解三角形常見題型

1、解三角形知識(shí)點(diǎn)、常見題型及解題方法題型之一：求解斜三角形中的基本元素指已知兩邊一角(或二角一邊或三邊)，求其它三個(gè)元素問題，進(jìn)而求出三角形的三線(高線、角平分線、中線)及周長(zhǎng)等基本問題1. 在中，AB=3，AC=2，BC=，則 ( )A B C D【答案】D 2（1）在中，已知，cm，解三角形；（2）在中，已知cm，cm，解三角形（角度精確到，邊長(zhǎng)精確到1cm）。3（1）在ABC中，已知，求b及A；（2）在ABC中，已知，解三角形4(2005年全國(guó)高考江蘇卷) 中，BC3，則的周長(zhǎng)為（ ）A BC D分析：由正弦定理，求出b及c，或整體求出bc，則周長(zhǎng)為3bc而得到結(jié)果選(D)5 （2005年

2、全國(guó)高考湖北卷) 在ABC中，已知，AC邊上的中線BD=，求sinA的值分析：本題關(guān)鍵是利用余弦定理，求出AC及BC，再由正弦定理，即得sinA解：設(shè)E為BC的中點(diǎn)，連接DE，則DE/AB，且，設(shè)BEx在BDE中利用余弦定理可得：，解得，（舍去）故BC=2，從而，即又，故，在ABC中，已知a2，b，C15°，求A。答案：題型之二：判斷三角形的形狀：給出三角形中的三角關(guān)系式，判斷此三角形的形狀1. (2005年北京春季高考題)在中，已知，那么一定是（ ）A直角三角形 B等腰三角形 C等腰直角三角形 D正三角形解法1：由sin(AB)sinAcosBcosAsinB，即sinAcosBc

3、osAsinB0，得sin(AB)0，得AB故選(B)解法2：由題意，得cosB，再由余弦定理，得cosB ，即a2b2，得ab，故選(B)評(píng)注：判斷三角形形狀，通常用兩種典型方法：統(tǒng)一化為角，再判斷(如解法1)，統(tǒng)一化為邊，再判斷(如解法2)2在ABC中，若2cosBsinAsinC，則ABC的形狀一定是（ ）A.等腰直角三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等邊三角形答案：C解析：2sinAcosBsin（AB）sin（AB）又2sinAcosBsinC，sin（AB）0，AB3.在ABC中，若，試判斷ABC的形狀。答案：故ABC為等腰三角形或直角三角形。4. 在ABC中，判斷ABC的形狀

4、。答案：ABC為等腰三角形或直角三角形。題型之三：解決與面積有關(guān)問題主要是利用正、余弦定理，并結(jié)合三角形的面積公式來(lái)解題1. (2005年全國(guó)高考上海卷) 在中，若，則的面積S_2在中，求的值和的面積。答案：3. （07浙江理18）已知的周長(zhǎng)為，且（I）求邊的長(zhǎng)；（II）若的面積為，求角的度數(shù)解：（I）由題意及正弦定理，得，兩式相減，得（II）由的面積，得，由余弦定理，得，所以題型之四：三角形中求值問題1. (2005年全國(guó)高考天津卷) 在中，所對(duì)的邊長(zhǎng)分別為，設(shè)滿足條件和，求和的值分析：本題給出一些條件式的求值問題，關(guān)鍵還是運(yùn)用正、余弦定理解：由余弦定理，因此， 在ABC中，C=180

5、76;AB=120°B.由已知條件，應(yīng)用正弦定理解得從而2的三個(gè)內(nèi)角為，求當(dāng)A為何值時(shí)，取得最大值，并求出這個(gè)最大值。解析：由A+B+C=，得=，所以有cos =sin。cosA+2cos =cosA+2sin =12sin2 + 2sin=2(sin )2+ ；當(dāng)sin = ，即A=時(shí), cosA+2cos取得最大值為。3在銳角中，角所對(duì)的邊分別為，已知，（1）求的值；（2）若，求的值。解析：（1）因?yàn)殇J角ABC中，ABCp，所以cosA，則（2），則bc3。將a2，cosA，c代入余弦定理：中，得解得b。點(diǎn)評(píng)：知道三角形邊外的元素如中線長(zhǎng)、面積、周長(zhǎng)等時(shí)，靈活逆用公式求得結(jié)果即可

6、。4在中，內(nèi)角對(duì)邊的邊長(zhǎng)分別是，已知，（）若的面積等于，求；（）若，求的面積本小題主要考查三角形的邊角關(guān)系，三角函數(shù)公式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查綜合應(yīng)用三角函數(shù)有關(guān)知識(shí)的能力滿分12分解：（）由余弦定理及已知條件得，又因?yàn)榈拿娣e等于，所以，得4分聯(lián)立方程組解得，6分（）由題意得，即，8分當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，得，由正弦定理得，聯(lián)立方程組解得，所以的面積12分題型之五：正余弦定理解三角形的實(shí)際應(yīng)用利用正余弦定理解斜三角形，在實(shí)際應(yīng)用中有著廣泛的應(yīng)用，如測(cè)量、航海、幾何等方面都要用到解三角形的知識(shí)，例析如下：（一.）測(cè)量問題圖1ABCD1. 如圖1所示，為了測(cè)河的寬度，在一岸邊選定A、B兩點(diǎn)，望對(duì)岸標(biāo)記物C，測(cè)得C

7、AB=30°，CBA=75°，AB=120cm，求河的寬度。分析：求河的寬度，就是求ABC在AB邊上的高，而在河的一邊，已測(cè)出AB長(zhǎng)、CAB、CBA，這個(gè)三角形可確定。解析：由正弦定理得，AC=AB=120m，又，解得CD=60m。點(diǎn)評(píng)：雖然此題計(jì)算簡(jiǎn)單，但是意義重大，屬于“不過河求河寬問題”。（二.）遇險(xiǎn)問題2 某艦艇測(cè)得燈塔在它的東15°北的方向，此艦艇以30海里/小時(shí)的速度向正東前進(jìn)，30分鐘后又測(cè)得燈塔在它的東30°北。若此燈塔周圍10海里內(nèi)有暗礁，問此艦艇繼續(xù)向東航行有無(wú)觸礁的危險(xiǎn)？西北南東ABC30°15°圖2解析：如圖艦

8、艇在A點(diǎn)處觀測(cè)到燈塔S在東15°北的方向上；艦艇航行半小時(shí)后到達(dá)B點(diǎn)，測(cè)得S在東30°北的方向上。 在ABC中，可知AB=30×0.5=15，ABS=150°，ASB=15°，由正弦定理得BS=AB=15，過點(diǎn)S作SC直線AB，垂足為C，則SC=15sin30°=7.5。這表明航線離燈塔的距離為7.5海里，而燈塔周圍10海里內(nèi)有暗礁，故繼續(xù)航行有觸礁的危險(xiǎn)。點(diǎn)評(píng)：有關(guān)斜三角形的實(shí)際問題，其解題的一般步驟是：（1）準(zhǔn)確理解題意，分清已知與所求，尤其要理解應(yīng)用題中的有關(guān)名詞和術(shù)語(yǔ)；（2）畫出示意圖，并將已知條件在圖形中標(biāo)出；（3）分析與所

9、研究問題有關(guān)的一個(gè)或幾個(gè)三角形，通過合理運(yùn)用正弦定理和余弦定理求解。（三.）追擊問題圖3ABC北45°15°3 如圖3，甲船在A處，乙船在A處的南偏東45°方向，距A有9n mile并以20n mile/h的速度沿南偏西15°方向航行，若甲船以28n mile/h的速度航行，應(yīng)沿什么方向，用多少h能盡快追上乙船？ 解析：設(shè)用t h，甲船能追上乙船，且在C處相遇。在ABC中，AC=28t，BC=20t，AB=9，設(shè)ABC=，BAC=。=180°45°15°=120°。根據(jù)余弦定理，（4t3）（32t+9）=0，解得t

10、=，t=（舍）AC=28×=21 n mile，BC=20×=15 n mile。根據(jù)正弦定理，得，又=120°，為銳角，=arcsin，又，arcsin，甲船沿南偏東arcsin的方向用h可以追上乙船。點(diǎn)評(píng)：航海問題常涉及到解三角形的知識(shí)，本題中的 ABC、AB邊已知，另兩邊未知，但他們都是航行的距離，由于兩船的航行速度已知，所以，這兩邊均與時(shí)間t有關(guān)。這樣根據(jù)余弦定理，可列出關(guān)于t的一元二次方程，解出t的值。4如圖，當(dāng)甲船位于A處時(shí)獲悉，在其正東方向相距20海里的B處有一艘漁船遇險(xiǎn)等待營(yíng)救甲船立即前往救援，同時(shí)把消息告知在甲船的南偏西30，相距10海里C處的乙船，試問乙船應(yīng)朝北偏東多少度的方向沿直線