菱形講義經(jīng)典

1、第1章 特殊的平行四邊形一、菱形：【知識(shí)梳理】1菱形的定義：有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形2菱形的性質(zhì)菱形是特殊的平行四邊形，它具有平行四邊形的所有性質(zhì)，還具有自己獨(dú)特的性質(zhì)：1 邊的性質(zhì)：對(duì)邊平行且四邊相等 角的性質(zhì)：鄰角互補(bǔ)，對(duì)角相等 對(duì)角線(xiàn)性質(zhì)：對(duì)角線(xiàn)互相垂直平分且每條對(duì)角線(xiàn)平分一組對(duì)角 對(duì)稱(chēng)性：菱形是中心對(duì)稱(chēng)圖形，也是軸對(duì)稱(chēng)圖形 菱形的面積等于底乘以高，等于對(duì)角線(xiàn)乘積的一半點(diǎn)評(píng)：其實(shí)只要四邊形的對(duì)角線(xiàn)互相垂直，其面積就等于對(duì)角線(xiàn)乘積的一半3菱形的判定判定：一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形 判定：對(duì)角線(xiàn)互相垂直的平行四邊形是菱形判定：四邊相等的四邊形是菱形【例題精講】板塊一、菱形的性質(zhì)

2、例1.如圖，菱形ABCD的對(duì)角線(xiàn)交于點(diǎn)O，AC=16cm，BD=12cm（1）求菱形ABCD的邊長(zhǎng)；（2）求菱形ABCD的高DM 例2.如圖，在菱形ABCD中，AB=BD，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在AB，AD上，且AE=DF連接BF與DE相交于點(diǎn)G，連接CG與BD相交于點(diǎn)H求證：（1）求BGD的度數(shù)。（2） 求證：DG+BG=CG例3.將兩張寬度相等的長(zhǎng)方形紙片疊放在一起得到如圖29所示的四邊形ABCD.(1)求證：四邊形ABCD是菱形(2)如果兩張長(zhǎng)方形紙片的長(zhǎng)都是8，寬都是2，那么菱形ABCD的周長(zhǎng)是否存在最大值或最小值？如果存在，請(qǐng)求出來(lái)；如果不存在，請(qǐng)簡(jiǎn)要說(shuō)明理由 例4.已知，菱形中，、分別是、上

3、的點(diǎn)，若，求的度數(shù) 跟蹤練習(xí)：1.如圖,在菱形ABCD中,AB=5,對(duì)角線(xiàn)AC=6.若過(guò)點(diǎn)A作AEBC,垂足為E,則AE的長(zhǎng)為()A.4B.2.4C.4.8D.52.如圖，在菱形ABCD中，B=60°，AB=2，E、F分別是BC和CD的中點(diǎn)，連接AE、EF、AF，則AEF的周長(zhǎng)為（ ）A. B. C. D.3.3.如圖所示,把一個(gè)長(zhǎng)方形的紙片對(duì)折兩次,然后剪下一個(gè)角,為了得到一個(gè)鈍角為120°的菱形,剪口與第二次折痕所成角的度數(shù)應(yīng)為()A.15°或30°B.30°或45°C.45°或60°D.30°或60

4、°4如圖1138，在給定的一張平行四邊形紙片ABCD上作一個(gè)菱形，甲、乙兩人的作法如下：圖1138甲：連接AC，作AC的垂直平分線(xiàn)MN分別交AD，AC，BC于點(diǎn)M，O，N，連接AN，CM，則四邊形ANCM是菱形乙：分別作A，B的平分線(xiàn)AE，BF，分別交BC，AD于點(diǎn)E，F(xiàn)，連接EF，則四邊形ABEF是菱形根據(jù)兩人的作法可判斷()A甲正確，乙錯(cuò)誤 B甲錯(cuò)誤，乙正確 C甲、乙均正確 D甲、乙均錯(cuò)誤5. (1) 如圖所示,在菱形ABCD中,AE垂直平分BC,垂足為E,AB=4 cm.那么,菱形ABCD的面積是_,對(duì)角線(xiàn)BD的長(zhǎng)是_.(2) 如圖：菱形ABCD中，AB=2，B=120

5、6;，E是AB的中點(diǎn)，P是對(duì)角線(xiàn)AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則PE+PB的最小值是_6.如圖，在四邊形ABCD中，E為AB上一點(diǎn)，ADE和BCE都是等邊三角形，AB、 BC、CD、DA的中點(diǎn)分別為P、Q、M、N，試判斷四邊形PQMN為怎樣的四邊形，并證明你的結(jié)論7.如圖所示，在菱形ABCD中，ABC=60°，DEAC交BC的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)E求證：DE=BE 8.如圖，在菱形ABCD中，A=60°，AB=4，O為對(duì)角線(xiàn)BD的中點(diǎn)，過(guò)O點(diǎn)作OEAB，垂足為E （1）求ABD的度數(shù)； （2）求線(xiàn)段BE的長(zhǎng) 9.如圖，四邊形ABCD是菱形，BEAD、BFCD，垂足分別為E、F（1）求證：BE=B

6、F；（2）當(dāng)菱形ABCD的對(duì)角線(xiàn)AC=8，BD=6時(shí)，求BE的長(zhǎng) 10.如圖，在菱形ABCD中，P是AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與A、B重合），連接DP交對(duì)角線(xiàn)AC于E連接BE（1）證明：APD=CBE；（2）若DAB=60°，試問(wèn)P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，ADP的面積等于菱形ABCD面積的，為什么？ 11.如圖所示，在矩形ABCD中，AB=4cm，BC=8cm、點(diǎn)P從點(diǎn)D出發(fā)向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P、Q的速度都是1cm/s（1）在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，四邊形AQCP可能是菱形嗎？如果可能，那么經(jīng)過(guò)多少秒后，四邊形AQCP是菱形？（2）分別求出菱形AQCP的周長(zhǎng)、面積 【作業(yè)】1.

7、選擇題：1.在菱形ABCD中，AB=5cm，則此菱形的周長(zhǎng)為（ ）A. 5cm B. 15cm C. 20cm D. 25cm2.如圖，在菱形ABCD中，BAD=60°，BD=4，則菱形ABCD的周長(zhǎng)是_3.已知菱形ABCD的對(duì)角線(xiàn)AC、BD的長(zhǎng)度是6和8，則這個(gè)菱形的周長(zhǎng)是（）A、20B、14 C、28 D、244.如圖，菱形ABCD的周長(zhǎng)是16，A=60°，則對(duì)角線(xiàn)BD的長(zhǎng)度為（ ）A2 B C4D 5.已知菱形ABCD中，對(duì)角線(xiàn)AC與BD交于點(diǎn)O，BAD=120°，AC=4，則該菱形的面積是（）A、16B、16 C、8 D、86. 如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系

8、中，菱形MNPO的頂點(diǎn)P的坐標(biāo)是（3，4），則頂點(diǎn)M、N的坐標(biāo)分別是（）A、M（5，0），N（8，4）B、M（4，0），N（8，4）C、M（5，0），N（7，4）D、M（4，0），N（7，4）二、填空題7. 如圖，菱形ABCD的邊長(zhǎng)是2cm，E是AB的中點(diǎn)，且DE丄AB，則菱形ABCD的面積為 cm2第9題第8題第7題8. 如圖，菱形ABCD的對(duì)角線(xiàn)AC、BD相交于點(diǎn)O，且AC8，BD6，過(guò)點(diǎn)O作OH丄AB，垂足為H，則點(diǎn)O到邊AB的距離 9.如圖所示，將兩張等寬的長(zhǎng)方形紙條交叉疊放，重疊部分是一個(gè)四邊形ABCD，若AD=6cm，ABC=60°，則四邊形ABCD的面積等于 cm2三、

9、解答題12. 如圖，AC是菱形ABCD的對(duì)角線(xiàn)，點(diǎn)E、F分別在邊AB、AD上，且AE=AF。 求證：ACEACF。ADFEBC13.如圖，四邊形ABCD為菱形，已知A（0，4），B（3，0）（1）求點(diǎn)D的坐標(biāo)；（2）求經(jīng)過(guò)點(diǎn)AB的一次函數(shù)解析式14.如圖所示，在菱形ABCD中，ABC 60°，DEAC交BC的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)E求證：DEBE15. 如圖，已知矩形ABCD的兩條對(duì)角線(xiàn)相交于O，ACB=30°，AB=2（1）求AC的長(zhǎng)（2）求AOB的度數(shù)（3）以O(shè)B、OC為鄰邊作菱形OBEC，求菱形OBEC的面積板塊二、菱形的判定例1.已知:如圖1-3,在ABCD中,對(duì)角線(xiàn)AC與BD

10、交于點(diǎn)O,ACBD.求證: ABCD是菱形例2.已知:如圖1-5,四邊形ABCD中,AB=BC=CD=DA.求證: 四邊形ABCD是菱形例3.已知:如圖,在ABCD中,對(duì)角線(xiàn)AC的垂直平分線(xiàn)分別與AD、AC、BC相較于點(diǎn)E、O、F.求證: 四邊形AECF是菱形課堂練習(xí)：1.如圖，如果要使平行四邊形成為一個(gè)菱形，需要添加一個(gè)條件，那么你添加的條件是 2. 已知：如圖，平行四邊形的對(duì)角線(xiàn)的垂直平分線(xiàn)與邊、分別相交于 、.求證：四邊形是菱形.3.如圖，在梯形紙片中，將紙片沿過(guò)點(diǎn) 的直線(xiàn)折疊，使點(diǎn)落在上的點(diǎn)處，折痕交于點(diǎn)，連結(jié).求證：四邊形是菱形4.如圖，在中，是的中點(diǎn)分別作于，于，于，于相交于點(diǎn)求證

11、：四邊形是菱形【作業(yè)】1 有一組鄰邊相等的 是菱形，對(duì)角線(xiàn) 的四邊形是菱形。2 菱形的面積為24cm2，一條對(duì)角線(xiàn)的長(zhǎng)為6cm，則另一條對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)為 cm，邊長(zhǎng)為 cm，高為 cm。3 菱形周長(zhǎng)為20，相鄰兩角的比為1:2，則菱形的兩對(duì)角線(xiàn)的長(zhǎng)為 。4如圖1所示，菱形ABCD中，AEBC，BE=EC，AE=2，BD= 。5如圖2所示，菱形ABCD中，AB=AE=EF=FA，C= 。ABCDEF圖3ABDEFC圖2ABCDE圖16菱形對(duì)角線(xiàn)的平方和等于一邊平方的（ ） A2倍 B3倍 C4倍 D8倍7菱形具有而平行四邊形不一定具有的性質(zhì)是（ ） A對(duì)角線(xiàn)互相平分 B鄰角互補(bǔ) C對(duì)角相等 D每條對(duì)角

12、線(xiàn)平分一組對(duì)角8如圖3所示，菱形ABCD中，DEAB，DFBC，E、F為垂足，AE=EB，則EDF等于（ ） A75° B60° C50° D45°9下列條件中不能確定菱形的形狀和大小的是（ ） A已知菱形的兩條對(duì)角線(xiàn) B已知菱形的一邊和一個(gè)內(nèi)角 C已知菱形的四條邊 D已知菱形的周長(zhǎng)和面積10下列命題正確的是（ ） A有兩組鄰角相等的四邊形是菱形 B有一組鄰邊相等的四邊形是菱形 C對(duì)角線(xiàn)互相垂直的四邊形是菱形 D對(duì)角線(xiàn)互相垂直平分的四邊形是菱形11菱形的周長(zhǎng)為a，高為h，一條對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)為h，則另一對(duì)角線(xiàn)的長(zhǎng)可示為： 。12如圖，ABC中，AB=AC，AD是

13、角平分線(xiàn)，E為AD延長(zhǎng)線(xiàn)上一點(diǎn)，CF/BE交AD于F，連結(jié)BF、CE，求證：四邊形BECF是菱形。13如圖，ABC中，ACB=90°，B的平分線(xiàn)交高CD于E，交AC于F，F(xiàn)GAB，G為垂足，求證：四邊形CEGF是菱形。 14. 在四邊形ABCD中，E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA的中點(diǎn)，順次連接EF、FG、GH、HE（1）請(qǐng)判斷四邊形EFGH的形狀，并給予證明；（2）試添加一個(gè)條件，使四邊形EFGH是菱形（寫(xiě)出你添加的條件，不要求證明）15.如圖所示，在菱形ABCD中，AB=4，BAD=120°，AEF為正三角形，點(diǎn)E、F分別在菱形的邊BC、CD上滑動(dòng)，且E、F不

14、與B、C、D重合（1）證明不論E、F在BC、CD上如何滑動(dòng)，總有BE=CF；（2）當(dāng)點(diǎn)E、F在BC、CD上滑動(dòng)時(shí)，分別探討四邊形AECF和CEF的面積是否發(fā)生變化？如果不變，求出這個(gè)定值；如果變化，求出最大（或最?。┲?6.如圖，菱形ABCD的邊長(zhǎng)為2，BD=2，E、F分別是邊AD，CD上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且滿(mǎn)足AE+CF=2（1）求證：BDEBCF；（2）判斷BEF的形狀，并說(shuō)明理由；（3）設(shè)BEF的面積為S，求S的取值范圍17如圖1，在ABC中，AB=BC=5，AC=6ECD是ABC沿BC方向平移得到的，連接AE、AC和BE相交于點(diǎn)O（1）判斷四邊形ABCE是怎樣的四邊形，說(shuō)明理由；（2）如圖2

15、，P是線(xiàn)段BC上一動(dòng)點(diǎn)（圖2），（不與點(diǎn)B、C重合），連接PO并延長(zhǎng)交線(xiàn)段AE于點(diǎn)Q，QRBD，垂足為點(diǎn)R四邊形PQED的面積是否隨點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)而發(fā)生變化？若變化，請(qǐng)說(shuō)明理由；若不變，求出四邊形PQED的面積18. 如圖1，在ABC和EDC中，AC=CE=CB=CD；ACB=DCE=90°，AB與CE交于F，ED與AB，BC，分別交于M，H（1）求證：CF=CH；（2）如圖2，ABC不動(dòng)，將EDC繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到BCE=45°時(shí)，試判斷四邊形ACDM是什么四邊形？并證明你的結(jié)論19. 如圖，在直角坐標(biāo)系xOy中，RtOAB和RtOCD的直角頂點(diǎn)A，C始終在x軸的正半軸上，B，D在

16、第一象限內(nèi)，點(diǎn)B在直線(xiàn)OD上方，OC=CD，OD=2，M為OD的中點(diǎn)，AB與OD相交于E，當(dāng)點(diǎn)B位置變化時(shí)，RtOAB的面積恒為試解決下列問(wèn)題：（1）填空：點(diǎn)D坐標(biāo)為_(kāi)；（2）設(shè)點(diǎn)B橫坐標(biāo)為t，請(qǐng)把BD長(zhǎng)表示成關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式，并化簡(jiǎn)；20. 如圖，在RtABC中，B=90°，BC=5，C=30°點(diǎn)D從點(diǎn)C出發(fā)沿CA方向以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)的速度向點(diǎn)A勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)E從點(diǎn)A出發(fā)沿AB方向以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)的速度向點(diǎn)B勻速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)其中一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)設(shè)點(diǎn)D、E運(yùn)動(dòng)的時(shí)間是t秒（t0）過(guò)點(diǎn)D作DFBC于點(diǎn)F，連接DE、EF（1）求證：AE=DF；（2）四邊

17、形AEFD能夠成為菱形嗎？如果能，求出相應(yīng)的t值；如果不能，說(shuō)明理由（3）當(dāng)t為何值時(shí)，DEF為直角三角形？請(qǐng)說(shuō)明理由21如圖，在四邊形ABCD中，AB=DC，E、F分別是AD、BC的中點(diǎn)，G、H分別是BD、AC的中點(diǎn)，猜一猜EF與GH的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論21. 如圖1，已知平行四邊形ABCD中，對(duì)角線(xiàn)AC，BD交于點(diǎn)O，E是BD延長(zhǎng)線(xiàn)上的點(diǎn)，且ACE是等邊三角形（1）求證：四邊形ABCD是菱形；（2）如圖2，若AED=2EAD，AC=6求DE的長(zhǎng)22. 在菱形ABCD中，ABC=60°，E是對(duì)角線(xiàn)AC上一點(diǎn)，F(xiàn)是線(xiàn)段BC延長(zhǎng)線(xiàn)上一點(diǎn)，且CF=AE，連接BE、EF（1）若E是線(xiàn)段AC的中點(diǎn)，如圖1，易證：BE=EF（不需證明）；（2）若E是線(xiàn)段AC或AC延長(zhǎng)線(xiàn)上的任意一點(diǎn)，其它條件不變，如圖2、圖3，線(xiàn)段BE、EF有