考點29導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用

1、 考點29 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用1.（2010·全國高考卷文科·7）若曲線在點處的切線方程是，則（ ）（A） (B) (C) (D) 【命題立意】本題考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義和曲線的切線方程知識?！舅悸伏c撥】由題意知，曲線在點處的切線的斜率為1，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義得y在x=0處的導(dǎo)數(shù)為1，再把（0，b）代入切線方程可以解出a 、b的值?！疽?guī)范解答】 選A，, 在點處的切線方程是。斜率為1，所以,所以.2.（2010·全國高考卷理科·10）若曲線在點處的切線與兩個坐標(biāo)圍成的三角形的面積為18，則（ ）（A）64 （B）32 （C）16 （D）8【命題立意】本題主要考查了

2、導(dǎo)數(shù)的幾何意義，曲線的切線方程求法，考查考生的運算求解能力【思路點撥】先求出切線方程，然后表示出切線與兩個坐標(biāo)圍成的三角形的面積?！疽?guī)范解答】選A，所以曲線在點處的切線： 所以， 【方法技巧】利用導(dǎo)數(shù)解決切線問題有兩種類型：（1）“在”曲線上一點處的切線問題，先對函數(shù)求導(dǎo)，代入點的橫坐標(biāo)得到斜率。（2）“過”曲線上一點的切線問題，此時該點未必是切點，故應(yīng)先設(shè)切點，再求切點坐標(biāo)。3.（2010·江西高考文科·1）設(shè)函數(shù).（1）若的兩個極值點為，且，求實數(shù)的值；（2）是否存在實數(shù)，使得是上的單調(diào)函數(shù)？若存在,求出的值；若不存在，說明理由.【命題立意】本題主要考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，利用

3、導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與最值等基礎(chǔ)知識，考查運算能力及用函數(shù)思想分析解決問題的能力?！舅悸伏c撥】（1）先求導(dǎo)數(shù)，再借助于韋達(dá)定理建立方程求字母的值；（2）先求導(dǎo)數(shù)，再判導(dǎo)函數(shù)在上符合是否恒定.【規(guī)范解答】（1）由已知有，從而，所以；（2）由，所以不存在實數(shù)，使得是上的單調(diào)函數(shù).4.（2010·江西高考理科·）設(shè)函數(shù)（1）當(dāng)時，求的單調(diào)區(qū)間；（2）若在上的最大值為，求的值 【命題立意】本題主要考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與最值等基礎(chǔ)知識，考查運算能力及用函數(shù)思想分析解決問題的能力?！舅悸伏c撥】（1）確定定義域，再求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)正負(fù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）先求

4、導(dǎo)，判斷其正負(fù)，找最值，最后求字母的值 【規(guī)范解答】函數(shù)的定義域為（0，2），（1）當(dāng)時，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為（0，），單調(diào)遞減區(qū)間為（，2）；（2）當(dāng)時， >0,即在上單調(diào)遞增，故在上的最大值為因此5.（2010·重慶高考文科·19）已知函數(shù) （其中常數(shù)R），是奇函數(shù).（1）求的表達(dá)式；（2）討論的單調(diào)性，并求在區(qū)間上的最大值與最小值.【命題立意】本小題考查函數(shù)、奇函數(shù)的基礎(chǔ)知識，考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的基礎(chǔ)知識，考查函數(shù)的單調(diào)性的判斷方法，最值的求法，考查運算求解的能力，考查函數(shù)、方程的思想【思路點撥】（1）先求出導(dǎo)函數(shù)，再求出,利用奇函數(shù)的定義求出待定系數(shù)；（2）利用導(dǎo)

5、數(shù)的正負(fù)來判斷函數(shù)的單調(diào)性，并根據(jù)單調(diào)性求函數(shù)的值域.【規(guī)范解答】（1）因為 ，所以，所以，因為是奇函數(shù)，所以，即對任意的都有，即對任意都成立，所以且，所以,所以.（2）由（1）可得，所以,令，則或；所以當(dāng)時，函數(shù)是減函數(shù)；當(dāng)時，函數(shù)是增函數(shù)；當(dāng)時，函數(shù)是減函數(shù)；綜上可知，函數(shù)在區(qū)間和上是減函數(shù)，在區(qū)間上是增函數(shù).函數(shù)在區(qū)間1，2內(nèi)有極值點，所以函數(shù)的最大值與最小值只能在三點處取得，因為，所以函數(shù)的最大值是，最小值是.6.（2010·重慶高考理科·8）已知函數(shù)其中實數(shù)（1）若，求曲線在點處的切線方程；（2）若在x=1處取得極值，試討論的單調(diào)性?！久}立意】本題考查曲線的切線

6、方程的求法，考查用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求極值的方法，判斷函數(shù)的單調(diào)性的方法，考查分類討論的思想方法.【思路點撥】（1）先由函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求出切線的斜率，再由點斜式求切線方程；（2）由函數(shù)的極值求法求出的值，再根據(jù)導(dǎo)數(shù)的正負(fù)討論函數(shù)的單調(diào)性.【規(guī)范解答】因為所以；（1）當(dāng)時，又因為，所以曲線在點處的切線方程是，即；（2）因為，所以，又因為在處取得極值，所以，即，解得，所以，其定義域是，且，令，則，所以當(dāng)或時，；當(dāng)，且時，；所以由以上討論可知，函數(shù) 在區(qū)間上是增函數(shù)；在區(qū)間，上是減函數(shù).【方法技巧】本小題采用先總后分的解答格式，即先求出導(dǎo)函數(shù)，再分別求解兩問. 7.（2010·全國高考卷文科·

7、;21） 已知函數(shù)f（x）=x-3ax+3x+1。（）設(shè)a=2，求f（x）的單調(diào)區(qū)間；（）設(shè)f（x）在區(qū)間（2,3）中至少有一個極值點，求a的取值范圍?！久}立意】本題考查了導(dǎo)數(shù)的單調(diào)性、極值等知識，考查推理論證能力、運算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想。 【思路點撥】代入a=2，由f（x）求導(dǎo)，由第二問可利用數(shù)形結(jié)合方法轉(zhuǎn)化為注意根據(jù)單調(diào)性對a分類討論。 【規(guī)范解答】（）當(dāng)時， 當(dāng)x當(dāng)x當(dāng)x綜上，f（x）的單調(diào)增區(qū)間是，f（x）的單調(diào)減區(qū)間是（）當(dāng)當(dāng)由題意知，.3545,312,31222<<<-+<<-<aaaaa解得：或因此a的取值范圍是8.

8、（2010·全國高考卷理科·22）設(shè)函數(shù)（）證明：當(dāng)時，；（）設(shè)當(dāng)時，求a的取值范圍【命題立意】本題考查了導(dǎo)數(shù)的單調(diào)性、極值等知識，結(jié)合不等式考查推理論證能力、運算求解能力，考查分類討論思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想?！舅悸伏c撥】（）可以構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)單調(diào)性，求當(dāng)時的最值證明不等式成立，（）可結(jié)合（）的結(jié)論和方法證明，要注意對a分類討論.【規(guī)范解答】（）當(dāng)時，當(dāng)且僅當(dāng) 令 ， 則當(dāng)時， 是增函數(shù)； 當(dāng)時，是減函數(shù)；于是g(x)在x=0處達(dá)到最小值，因而當(dāng)時，即所以當(dāng)x>-1時，（）由題設(shè) ，此時當(dāng)a<0時，若，則 不成立；當(dāng)a0時， 令 h(x)=axf(x)+f(x

9、)-x ，則.當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)時，由（）知=(2a-1)f(x)h(x)在是減函數(shù)，即當(dāng)a>時，由知x當(dāng)時，所以h(x)>h(0)=0，即綜上，a的取值范圍是0,.9.（2010·湖北高考文科·21）設(shè)函數(shù)，其中0，曲線在點處的切線方程為=1（）確定b、c的值（）設(shè)曲線在點（）及（）處的切線都過點（0,2）證明：當(dāng)時，（）若過點（0,2）可作曲線的三條不同切線，求的取值范圍?！久}立意】本題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義、函數(shù)的單調(diào)性、極值、反證法等，同時考查考生綜合應(yīng)用數(shù)學(xué)知識進(jìn)行推理論證的能力【思路點撥】（）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義和切點的雙重性即可求出，的值。（）用反證法進(jìn)行

10、論證。（）利用切點的雙重性將過點（0,2）可作曲線的三條不同切線轉(zhuǎn)化為方程有三個不同的實根，然后利用函數(shù)的單調(diào)性、極值加以解決?！疽?guī)范解答】（）由題意得：，由切點既在曲線上又在切線=1上知，故。（）由，則曲線在處的切線方程為:,由點（0,2）在切線上，故化簡得:。下面用反證法證明結(jié)論。假設(shè)，因曲線在點（）及（）處的切線都過點（0,2），則，由（3）得，由（1）（2）得,由（4）得，從而，所以=0，即。與題設(shè)矛盾，所以假設(shè)錯誤，從而。（）由（）知過點（0,2）可作曲線的三條不同切線，等價于方程有三個不同的實根。設(shè)，則。由0知的值變化時，的變化情況如下表：0+00+增極大值1減極小值增由得單調(diào)性知

11、：要使有三個不同的實根，當(dāng)且僅當(dāng)<0即。所以的取值范圍是?！痉椒记伞?、可導(dǎo)函數(shù)求“在”某點的切線時，切線的斜率就是函數(shù)在該點處導(dǎo)數(shù)的值；求“過”某點的切線時，該點不一定是切點，此時可設(shè)切點為，利用函數(shù)在點處導(dǎo)數(shù)的值及已知點可得到過已知點切點為的切線方程，由切點既在切線上又在曲線上（簡稱：切點的雙重性）則可求出點坐標(biāo)，從而求出“過”某點的切線。2、過點可作曲線的幾條不同切線（設(shè)切點為）等價于方程有幾個不同的實根。3、已知方程有幾個不同的實根求參數(shù)的范圍問題可轉(zhuǎn)化為曲線與軸有幾個不同的交點，然后利用函數(shù)的單調(diào)性和極值進(jìn)行解答。10.（2010·湖北高考理科·21）已知

12、函數(shù)f()= (0)的圖象在點（1,f(1)）處的切線方程為.()用表示出b,c;()若f()在1,上恒成立，求的取值范圍；()證明：1+(n+1)+)(n1).【命題立意】本題主要考查函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、不等式的證明等基礎(chǔ)知識，同時考查考生綜合運用數(shù)學(xué)知識進(jìn)行推理論證的能力和分類討論的思想?！舅悸伏c撥】()利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義和切點的雙重性找出，的關(guān)系。 () f()在1,上恒成立在1,上恒成立()利用()的結(jié)論得時，令，采用累加的辦法即可證（或利用數(shù)學(xué)歸納法加以證明）?！疽?guī)范解答】()，由題意有:解得：。()由()知： f()=，令=，則，（）當(dāng)時，。若，則，為減函數(shù)，所以，即，從而在上不恒成立。（

13、）當(dāng)時，若，則，是增函數(shù)，所以，即，故當(dāng)時，。綜上所述，所求的取值范圍為。()方法一：由()知：當(dāng)時，令，有，且當(dāng)時，令，則有，即：，。將上述個不等式相加得，整理得：方法二：用數(shù)學(xué)歸納法證明如下：（1） 當(dāng)時，左邊，右邊，不等式成立。（2） 假設(shè)時，不等式成立，就是：，那么當(dāng)時=由()知：當(dāng)時，令，有，令，得=，即當(dāng)時，不等式成立。根據(jù)（1）和（2）可知不等式對任何都成立?！痉椒记伞?、可導(dǎo)函數(shù)求“在”某點的切線時，切線的斜率就是函數(shù)在該點處導(dǎo)數(shù)的值；求“過”某點的切線時，該點不一定是切點，此時可設(shè)切點為，利用函數(shù)在點處導(dǎo)數(shù)的值及已知點可得到過已知點切點為的切線方程，由切點既在切線上又在曲線

14、上（簡稱：切點的雙重性）則可求出點坐標(biāo)，從而求出求“過”某點的切線。2、不等式在某區(qū)間恒成立或有解問題，一般都可通過構(gòu)造函數(shù)轉(zhuǎn)化為求相應(yīng)函數(shù)的最值問題。3、證明較復(fù)雜的與正整數(shù)有關(guān)的不等式問題，通常也可通過構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性和極值（最值），轉(zhuǎn)化為求相應(yīng)函數(shù)的最值大于（小于）零的問題。11.（2010·四川高考文科·22）設(shè)（且），是的反函數(shù).（I）求；（II）當(dāng)時，恒有成立，求的取值范圍；（III）當(dāng)時，試比較 與的大小，并說明理由.【命題立意】本題考查函數(shù)、反函數(shù)、不等式、導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用等基礎(chǔ)知識，考查化歸、分類整合、構(gòu)造函數(shù)等數(shù)學(xué)思想，以及推理論證，分析與解決問題

15、的能力.【思路點撥】（I）先求原函數(shù)的值域，即反函數(shù)的定義域，再反解. （II）根據(jù)對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，首先去掉對數(shù)的底數(shù)，因與的大小不定，故需要分，進(jìn)行討論. 時，可得，恒成立；時，可得，恒成立.若令，便可利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)在閉區(qū)間上的最值.求出的取值范圍。（III）比較 與的大小，首先建立和的關(guān)系，但很難建立關(guān)系，故需要轉(zhuǎn)換，考慮到，即，故可以設(shè)，則便可根據(jù)題目的目標(biāo)和二項式定理進(jìn)行放縮了.【規(guī)范解答】（I）由題意，得，或，故，（II）， 當(dāng)時，又，令，列表如下極大值由表可知，. 當(dāng)， 又，由知的最大值為，.綜上，當(dāng)時，；當(dāng)時，.（III）設(shè)，則，當(dāng)時，.當(dāng)時，設(shè)，則，從而。，綜上.12.(2010·四川高考理科·22）設(shè)（且），是的反函數(shù).（）設(shè)關(guān)于的方程在區(qū)間上有實數(shù)解，求的取值范圍；（）當(dāng)（為自然對數(shù)的底數(shù)）時，證明：；（）當(dāng)時，試比較與的大小，并說明理由.【命題立意】本題主要考查函數(shù)、反函數(shù)、方程、不等式、導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用等基礎(chǔ)知識，考查轉(zhuǎn)化和化歸思想、函數(shù)與方程思想解決不等式問題，分類整合等數(shù)學(xué)思想方法、以及推理論證、分析與解決問題的能力.【思路點撥】（I）首先由反函數(shù)概念求出的解析式，然后化簡整理方程可得在區(qū)間上有實數(shù)解，即直線和曲線在區(qū)間上有公共點，轉(zhuǎn)為為求一元三次函數(shù)在上的最值問題，三次函數(shù)常用導(dǎo)數(shù)求解.（II）先求出，不