GH=4m+4m+3n=8m+3n=8m+6m=14mCh 3在 Rt CEH 中，tanZ BEC= Eh = 14【解析】【分析】(1)根據(jù)垂直的左義得出ZAMB=Z BNC=900,根據(jù)同角的余角相等得 出Z BAM=Z CBNt利用兩個(gè)角對(duì)

4、應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似得出：ZiABM-ABCN:(2 )過(guò)點(diǎn)P作PF丄AP交AC于F,在PF 252v¾RJ (1)的方法得，, FQ=2b (a>0>Rt AFPtanZ PAC= 5AB= a, PQ=2a, BP=CQ _ FC五一亦從而表示出CQ,進(jìn)根據(jù)線段的和差表示出BC, ABP-心b>0),中根拯正切函數(shù)的泄義，由 BP AP yPQF,故帀 FQPF 丁,設(shè)然后判斷出AABp-ACQF,得再判斷出厶ABP- CBA,得出AS _ BF,得出BC,從而列出方程，表示出BC,AB,在Rt ABC中，根據(jù)正切函數(shù)的泄義 得出tanC的值；BC _ 3（3

5、）在Rt ABC中，利用正弦函數(shù)的定義得出：SinZBAC=M 3,過(guò)點(diǎn)A作AG丄BE于 G,過(guò)點(diǎn)C作CH丄BE交EB的延長(zhǎng)線于H,根據(jù)平行線分線段成比例泄理得出 GHAC _ 5BGACAB _ 4EGAD 2,同（1）的方法得，aABG BCH ,椒CHBHBC 3,設(shè) BG=4m,CH=3m , AG=4n , BH=3n ,根據(jù)等腰三角形的三線合一得出EG=BG=4m ,故 GH=BG+BH=4m+3n ,根據(jù)比例式列出方程，求解得出n與m的關(guān)系，進(jìn)而得岀 EH=EG+GH=4m+4m+3n=8m+3n=8m+6m=14m ,在 Rt CEH 中根據(jù)正切函 數(shù)的定 義得岀 tanz B

6、EC 的值。2. 如圖，AABC是一銳角三角形余料，邊BC=16cm,髙AD=24cm,要加工成矩形零件， 使矩形的一邊在BC上，其余兩個(gè)頂點(diǎn)E、F分別在AB、AC ±.EHDG C求：（1）AK為何值時(shí)，矩形EFGH是正方形？（2）若設(shè)AK=x, Sefgh=Y,試寫岀y與X的函數(shù)解析式（3）X為何值時(shí),SEFGH達(dá)到最大值.【答案】（2）解：設(shè)邊長(zhǎng)為Xcm.V矩形為正方形，BC = A B,. EHll AD, EFIl BC,根據(jù)平行線的性質(zhì)可以得岀：AL=Ab由題意知 EH=x, AD=24, BC=16, EF=×,X BE X AE 即 24=AB, J6=AB

7、9BE+AE=AB,X X BE AE ：.24-V J6 = AbAb- 解得X= 5 ,72AK= 5 ,_ 72：.當(dāng)AK '1時(shí)，矩形EFGH為正方形(2)解：設(shè) AK=x, EH=24-x,. EHGF為矩形，Eb AK2BC=AL ,即 EF= <5>2 2二 Sefgh=Y= S (24-×) =- <5×若AABD竺、BFO.求BQ的長(zhǎng)： 求證：FQ=BQ【答案】(1)解：. AABb里BFG ,1AD = OB=B = I. DPfDA均為半圓切線，.DA=DP = I+16x (0<x<24)(3)解：y=-<

8、5x2+16×2配方得：y= 3 (-12) 2+96>當(dāng)X=I2時(shí)，SEFGH有最大值96【解析】【分析】(1)設(shè)出邊長(zhǎng)為XCm,由正方形的性質(zhì)得岀，EHll AD, EFIIBC,根據(jù) 平行線的性質(zhì)，可以得對(duì)應(yīng)線段成比例，代入相關(guān)數(shù)據(jù)求解即可。(2) 設(shè)AK=x,則EH=16-x,根據(jù)平行的兩三角形相似，再根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊上的髙 之比等于相似比，用含X的代數(shù)式表示出EF的長(zhǎng)，根據(jù)矩形而積公式即可得出y與X的函 數(shù)解析式。(3) 將(2)中的函數(shù)解析式轉(zhuǎn)化為頂點(diǎn)式，利用二次函數(shù)的性質(zhì)可得出矩形EFGH的而 積取最大值時(shí)的X的值。3. 如圖，AB是半圓O的直徑，AB=2,

9、射線AM. BN為半圓O的切線在AM上取一點(diǎn) D,連接BD交半圓于點(diǎn)C,連接AC.過(guò)O點(diǎn)作BC的垂線OE,垂足為點(diǎn)E,與BN相交于點(diǎn) F過(guò)D點(diǎn)作半圓O的切線DP,切點(diǎn)為P,與BN相交于點(diǎn)Q連接化則 OP = OA - DA 二 DF、四邊形勿以為菱形， DQIl AB ,.月必胡均為半圓切線，. DA H Qb ,四邊形加為平行四邊形BQ =AD = I ,(2)證明：易得 ABD BFC.BF ABOB = AD ,加是半圓的切線，. AD=DPf( = QF . 過(guò)Q點(diǎn)作QK丄曲于點(diǎn)K ,則 QK=AB= 2 uRtDQK tDK(AD + BQ)2 = (AD- BQ)2 十廬 9 解得

10、:2FQ 二 BF _ BQ 二一ADFQ = BC【解析】【分析】（I）連接0£由厶ABD竺ABFO可得AD二0B,由切線長(zhǎng)左理可得AD二DP, 于是易得OP=OA=DA=DP,根據(jù)菱形的判泄可得四邊形DAOP為菱形，則可得DQll AB.易 得四邊形DABQ為平行四邊形，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可求解：BF _ Ab（2）過(guò)Q點(diǎn)作QK丄AM于點(diǎn)K,由已知易證得AABD-ABFo,可得比例式加 AS可得 BF與AD的關(guān)系，由切線長(zhǎng)圧理可得AD=DRQB=QP ,解直角三角形DQK可求得BQ與AD 的關(guān)系，則根據(jù)FQ=BF-BQ可得FQ與AD的關(guān)系，從而結(jié)論得證。4. 如圖，已知拋物線y

11、= - ×2+b×÷c交y軸于點(diǎn)A （0,4）,交X軸于點(diǎn)B （4,0）,點(diǎn)P 是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作X軸的垂線PQ，過(guò)點(diǎn)A作AQ丄PQ于點(diǎn)Q,連接AP.（1）填空：拋物線的解析式為,點(diǎn)C的坐標(biāo):（2）點(diǎn)P在拋物線上運(yùn)動(dòng)，若厶AQP- AOC,求點(diǎn)P的坐標(biāo).【答案】（i） Y= x2+3×÷4:（ 1,0）OC I（2）解：T點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0, 4）,點(diǎn)C的坐標(biāo)為（一 1, 0） , . OA 4. T點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m, . P （m>- m2÷3m+4）當(dāng)點(diǎn)P在直線AQ卜方時(shí)，QP=4 （ - m2÷3m+4）

12、= m2-3m,QP OC nr - 3m 1二 由AAQPAOC 得：AQ OAy RP： In 4,13）2 二山1 = C （舍去）或 41351m -當(dāng) 彳時(shí)，-m2+3m÷4= 1613 51此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（萬(wàn)云）：當(dāng)點(diǎn)P在直線AQ上方時(shí)，PQ= - m2+3m+4-4= - m2+3m,QP OC3n 1二 =由AAQp-DAOC 得：AQ 0A, Rj m4,1111 75：.皿1 =0 （舍去）或她=4 ,此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為（49 "）13 5111 75綜上所述：點(diǎn)P的坐標(biāo)為（石'云）或（T去）.【解析】【解答】解：（1）T拋物線y =-2+bx+c

13、交y軸于點(diǎn)A （0, 4）,交X軸于點(diǎn) B （4, 0）, c = 4P 二 3'- 16 + 4b + c二O ,解得：5二4、：.拋物線的解析式為：y= - x2 + 3x+4.令y=0,得：-x2 + 3x+4=0.解得：x=4或×=-l, A點(diǎn)C的坐標(biāo)為（一1, 0）【分析】（I）根據(jù)題意，將AzB兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入到解析式中，分別求出b, c可以求岀 拋物線的解析式：（2） C為X軸上的交點(diǎn)，令y=0,通過(guò)解一元二次方程，解得C點(diǎn)坐標(biāo)。5. 如圖，AABC內(nèi)接于C）O,且AB=AC.延長(zhǎng)BC到點(diǎn)D,使CD = CA,連接AD交C）O于點(diǎn)E.(2)填空： 當(dāng)Z ABC的度

14、數(shù)為時(shí)，四邊形AOCE是菱形： 若AE = 6, BE=8,則EF的長(zhǎng)為【答案】(1)證明:VAB=AC, CD=CA, AZABC=Z ACB, AB=CD. T四邊形ABCE是圓內(nèi)接四邊形,/. Z ECD=Z BAE, Z CED=Z ABC. . Z ABC=Z ACB=Z AEB, Z CED=Z AEB, ：* ABE旻厶 CDE (AAS)£（2） 60： 2【解析】【解答】解：（2）當(dāng)ZABC的度數(shù)為60。時(shí)，四邊形AOCE是菱形; 理由是：連接AO、OC.T四邊形ABCE是圓內(nèi)接四邊形,AZABC+ZAEC=180o.TZABC=60, /. Z AEC=I20o=

15、Z AOC. OA=OC, Z OAC=Z OCA=30o T AB=AGA ABC是等邊三角形,AZACB=60o.T Z ACB=Z CAD÷Z D. AC=CD, . Z CAD=Z D=30% /. Z ACE=I80o - 120o - 30o=30% . Z OAE=Z OCE=60 .四 邊形AOCE是平行四邊形. OA=OC,rAOCE是菱形；由（1）得： ABE 厶 CDEt /. BE=DE=8, AE=CE=6, . Z D=Z EBC.ECCF 6 T Z CED=Z ABC=Z ACB, /.心 ECD-卜 CFB, ：. ED BC=S.ZAFE=Z BF

16、C, Z AEB=Z FCB,二 AEF- BCF, EF CF 八刃=6 , . EF= 8 =故答案為：60。：N【分析】（1）由題意易證Z ABC=Z ACB , AB=CD ；再由四點(diǎn)共圓和已證可得Z ABC=Z ACB=Z AEB Z CED=Z AEB,則利用 AAS 可證得結(jié)論：（2）連接AO、CO.憲政AABC是等邊三角形，再證明四邊形AOCE是平行四邊形，又 AO=CO可得結(jié)論；先證AECD-ACFb,可得 EC： ED=CF: BC=6:8：再證 AEF-厶 BCF,貝IJ AE： EF=BC: CF,從而求岀ER6. 已知：如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，AABC是直角三角形，

17、Z ACB=SO點(diǎn)A , C的坐標(biāo)分別為 A （ - 3, O） , C （1 O） , BC= 4qc.AO-C5（1）在X軸上找一點(diǎn)D ,連接DB ,使得"DB與AMC相似（不包括全等），并求點(diǎn) D的坐標(biāo)：（2）在CL）的條件下，如P , Q分別是M和AD上的動(dòng)點(diǎn)，連接PQ ,設(shè)AP=DQ m ,問(wèn)是否存在這樣的m ,使得MPQ與AADB相似？如存在，請(qǐng)求出m的值；如不存 在，請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】（1）解：如圖1,過(guò)點(diǎn)B作BD丄AB 交X軸于點(diǎn)D , ABC- ADB , Z ABC= ADB , 且Z ACB = A BCD=90°, ABC- BDC ,AC _ B

18、C反一方&(- 3, 0) , C (1, 0),.AC=4,3BC= AC. BC=3,. AB= VAC? ÷ Bc = y9 + 16 =5,AC _ BC反一 N4 3：.汀N9CD= 4,925：.AD=ACCD= 4 ,13 OD=AD - AO= 4 ,13點(diǎn)D的坐標(biāo)為：(, 0)；(2)解:如圖 2,當(dāng)Z APC= ABD=W時(shí), APQ- ' ABD tAPAQ二ABAD,25-Him4525425：.m= 9 ,如圖 3,當(dāng)Z AQP=Z ABD=W時(shí), APQ- A ADB ,AP _ A AD AB ,2525125.m= 36 ；25_ 25

19、125綜上所述：當(dāng)m= 9或時(shí)，'APQ與ZkADB相似.【解析】【分析】（1）如圖1，過(guò)點(diǎn)B作BDrAB ,交X軸于點(diǎn)D ,可證AC _ BC ABC- ADB , 可得Z ABC=A ADB , 可證 ABCS BDC , 可得 BC CL,可求 CD 的長(zhǎng)，即可求點(diǎn)D坐標(biāo)：（2）分兩種情況討論，由相似三角形的性質(zhì)可求解7. 如圖，二次函數(shù)y = a（d - 2mx - 3f）（其中a, m是常數(shù)，且a>0, m>0）的圖象與X軸分別交于點(diǎn)A, B （點(diǎn)A位于點(diǎn)B的左側(cè)）,與y軸交于點(diǎn)C（O, 3）,點(diǎn)D在二次函數(shù)的圖象上，CDIl AB,連接AD.過(guò)點(diǎn)A作射線AE交二

20、次函數(shù)的圖象于點(diǎn)E, AB平分Z DAE.（2）求證：肛為左值；（3）設(shè)該二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)為F.探索：在X軸的負(fù)半軸上是否存在點(diǎn)G,連接CF,以線 段GF、AD、AE的長(zhǎng)度為三邊長(zhǎng)的三角形是直角三角形？如果存在，只要找出一個(gè)滿足要 求的點(diǎn)G即可，并用含m的代數(shù)式表示該點(diǎn)的橫坐標(biāo)：如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.13 二 【答案】（1）解：將C （0, -3）代入函數(shù)表達(dá)式得，a（0 - 3） = - 3t ：.（2）證明：如答圖2,過(guò)點(diǎn)D、E分別作X軸的垂線，垂足為M、N.答團(tuán)1由玄滬-2mX - 31Ir)二 G解得 X1=-m> ×2=3m. A(-m, 0), B(3m, 0)

21、.CDIlAB,點(diǎn)D的坐標(biāo)為(2m, -3)AB 平分Z DAE./. Z DAM=Z EAN.AD AM Dh=二 Z DMA=Z ENA=900 , /. ADM-厶 AENz . AE AN EN.(x2 - 2mx _ 3m2)設(shè)點(diǎn)E的坐標(biāo)為(x,z),3mX - ( - m)t. x=4m.AD _ AM _ 3m _ 3一 7為定值（3）解：存在，如答圖乙連接FC并延長(zhǎng)，與X軸負(fù)半軸的交點(diǎn)即為所求點(diǎn)G.答圖2由題意得：二次函數(shù)圖像頂點(diǎn)F的坐標(biāo)為（m, -4）,過(guò)點(diǎn)F作FH丄X軸于點(diǎn)Ht在 Rt CGO 和 Rt FGH 中，OCHF OCHbTtanZCGO= ztanZ FGH=

22、Hs . OGHG . 0G=,3m;+ MD -9f + 9 = 3 ÷ 1GF 4：.DAD 3 二由（2）得，AE 5 t .AD ： GF ： AE=3 ： 4 ： 5.以線段GF、AD、AE的長(zhǎng)度為三邊長(zhǎng)的三角形是直角三角形，此時(shí)點(diǎn)G的橫坐標(biāo)為一3m. 【解析】【分析】1）將C點(diǎn)代入函數(shù)解析式即可求得.（2）令y=0求A、B的坐標(biāo)，再根ALAk據(jù)，CDIIAB.求點(diǎn)D的坐標(biāo)，由ZkADM-AAEN應(yīng)邊成比例，將求必的比轉(zhuǎn)化成求由勾股定理得，GF= QGff +臚二 16Ilf 16 = 1, AD=比，結(jié)果不含m即為泄值.(3)連接FC并延長(zhǎng)，與X軸負(fù)半軸的交點(diǎn)即為所求點(diǎn)G

23、過(guò)點(diǎn) F作FH丄X軸于點(diǎn)H,在Rt CGO和Rt FGH中根據(jù)同角的同一個(gè)三角函數(shù)相等，可求OGAb (用m表示),然后利用勾股泄理求GF和AD (用m表示)，并求其比值，由(2) Al 是左值，所以可得AD ： GF ： AE=3 : 4 : 5,由此可根據(jù)勾股泄理逆定理判斷以線段GF、 AD、AE的長(zhǎng)度為三邊長(zhǎng)的三角形是直角三角形，直接得點(diǎn)G的橫坐標(biāo).4&如圖，已知一次函數(shù)y= - 3x÷4的圖象是直線I,設(shè)直線I分別與y軸、X軸交于點(diǎn)A、(1) 求線段AB的長(zhǎng)度：(2) 設(shè)點(diǎn)M在射線AB上，將點(diǎn)M繞點(diǎn)A按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90。到點(diǎn)N,以點(diǎn)N為圓 心，NA的長(zhǎng)為半徑作C)

24、N. 當(dāng)C)N與X軸相切時(shí)，求點(diǎn)M的坐標(biāo)： 在的條件下，設(shè)直線AN與X軸交于點(diǎn)C,與C)N的另一個(gè)交點(diǎn)為D,連接MD交X 軸于點(diǎn)E,直線m過(guò)點(diǎn)N分別與y軸、直線I交于點(diǎn)P、Q,當(dāng)AAPQ與 CDE相似時(shí)，求 點(diǎn)P的坐標(biāo).【答案】(1)解：當(dāng)x=0時(shí)，y=4, A (0, 4),OA二4,4當(dāng) y=0 時(shí)，-J+4=0,×=3, B (3, 0),OB=3,由勾股左理得：AB=5(2)解：如圖X過(guò)N作NH丄y軸于H,過(guò)M作ME丄y軸于E," 二tanz OAB= OA AE 4 ,：.設(shè) EM=3×t AE=4x,則 AM=5x, M (3x -4×+4)

25、,由旋轉(zhuǎn)得：AM=AN, Z MAN=90% Z EAM+Z HAN=90%T Z EAM+Z AME=90o, Z HAN=Z AME, Z AHN=Z AEM=90% AHN旻厶MEA,/. AH=EM=3×,. ON與X軸相切，設(shè)切點(diǎn)為G,連接NG,則NG丄X軸, NG=OH,貝IJ 5x=3x+4,2×=4,x=2, M (6, -4):如圖2,由知N (8, 10), D (16, 16),設(shè)直線 DM： y=kx+b>把D (16, 16)和M (6,4)代入得:+ b=16 b= _ 4,解得：Ib= - 16,.直線DM的解析式為：y=2x-16,直線

26、DM交X軸于E,當(dāng) y二O 時(shí)，2×-16=0,x=8, E (& 0),由知：C)N與X軸相切，切點(diǎn)為G,且G (8, 0),. E與切點(diǎn)G重合， Z QAP=Z OAB=Z DCE APQ CDE相似時(shí),頂點(diǎn)C必與頂點(diǎn)A對(duì)應(yīng), 分兩種情況：i)當(dāng)ZkDCE-AQAP 時(shí)，如圖 2, ZAQP=Z NDE,T Z QNA=Z DNF, Z NFD=Z QAN=90o,. AOIl NE, AeO NCE,AO _CC NECB t4 _ CO. I(TCO 6,16：.CO= 3 ,連接BN, AB=BE=5 >. Z BAN=Z BEN=90 Z ANB=Z ENB

27、,T EN=ND, Z NDE=Z NED, Z CNE=Z NDE+Z NED, Z ANB=Z NDE, BNIl DE,Rt ABN 中，BN=< + 孑=忒，ABJVFSinZ ANB=Z NDE= BN DN,5 _冊(cè). 55 云，NF=2. DF=4 9 Z QNA=Z DNF,DF _仏.a. tanZ QNA=tanZ DNF= NF A 945 AC：.7o,：.AQ=20,3 Qh二T tanZ QAH=tanZ OAB= J Ah , 設(shè) QH=3x, AH=4x,則 AQ=5×, . 5x=20x=4,/. QH=3x=12 AH=I6, Q (-12,

28、 20),1同理易得：直線NQ的解析式：y=-2+14, P (0, 14):ii)當(dāng)厶DCE- PAQ時(shí)，如圖3,11ZZcO/!(E)/ *7圖3 'D Z APN=Z CDE Z ANB=Z CDE,/ APIl NG, Z APN=Z PNE, Z APN=Z PNE=Z ANB,B與Q重合，. AN=AP=IOt. OP=AP-OA=I0-4=6. P （0, -6）:綜上所述，AAPQ與ACDE相似時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)的坐標(biāo)（0, 14）或（0,-6）【解析】【分析】（1）由一次函數(shù)解析式容易求得A、B的坐標(biāo)，利用勾股定理可求得ABOB _ EM _ 3的長(zhǎng)度；（2）根據(jù)同角的三

29、角函數(shù)得：tanZ0AB=習(xí)旋一 7 ,設(shè)EM=3×, AE=4×,則 AM=5x> 得 M （3x, -4x+4）,證明 AHN更厶 MEA.貝IJ AH=EM=3x,根據(jù) NG=OH,列式可 得X的值，計(jì)算M的坐標(biāo)即可：如圖2,先計(jì)算E與G重合，易得Z QAP=Z OAB=Z DCE,所以ZiAPQ與 CDE相似時(shí)， 頂點(diǎn)C必與頂點(diǎn)A對(duì)應(yīng)，可分兩種情況進(jìn)行討論：16i）當(dāng)厶DCE4 QAP時(shí)，證明ZkACO- A NCE,列比例式可得CO= 3 ,根拯三角函數(shù)得：DFAL3 QhZ 二 tanZ QNA=tanZ DNF= 加，AQ=20,貝IJ tanZ ClA

30、H=taZ OAB= 4 Ah t 設(shè) QH=3x, AH=4x,則 AQ=5x,求出 X 的值，得 P （0. 14）:ii）當(dāng)ZiDCE-APAQ時(shí)，如圖3,先證明B與Q重合，由AN=AP可得P （0,6） 9.如圖.在矩形ABCD中，AB=4, BC = 3,點(diǎn)P是邊AB ±的一動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)DP.（1若將ADAP沿DP折疊，點(diǎn)A落在矩形的對(duì)角線上點(diǎn)/V處，試求AP的長(zhǎng)；（2）點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到某一時(shí)刻，過(guò)點(diǎn)P作直線PE交BC于點(diǎn)E,將厶DAP與厶PBE分別沿DP 與PE折疊，點(diǎn)A與點(diǎn)B分別落在點(diǎn)A B，處，若P, A, B，三點(diǎn)恰好在同一直線上，且 AzBz = 2,試求此時(shí)AP的長(zhǎng)；（

31、3）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到邊AB的中點(diǎn)處時(shí)，過(guò)點(diǎn)P作直線PG交BC于點(diǎn)G,將厶DAP與厶PBG 分別沿DP與PG折疊，點(diǎn)A與點(diǎn)B重合于點(diǎn)F處，連結(jié)CF,請(qǐng)求出CF的長(zhǎng).【答案】（1）解:當(dāng)點(diǎn)A落在對(duì)角線BD上時(shí)，設(shè)AP=PAz=X,在 Rt ADB 中，.AB=4, AD = 3, A BD= =5,.AB = DA' = 3, .BA' = 2,S在 Rt BPAf中，(4-) 2=×2+22 ,解得 X=三，JAP=Z當(dāng)點(diǎn)A落在對(duì)角線AC上時(shí)，圖2由翻折性質(zhì)可知：PD丄AC,則有 DAP- ABCtAD ABAD BC 3 X 39. AP = BCt /.AP= AB =

32、4= 4.設(shè) BG = FG=x,在 Rt GCD 中，(x+3) 2=42+ (3 - x)4135 解心 X= 3，. DG = DF+FG= 3 , CG = BC BG= 3 9 FH3FH DH DF 5 DH13'：FHIl CG, . C6 = DC = D6, . 3 = 4 = 3 ,15363616.,.FH= 9 DH= Ij, .,. CH =4 - JJ= /J ,I廳+宵畫在 Rt CFH 中，CF= 13 = 13【解析】【分析】（1）分兩種情形：當(dāng)點(diǎn)A落在對(duì)角線BD上時(shí)，設(shè)AP=PAX,構(gòu)建 方程即可解決問(wèn)題；當(dāng)點(diǎn)A落在對(duì)角線AC上時(shí)，利用相似三角形的性

33、質(zhì)構(gòu)建方程即可 解決問(wèn)題；（2）分兩種情形分別求解即可解決問(wèn)題：（3）如圖5中，作FH丄CD由H想 辦法求出FH、CH即可解決問(wèn)題10已知二次函數(shù)y=x2+bx+3的圖象分別與X軸交于點(diǎn)A （3, O） , C （-1, 0） 與y軸 交于點(diǎn)B 點(diǎn)D為二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)（1）如圖所示，求此二次函數(shù)的關(guān)系式：（2）如圖所示，在X軸上取一動(dòng)點(diǎn)P （m , 0）,且l<m<3,過(guò)點(diǎn)P作X軸的垂線分 別交二次函數(shù)圖象、線段AD , AB于點(diǎn)Q、F , E ,求證：EF=EP;返（3）在圖中，若R為y軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接朋，則i BR+AR的最小值（直接寫出結(jié)果）.【答案】（1）解：將 A

34、（3, 0） , C （1 0）代入 y=ax2+bx+3,得：9a + 3b 十 3 = GP= - 1 & - b + 3 = 0 ,解得：i b = 2 .此二次函數(shù)的關(guān)系式為y=-x2+2x+3 (2)證明:/y=-x2+2×+3=- (X-I) 2+4>.點(diǎn)D的坐標(biāo)為(1, 4).設(shè)線段AB所在直線的函數(shù)關(guān)系式為y=kx+c (k0),將 A (3, 0) , C (0, 3)代入 y=k×+c,得：3k + c = GK=-I'c = 3,解得：l c = 3 ,：.線段AB所在直線的函數(shù)關(guān)系式為y=-x+3.同理，可得出：線段AD所在宜線

35、的函數(shù)關(guān)系式為y=-2x+6./點(diǎn)P的坐標(biāo)為（m, 0）,點(diǎn)E的坐標(biāo)為（m, -m+3 ）,點(diǎn)F的坐標(biāo)為（m, -2m+6）,. EP=-m+3> EF=-m+3, EF=EP.616（3）5【解析】【解答】解（3）如圖，連接BC,過(guò)點(diǎn)R作RQ丄BG垂足為Q. OC=I, OB二3,. BC=V帀.（勾股泄理）. Z CBO=Z CB0, ZBOOZBQR二90°, BQR心AOB,BR QhBR_ _ Qh：.BCCf 410 Iflb：.RQ= 10 BR,ylb AR+ 10 BR=AR+RQ,返.當(dāng)A, R, Q共線且垂直AB時(shí)，即AR+ 10 BR=AQ時(shí)，其值最小.

36、 Z ACQ=Z BC0, Z BOC=Z AQC, CQAS COB,AQ _ AC _ 丄Bo 花,即37Z616：.AQ= 5 ,ylb6 10：.10 BR+CR的最小值為5616故答案為：占.【分析】（2）根據(jù)A, C點(diǎn)的坐標(biāo)，利用待能系數(shù)法可求岀二次函數(shù)的關(guān)系式；（2）利 用待左系數(shù)法求出線段AB, AD所在直線的函數(shù)關(guān)系式，用m表示EF, EP的長(zhǎng)，可證得 結(jié)論：（3）連接BC,過(guò)點(diǎn)R作RQ丄BC,垂足為Q貝IJ BQRS AOB,利用相似三角形1的性質(zhì)可得出RQ=Z' BR,結(jié)合點(diǎn)到直線之間垂直線段最短可得出當(dāng)A, R, Q共線且垂直 yflbAB 時(shí)，即 AR+ 10

37、 BR=AQ 時(shí)，其值最小，由 Z ACQ=Z BCO , Z BOC=Z AQC 可得出 CQA- COB,利用相似三角形的性質(zhì)可求出AQ的值，此題得解.若一個(gè)三角形一條邊的平方等于另兩條邊的乘積，我們把這個(gè)三角形叫做比例三角 形.請(qǐng)直接寫出所有滿足條件的AC的長(zhǎng)；（2）如圖1,在四邊形ABCD中.ADIl BC,對(duì)角線BD平分ZABC, ZBAC=Z ADC.求 證： ABC是比例三角形：BL（3）如圖2,在（2）的條件下，當(dāng)ZADC=90。時(shí)，求應(yīng)的值。49【答案】（I）E或2或（2）證明：T ADll BC, Z ACB =Z CAD, 又T Z BAC=Z ADCt ABo心DCA,

38、BC CA刁二益，即 CA2=BC-AD > 又ADIl BCt . Z ADB=Z CBD,T BD 平分Z ABC,. Z ABD=Z CBD,.,.Z ADB=Z ABD, AB二AD. CA2=BC-AB, ABC是比例三角形(3)解：如圖，過(guò)點(diǎn)A作AH丄BD于點(diǎn)H, AB=ADz1 BH=纟 BD,/. ADIl BC, ZADC=90°, Z BHA=Z BCD二90：又T Z ABH=Z DBCz ABH DBCzAb Bh：.：.AB BC=DB BHz1 AB-BC= BD2,又T AB-BC=AC2,1BD2=AC2,BD疋也【解析】【解答】解：(1).已知

39、AABC是比例三角形，依題可得:當(dāng) AB2=BC-AC 時(shí)，TAB二2, BC=3. 4=3AC,4：.AC= 3 ：(J)CB2=AB-AC.T AB二2, BC=3. 9=2AC,£AC= 2 ；(S)AC2=BC-AB,TAB二2, BC=3. AC2=2×3,AC=4§綜上所述：AC的長(zhǎng)為：&或彳或7塔【分析】（1）由比例三角形的泄義分三種情況討論：當(dāng)AB當(dāng)P與O重合時(shí)（如圖2所示），設(shè)點(diǎn)C是AO的中點(diǎn)，連接BC.求證：四邊形 OCBM是正方形：Ab Ob 請(qǐng)利用如圖2所示的情形，求證：瓦=藥： 若AO=2氏 且當(dāng)M0=2P0時(shí)，請(qǐng)直接寫出AB和P

40、B的長(zhǎng).【答案】（1）解:V2BM=A0, 2C0=A0 BM=CO>. AOIl BM,.四邊形OCBM是平行四邊形，T Z BMO=90 PCBM是矩形，/ Z ABP=90% C 是 AO 的中點(diǎn)， OC=BC,.矩形OCBM是正方形（2）解：連接 AP. OB,=BC-AC時(shí)，CB2=AB-AC, AC2=BC-AB,代入CB、AB的數(shù)值分別求得AC長(zhǎng).（2）根據(jù)平行線的性質(zhì)和相似三角形的判泄得AABC- ADCA,由相似三角形的性質(zhì)得 CA2=BC-AD:根據(jù)平行線的性質(zhì)和角平分線的泄義得ZADB=Z ABD,根據(jù)等腰三角形等角對(duì) 等邊得AB=AD,將此代入上式即可得證.1（3）如圖，過(guò)點(diǎn)A作AH丄BD于點(diǎn)H,根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)可知BH=BD,由相1似三角形的判宦和性質(zhì)得AB-BC=DB-BHz即ABBC=2BDm聯(lián)立（1）中的結(jié)論即可得出答案.12已知：A、B兩點(diǎn)在直線I的同一側(cè)，線段AO, BM均是直線I的垂線段，且BM在AO 的右邊，A0=2BM,將BM沿直線I向右平移，在