空間距離求解轉(zhuǎn)化策略

1、空間距離求解轉(zhuǎn)化策略空間距離求解轉(zhuǎn)化策略論文導(dǎo)讀：其求解的基本思想方法是轉(zhuǎn)化為求兩點(diǎn)間的距離?？臻g距離，空間距離求解轉(zhuǎn)化策略。關(guān)鍵詞：空間距離，轉(zhuǎn)化空間中的距離包括點(diǎn)點(diǎn)，點(diǎn)面，線線，線面，面面六種。其求法是教材的重要內(nèi)容，也是歷年高考考查的重點(diǎn)，其求解的基本思想方法是轉(zhuǎn)化為求兩點(diǎn)間的距離。特別是異面直線間的距離和點(diǎn)到平面的距離計(jì)算是立體幾何中的一個(gè)非常重要內(nèi)容，學(xué)生在遇到此類距離計(jì)算時(shí)，由于空間想象力等自身原因無法構(gòu)造出距離，或者無法尋找到與距離相關(guān)的一些聯(lián)系和轉(zhuǎn)化。結(jié)果往往是無從下筆嚴(yán)重影響考試成績(jī)。事實(shí)上，一般距離都可轉(zhuǎn)化成點(diǎn)線距離，進(jìn)而轉(zhuǎn)化成兩點(diǎn)間的距離，最后都把它們放在平面三角形中來解

2、決。因此距離的轉(zhuǎn)化就成了師生共同的難點(diǎn)。為此，筆者將多年來的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)總結(jié)此文，以其拋磚引玉。事實(shí)上，距離轉(zhuǎn)化一般有如下形式：其中比較困難的是最后一步。本文通過舉例來說明距離計(jì)算中的一些轉(zhuǎn)化策略。1 異面直線距離的轉(zhuǎn)化例 1 如圖 1 所示：已知正方形 ABCD 的邊長(zhǎng)為 4，E、F 分別是邊 AB、AD 的中點(diǎn)，GC 垂直于 ABCD 所在的平面，且 GC=2，求異面直線 BD 與 GE 的距離。解 連結(jié) BD，由 E、F 分別為 AB、AD 的中點(diǎn)，知 EFBD，EF面 GEF，BD平面 GEF。故 BD 與 GE 的距離為線 BD 到平面 GEF 的距離，連接 AC 交 BD 于 O，交

3、EF于 H。因 GC平面 ABCD，EF平面 ABCD，故 GCEF。又 EFHC，且 GCHC=C則 EF平面 GHC，而 EF平面 GEF, 故平面 GEF平面 GHC,.且平面 GEF平面GHC=HG 所以過點(diǎn) O 作 OKGH，則 OK面 GEF，BD 到面 GEF 的距離即為點(diǎn) O 到線 GH 的距離 OK，在 RtHKO 中，因正方形 ABCD 的邊長(zhǎng)為 4 故 AC=4, OH=,HC=3,又 GC=2 且HG = (3) +2 =22故 HG=,即異面直線 BD 與 CE 的距離為總結(jié):圖 1 圖 2例 2 已知異面線段 AB=a，CD=b，所成角為，4 點(diǎn) A、B、C、D 構(gòu)

4、成四面體的體積為 V，求異面線段 AB 到 CD 的距離。解 如圖 2，過 B 作 BECD，連 AE，則ABE= 或。由 CDBE，則 CD面 ABE。CD 到 AB 的距離轉(zhuǎn)化為 CD 到面 ABE 的距離。論文大全，空間距離。設(shè)點(diǎn) C 到面 ABE 的距離為 d，則 d 為 CD 到 AB 的距離。由等積性:V=V=V=V 注意到 V=ab.d=V則 d=總結(jié) CD 到 AB 的距離 CD 到面 ABE 的距離 點(diǎn) C 到面 ABE 的距離。論文大全，空間距離。2 點(diǎn)面距離的構(gòu)造與轉(zhuǎn)化面面距離，線面距離，異面直線距離都轉(zhuǎn)化為點(diǎn)面距離。因此點(diǎn)面距離如何構(gòu)造、計(jì)算，轉(zhuǎn)化就成為問題求解的關(guān)鍵。

5、點(diǎn)面距離通常有三種求法：（1）利用兩平面垂直關(guān)系轉(zhuǎn)化為點(diǎn)線距離計(jì)算。（2）當(dāng)垂足位置不容易確定時(shí)，可考慮利用等體積法來求解。論文大全，空間距離。（3）還可用坐標(biāo)向量法（1）利用兩平面垂直關(guān)系轉(zhuǎn)化為點(diǎn)線距離計(jì)算。例 3 已知正三棱錐 ABC-A1B1C1 的每條棱長(zhǎng)為 a，過 AB1 的作平行于 BC1 的平面 M，求點(diǎn) A1 到平面 M 的距離。解 如圖 3，延長(zhǎng) CB 到 D，使 BD=BC，連結(jié) AD，由 BDB1C1，則BC1DB1，從而 BC1面 ADB1，即 M 為面 ADB1。圖 3設(shè) F、H 分別為 A1C1、AC 的中點(diǎn)，B1FBHAD， B1FAD。連 AF，則面 M 即為

6、ADB1F。故 A1 到面 M 的距離即為 A1 到面 ADB1F 的距離。B1F面 ACC1A1， 面 M面 ACC1A1。過 A1 作 A1GAF 交 AF 于 G，則 A1G 為點(diǎn) A1 到面 M 的距離。在 RtAFA1 中，A F=a, A A =a,FA A=90再由 A AA F=AF A G不難計(jì)算出A1G=?？偨Y(jié)利用 B1DBC1 作平面 M，并再利用 B1FAD，得到平面 M 與平面 ACC1A1 的交線 AF，再注意到面 M面ACC1A1，點(diǎn) A1 到面 M 的距離轉(zhuǎn)化為點(diǎn) A1 到線 AF 的距離。（2）用等體積法求點(diǎn)到平面的距離例 4：如圖，在長(zhǎng)方體 ABCDA1B1

7、C1D1 中，AD=AA1=1，AB=2，點(diǎn) E 在棱 AB 上移動(dòng)求：當(dāng) E 為 AB 的中點(diǎn)時(shí),求點(diǎn) E 到面 ACD1 的距離；解：設(shè)點(diǎn)到平面D1 的距離為 h，在D1 中，D1，D1，故， 而 h=這里點(diǎn) E 到面 ACD1 的距離不好找故用等體積法解更方便（3） 坐標(biāo)向量法求點(diǎn)到平面的距離所謂坐標(biāo)向量法，就是建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系(本文所建立的都是右手直角坐標(biāo)系)，把向量用坐標(biāo)來表示，用向量的坐標(biāo)形式進(jìn)行向量的運(yùn)算， 運(yùn)用坐標(biāo)法時(shí)，必須首先找出三個(gè)基向量，并且這三個(gè)基向量?jī)蓛纱怪?由此建立空間直角坐標(biāo)系.進(jìn)而可出求點(diǎn)到面的距離。這是新教材的一大特色。更是近年來高考的熱點(diǎn)之一。例 5

8、：如圖已知正三棱柱的棱長(zhǎng)為 2，底面邊長(zhǎng)為 1，是的中點(diǎn). CN=求：當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)到平面的距離.解：以，分別為軸、軸，垂直于，的為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則有：、，則，設(shè)向量與平面垂直，則有取向量在上的射影長(zhǎng)即為到平面的距離，設(shè)為，于是從以上可以看出，在構(gòu)造點(diǎn)到平面的距離時(shí)須結(jié)合具體的空間圖形特征，選擇恰當(dāng)?shù)姆椒?，充分發(fā)揮空間圖形的想象力，就一定能克服此類空間距離求解的思維障礙。特別是用坐標(biāo)向量法求點(diǎn)到平面的距離時(shí)不但須要建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，以便簡(jiǎn)化運(yùn)算。還須具備很強(qiáng)的計(jì)算能力和想象力，這是因?yàn)槠矫娣ㄏ蛄客ǔＪ遣辉趫D中畫出?？傊畮熒谄綍r(shí)解題訓(xùn)練當(dāng)中善于歸納總結(jié)就一定能培養(yǎng)自己數(shù)學(xué)思維的深刻

9、性和靈活性。參考文獻(xiàn):1 游少華立體幾何距離計(jì)算中的一些轉(zhuǎn)化策略中學(xué)數(shù)學(xué),2000 年 12 期點(diǎn) E 在棱 AB 上移動(dòng)求：當(dāng) E 為 AB 的中點(diǎn)時(shí),求點(diǎn) E 到面 ACD1 的距離；解：設(shè)點(diǎn)到平面D1 的距離為 h，在D1 中，D1，D1，故， 而 h=這里點(diǎn) E 到面 ACD1 的距離不好找故用等體積法解更方便（3） 坐標(biāo)向量法求點(diǎn)到平面的距離所謂坐標(biāo)向量法，就是建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系(本文所建立的都是右手直角坐標(biāo)系)，把向量用坐標(biāo)來表示，用向量的坐標(biāo)形式進(jìn)行向量的運(yùn)算， 運(yùn)用坐標(biāo)法時(shí)，必須首先找出三個(gè)基向量，并且這三個(gè)基向量?jī)蓛纱怪?由此建立空間直角坐標(biāo)系.進(jìn)而可出求點(diǎn)到面的距離。這是新教材的一大特色。更是近年來高考的熱點(diǎn)之一。例 5：如圖已知正三棱柱的棱長(zhǎng)為 2，底面邊長(zhǎng)為 1，是的中點(diǎn). CN=求：當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)到平面的距離.解：以，分別為軸、軸，垂直于，的為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則有：、，則，設(shè)向量與平面垂直，則有取向量在上的射影長(zhǎng)即為到平面的距離，設(shè)為，于是從以上可以看出，在構(gòu)造點(diǎn)到平面的距離時(shí)須結(jié)合具體的空間圖形特征，選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ǎ浞职l(fā)揮空間圖形的想象力，就一定能克服此類空間距離求解的思維障礙。特別是用坐標(biāo)