空間觀念培養(yǎng)再思考

1、空間觀念培養(yǎng)再思考 無錫市第六高級中學 盧笛空間觀念是指對物體和幾何圖形的形狀、大小、位置關系及其變化的直覺觀念，能幫助學生由實物形狀想象出立體圖形，再由立體圖形想象實物的形狀，它是人們認識和描述生活空間并進行交流的重要工具。在教學中，指導學生感知身邊實物的立體圖形，在觀察、比較、想象中建立空間和平面的內在聯(lián)系，培養(yǎng)學生的空間觀念能使他們更好地認識、理解生活空間。空間觀念是幾何課程改革的一個課程核心的概念,那么在立體幾何的教學中應如何培養(yǎng)學生的空間觀念呢？筆者思考如下，供參考。一、思維方式要突破平面幾何幾何教學是從平面幾何開始的，教學中注重學生由二維和三維圖形的轉換，突破學生對平面幾何的思維方

2、式，發(fā)展學生的空間想象能力。通過將平面圖形進行折疊、投影、平移、旋轉等方式轉化為立體圖形，讓學生通過有針對性的練習，進行研究、討論、想象，切實地來感受體驗的過程，只有讓學生充分的體驗到位了，學生的空間觀念才能落實在具體練習中。例1 如圖1，在RtABC中，C=90°，BC=3，AC=6，D，E分別是AC，AB上的點，且DEBC，DE=2，將ADE沿DE折起到A1DE的位置，使A1CCD,如圖2.（1）求證：A1C平面BCDE；來源:（2）若M是A1D的中點，求CM與平面A1BE所成角的大?。唬?）線段BC上是否存在點P，使平面A1DP與平面A1BE垂直？說明理由解：（1），平面，又平

3、面，又，平面（2）如圖建系，則，,設平面法向量為則又與平面所成角的大小為（3）設線段上存在點，設點坐標為，則則，設平面法向量為則假設平面與平面垂直，則，不存在線段上存在點，使平面與平面垂直點評：“折疊”就是把平面圖形通過翻折變成立體圖形，它是高考?？嫉臒狳c題型。解決這類問題的關健是要正確利用好折疊前后的兩種圖形，準確找出其中的變化量和不變量二、能夠充分借助實物圖形的直觀性初學立體幾何時，學生可以使用桌面、手掌、鉛筆等代替平面和直線進行一些空間位置關系的模擬，將要學的東西直觀地創(chuàng)造出來，與生活中的事物圖形相聯(lián)系，學生共同參與、合作交流，引導學生主動動手來“畫一畫”、“量一量”、“折一折”、“擺一

4、擺”，鼓勵學生大膽地動手去做，發(fā)揮自身的主觀能動性，讓學生親身實踐，在測量、觀察和動手操作中，積累一些對空間的直觀觀念，幫助學生由實物幾何向幾何圖形過渡，逐步形成幾何形體的空間表象，進而彌補空間想象力的不足。例2 對于平面和異面直線，下列命題中為真命題的是 A存在平面，使， B存在平面，使，C存在平面，滿足，D存在平面，滿足，解析 本題雖然只是一個選擇題，但對空間想象力的要求是很高的。本題難點在C、D選項的判斷如果存在平面，使m，n，則直線m，n平行，即兩直線m，n不是異面直線，故A不成立如果存在平面，使m，n，則m，n就不是異面直線了故B不成立；如果存在平面，滿足m，n，將直線m，n平移到一

5、個平面上時，要求直線m，n互相垂直，而已知兩直線m，n是任意異面直線，故C不成立存在平面，滿足m，n，故D成立點評：教學中，同學們要充分運用身邊的實物展示空間幾何體，在頭腦中有定性思維的過程，平常的練習中，要多用眼看，多動手畫，多用腦推，盡可能用圖形來刻畫和描述問題、用圖形來理解、記憶和認識數(shù)學的結果，這樣可以增強學生思維方法的理性認識，不斷地提高自己的理性思維三、能夠靈活地變換研究角度學生對空間幾何體首先是整體上的感受，還不能很好地把握對點、線、面進行正確的位置分析，讓學生先對空間幾何體的整體加以認識，在體驗和操作中，感知立體幾何的性質，進一步通過推理，了解“點與線”、“直線與平面”、“面與

6、面”之間的位置關系，充分認識立體幾何的規(guī)律，學生能夠熟練地由整體到局部，再由具體到整體，這之間自由靈活的進行變換，不同角度的來分析空間幾何。例3 一四面體的三視圖如圖5所示,則該四面體四個面中最大的面積是（）A B C D 圖4 圖5解析 構造正方體如圖5，在正方體中生成該幾何體的直觀圖（如圖中粗線所示），進而使問題的求解水到渠成答案D圖6點評：近年高考對四面體的考查，多圍繞著正方體命題.正方體割出三棱錐：如圖6,在正方體中割出一個內接正四面體后,還余下4個正三棱錐.每個正三棱錐的體積均為1/6,故內接正四面體的體積為1/3.這5個四面體都與正方體“內接”而“共球”.事實上,正方體的內接四面體

7、(即三棱錐)共有-12=58個.至此可以想通,正方體為何成為多面體的題根.四、要充分認識平面的無限延展性平面具有無限延展性，沒有大小、寬窄、薄厚，是沒有邊界的，無法用具體的實物來表示，是從生活中抽象出來的數(shù)學概念，與直線的無限延伸是相通的，但在試題中卻是以短距離為平面的，有些條件沒有在圖形中體現(xiàn)出來，引導學生以無限延伸的思想來看待平面，深入理解點與面、線與面、面與面之間的相關公理和推論，增強學生延展的想象能力，讓學生能夠由局部聯(lián)想到整體，由已知圖形聯(lián)想到未畫的圖形，準確地找到解題的關鍵。例4 如圖8， 在四棱錐中，/，平面，. （）設平面平面，求證：/；（）求證：平面；證明：（）因為/，平面，

8、平面，所以/平面. 因為平面，平面平面，所以/. 圖8（）因為平面，所以以為坐標原點，所在的直線分別為軸、軸、軸建立空間直角坐標系，則， 所以 ，所以，.所以 ，. 因為 ，平面，平面，所以 平面. 點評 題目中平面與平面的交線并沒有在已知圖形中體現(xiàn)出來，但根據(jù)平面的延展性知兩平面有一個交點，則必有一條交線，進而問題得證。五、“空間”化“平面”降維處理空間中也有很多問題需要轉化到平面上來處理，如常用的“展開圖”與“截面圖”，角與距離的問題等。我們在教授異面直線所成的角與二面角的問題時，很多學生無法將相關的角準確作出，導致解題無法繼續(xù)。需要學生能順利的將一個在空間中難以處理的復雜問題轉化為平面上

9、較易處理的問題。由圖形當中的立體型利用“輔助線”、“展開圖”的形式轉化到平面幾何上來，如果學生沒有這種意識，沒有準確掌握相關方法，或在轉化過程中容易出錯，勢必導致最終問題的復雜化。例5（2013年高考北京卷理）如圖,在棱長為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中,E為BC的中點,點P在線段D1E上,點P到直線CC1的距離的最小值為_。解析 本題可將空間問題進行平面化處理。易知CC1與面D1DE平行，點P在底面上的投影P，落在線段DE上，則點E到直線CC1距離的最小值為線段DE上的點到點C距離的最小值，即當CP垂直DE時，CP的長度即為最小值，計算得CP。點評 本題通過側面展開，將空間問題轉化為平面問題，通過動中找定，把立體幾何推向了一個新的高度總之，縱觀近幾年的高考試題，立體幾何的改革成為了高考改革的風向標，是高中階段數(shù)學學習的一個難點。但是，只要在教學中，指導學生準確地理解概念，系統(tǒng)地掌握知識間的內在聯(lián)系，調動