考研數(shù)學(xué)惡補(bǔ)

1、高等數(shù)學(xué)部分易混淆概念第一章：函數(shù)與極限一、數(shù)列極限大小的判斷例1：判斷命題是否正確若，且序列的極限存在，解答：不正確在題設(shè)下只能保證，不能保證例如：，而例2選擇題設(shè)，且（ ） A存在且等于零 B. 存在但不一定等于零 C不一定存在 D. 一定不存在 答：選項(xiàng)C正確 分析：若，由夾逼定理可得，故不選A與D. 取，則，且，但 不存在，所以B選項(xiàng)不正確，因此選C例3設(shè)（ ） A都收斂于 B. 都收斂，但不一定收斂于 C可能收斂，也可能發(fā)散 D. 都發(fā)散 答：選項(xiàng)A正確 分析：由于，得，又由及夾逼定理得 因此，再利用得所以選項(xiàng)A二、無(wú)界與無(wú)窮大無(wú)界：設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?，如果存在正?shù)，使得則稱函數(shù)在上有

2、界，如果這樣的不存在，就成函數(shù)在上無(wú)界；也就是說(shuō)如果對(duì)于任何正數(shù)，總存在，使，那么函數(shù)在上無(wú)界無(wú)窮大：設(shè)函數(shù)在的某一去心鄰域內(nèi)有定義（或大于某一正數(shù)時(shí)有定義）如果對(duì)于任意給定的正數(shù)（不論它多么大），總存在正數(shù)（或正數(shù)），只要適合不等式（或），對(duì)應(yīng)的函數(shù)值總滿足不等式則稱函數(shù)為當(dāng)（或）時(shí)的無(wú)窮大例4：下列敘述正確的是： 如果在某鄰域內(nèi)無(wú)界，則 如果，則在某鄰域內(nèi)無(wú)界解析：舉反例說(shuō)明設(shè)，令，當(dāng)時(shí)，而 故在鄰域無(wú)界，但時(shí)不是無(wú)窮大量，則不正確 由定義，無(wú)窮大必?zé)o界，故正確結(jié)論：無(wú)窮大必?zé)o界，而無(wú)界未必?zé)o窮大三、函數(shù)極限不存在極限是無(wú)窮大當(dāng)（或）時(shí)的無(wú)窮大的函數(shù)，按函數(shù)極限定義來(lái)說(shuō)，極限是不存在的，但

3、是為了便于敘述函數(shù)的性態(tài)，我們也說(shuō)“函數(shù)的極限是無(wú)窮大”但極限不存在并不代表其極限是無(wú)窮大例5：函數(shù)，當(dāng)時(shí)的極限不存在四、如果不能退出例6：，則，但由于在的任一鄰域的無(wú)理點(diǎn)均沒(méi)有定義，故無(wú)法討論在的極限結(jié)論：如果，且在的某一去心鄰域內(nèi)滿足，則反之，為無(wú)窮大，則為無(wú)窮小。五、求函數(shù)在某點(diǎn)處極限時(shí)要注意其左右極限是否相等，求無(wú)窮大處極限要注意自變量取正無(wú)窮大和負(fù)無(wú)窮大時(shí)極限是否相等。例7求極限解：，因而時(shí)極限不存在。 ，因而時(shí)極限不存在。六、使用等價(jià)無(wú)窮小求極限時(shí)要注意：（1）乘除運(yùn)算中可以使用等價(jià)無(wú)窮小因子替換，加減運(yùn)算中由于用等價(jià)無(wú)窮小替換是有條件的，故統(tǒng)一不用。這時(shí)，一般可以用泰勒公式來(lái)求極

4、限。（2）注意等價(jià)無(wú)窮小的條件，即在哪一點(diǎn)可以用等價(jià)無(wú)窮小因子替換例8：求極限分析一：若將寫成，再用等價(jià)無(wú)窮小替換就會(huì)導(dǎo)致錯(cuò)誤。分析二：用泰勒公式原式。例9：求極限解：本題切忌將用等價(jià)代換，導(dǎo)致結(jié)果為1。七、函數(shù)連續(xù)性的判斷（1）設(shè)在間斷，在連續(xù)，則在間斷。而在可能連續(xù)。例10設(shè)，則在間斷，在連續(xù)，在連續(xù)。若設(shè)，在間斷，但在均連續(xù)。（2）“在點(diǎn)連續(xù)”是“在點(diǎn)連續(xù)”的充分不必要條件。分析：由“若，則”可得“如果，則”，因此，在點(diǎn)連續(xù)，則在點(diǎn)連續(xù)。再由例10可得，在點(diǎn)連續(xù)并不能推出在點(diǎn)連續(xù)。（3）在連續(xù)，在連續(xù)，則在連續(xù)。其余結(jié)論均不一定成立。第二章 導(dǎo)數(shù)與微分一、函數(shù)可導(dǎo)性與連續(xù)性的關(guān)系可導(dǎo)必連

5、續(xù)，連續(xù)不一定可導(dǎo)。例11在連讀，在處不可導(dǎo)。二、與可導(dǎo)性的關(guān)系（1）設(shè)，在連續(xù)，則在可導(dǎo)是在可導(dǎo)的充要條件。（2）設(shè)，則是在可導(dǎo)的充要條件。三、一元函數(shù)可導(dǎo)函數(shù)與不可導(dǎo)函數(shù)乘積可導(dǎo)性的討論設(shè)，在連續(xù)，但不可導(dǎo)，又存在，則是在可導(dǎo)的充要條件。分析：若，由定義 反之，若存在，則必有。用反證法，假設(shè)，則由商的求導(dǎo)法則知在可導(dǎo)，與假設(shè)矛盾。利用上述結(jié)論，我們可以判斷函數(shù)中帶有絕對(duì)值函數(shù)的可導(dǎo)性。四、在某點(diǎn)存在左右導(dǎo)數(shù)時(shí)原函數(shù)的性質(zhì)（1）設(shè)在處存在左、右導(dǎo)數(shù)，若相等則在處可導(dǎo)；若不等，則在連續(xù)。（2）如果在內(nèi)連續(xù)，且設(shè)則在處必可導(dǎo)且。若沒(méi)有如果在內(nèi)連續(xù)的條件，即設(shè)，則得不到任何結(jié)論。例11，顯然設(shè)，但

6、，因此極限不存在，從而在處不連續(xù)不可導(dǎo)。第三章 微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用一、若若，不妨設(shè)，則，再由微分中值定理同理，當(dāng)時(shí)，若，再由微分中值定理 同理可證時(shí)，必有第八章 多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用8.1多元函數(shù)的基本概念1. ,使得當(dāng),且時(shí),有,那么成立了嗎?成立,與原來(lái)的極限差異只是描述動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)的接近程度的方法不一樣,這里采用的是點(diǎn)的矩形鄰域, ,而不是常用的圓鄰域,事實(shí)上這兩種定義是等價(jià)的.2. 若上題條件中的條件略去,函數(shù)就在連續(xù)嗎?為什么? 如果條件沒(méi)有,說(shuō)明有定義,并且包含在該點(diǎn)的任何鄰域內(nèi),由此對(duì),都有,從而,因此我們得到,即函數(shù)在點(diǎn)連續(xù).3. 多元函數(shù)的極限計(jì)算可以用洛必塔法則嗎?為

7、什么? 不可以,因?yàn)槁灞厮▌t的理論基礎(chǔ)是柯西中值定理.8.2 偏導(dǎo)數(shù)1. 已知,求 令,那么解出,得,所以或者8.3全微分極其應(yīng)用1.寫出多元函數(shù)連續(xù),偏導(dǎo)存在,可微之間的關(guān)系偏導(dǎo)數(shù), 連續(xù)Z可微 連續(xù) 極限存在偏導(dǎo)數(shù), 連續(xù)偏導(dǎo)數(shù), 存在2. 判斷二元函數(shù)在原點(diǎn)處是否可微.對(duì)于函數(shù),先計(jì)算兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù):又令,則上式為因而在原點(diǎn)處可微.8.4多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則1. 設(shè),可微,求.8.5隱函數(shù)的求導(dǎo)1. 設(shè),都是由方程所確定的具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的函數(shù),證明.對(duì)于方程,如果他滿足隱函數(shù)條件.例如,具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)且,則由方程可以確定函數(shù),即是,的函數(shù),而,是自變量,此時(shí)具有偏導(dǎo)數(shù),同理, ,所以.8

8、.6多元函數(shù)的極值及其求法1.設(shè)在點(diǎn)處具有偏導(dǎo)數(shù),若,則函數(shù)在該點(diǎn)取得極值,命題是否正確? 不正確,見(jiàn)多元函數(shù)極值存在的充分必要條件.2.如果二元連續(xù)函數(shù)在有界閉區(qū)域內(nèi)有惟一的極小值點(diǎn)，且無(wú)極大值，那么該函數(shù)是否在該點(diǎn)取得最小值？ 不一定，對(duì)于一元函數(shù)來(lái)說(shuō)上述結(jié)論是成立的，但對(duì)于多元函數(shù)，情況較為復(fù)雜，一般來(lái)說(shuō)結(jié)論不能簡(jiǎn)單的推廣。 例如，二元函數(shù)，由二元函數(shù)極值判別法： ，解得 ， 解得 故得駐點(diǎn)， 由于 ，以及，所以，是函數(shù)的惟一極小值點(diǎn)，但是，故不是在D上的最小值.第十一章 無(wú)窮級(jí)數(shù)11.1常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念和性質(zhì)1. 若通項(xiàng)，則級(jí)數(shù)收斂，這種說(shuō)法是否正確？否2. 若級(jí)數(shù)加括號(hào)后所成的新級(jí)數(shù)發(fā)散，則原級(jí)數(shù)必定發(fā)散，而加括號(hào)后所的級(jí)數(shù)收斂，則無(wú)法判定原