空間距離求解轉(zhuǎn)化策略

1、空間距離求解轉(zhuǎn)化策略空間距離求解轉(zhuǎn)化策略論文導讀：其求解的基本思想方法是轉(zhuǎn)化為求兩點間的距離?？臻g距離，空間距離求解轉(zhuǎn)化策略。關鍵詞：空間距離，轉(zhuǎn)化空間中的距離包括點點，點面，線線，線面，面面六種。其求法是教材的重要內(nèi)容，也是歷年高考考查的重點，其求解的基本思想方法是轉(zhuǎn)化為求兩點間的距離。特別是異面直線間的距離和點到平面的距離計算是立體幾何中的一個非常重要內(nèi)容，學生在遇到此類距離計算時，由于空間想象力等自身原因無法構造出距離，或者無法尋找到與距離相關的一些聯(lián)系和轉(zhuǎn)化。結果往往是無從下筆嚴重影響考試成績。事實上，一般距離都可轉(zhuǎn)化成點線距離，進而轉(zhuǎn)化成兩點間的距離，最后都把它們放在平面三角形中來解

2、決。因此距離的轉(zhuǎn)化就成了師生共同的難點。為此，筆者將多年來的教學經(jīng)驗總結此文，以其拋磚引玉。事實上，距離轉(zhuǎn)化一般有如下形式：其中比較困難的是最后一步。本文通過舉例來說明距離計算中的一些轉(zhuǎn)化策略。1 異面直線距離的轉(zhuǎn)化例 1 如圖 1 所示：已知正方形 ABCD 的邊長為 4，E、F 分別是邊 AB、AD 的中點，GC 垂直于 ABCD 所在的平面，且 GC=2，求異面直線 BD 與 GE 的距離。解 連結 BD，由 E、F 分別為 AB、AD 的中點，知 EFBD，EF面 GEF，BD平面 GEF。故 BD 與 GE 的距離為線 BD 到平面 GEF 的距離，連接 AC 交 BD 于 O，交

3、EF于 H。因 GC平面 ABCD，EF平面 ABCD，故 GCEF。又 EFHC，且 GCHC=C則 EF平面 GHC，而 EF平面 GEF, 故平面 GEF平面 GHC,.且平面 GEF平面GHC=HG 所以過點 O 作 OKGH，則 OK面 GEF，BD 到面 GEF 的距離即為點 O 到線 GH 的距離 OK，在 RtHKO 中，因正方形 ABCD 的邊長為 4 故 AC=4, OH=,HC=3,又 GC=2 且HG = (3) +2 =22故 HG=,即異面直線 BD 與 CE 的距離為總結:圖 1 圖 2例 2 已知異面線段 AB=a，CD=b，所成角為，4 點 A、B、C、D 構

4、成四面體的體積為 V，求異面線段 AB 到 CD 的距離。解 如圖 2，過 B 作 BECD，連 AE，則ABE= 或。由 CDBE，則 CD面 ABE。CD 到 AB 的距離轉(zhuǎn)化為 CD 到面 ABE 的距離。論文大全，空間距離。設點 C 到面 ABE 的距離為 d，則 d 為 CD 到 AB 的距離。由等積性:V=V=V=V 注意到 V=ab.d=V則 d=總結 CD 到 AB 的距離 CD 到面 ABE 的距離 點 C 到面 ABE 的距離。論文大全，空間距離。2 點面距離的構造與轉(zhuǎn)化面面距離，線面距離，異面直線距離都轉(zhuǎn)化為點面距離。因此點面距離如何構造、計算，轉(zhuǎn)化就成為問題求解的關鍵。

5、點面距離通常有三種求法：（1）利用兩平面垂直關系轉(zhuǎn)化為點線距離計算。（2）當垂足位置不容易確定時，可考慮利用等體積法來求解。論文大全，空間距離。（3）還可用坐標向量法（1）利用兩平面垂直關系轉(zhuǎn)化為點線距離計算。例 3 已知正三棱錐 ABC-A1B1C1 的每條棱長為 a，過 AB1 的作平行于 BC1 的平面 M，求點 A1 到平面 M 的距離。解 如圖 3，延長 CB 到 D，使 BD=BC，連結 AD，由 BDB1C1，則BC1DB1，從而 BC1面 ADB1，即 M 為面 ADB1。圖 3設 F、H 分別為 A1C1、AC 的中點，B1FBHAD， B1FAD。連 AF，則面 M 即為

6、ADB1F。故 A1 到面 M 的距離即為 A1 到面 ADB1F 的距離。B1F面 ACC1A1， 面 M面 ACC1A1。過 A1 作 A1GAF 交 AF 于 G，則 A1G 為點 A1 到面 M 的距離。在 RtAFA1 中，A F=a, A A =a,FA A=90再由 A AA F=AF A G不難計算出A1G=?？偨Y利用 B1DBC1 作平面 M，并再利用 B1FAD，得到平面 M 與平面 ACC1A1 的交線 AF，再注意到面 M面ACC1A1，點 A1 到面 M 的距離轉(zhuǎn)化為點 A1 到線 AF 的距離。（2）用等體積法求點到平面的距離例 4：如圖，在長方體 ABCDA1B1

7、C1D1 中，AD=AA1=1，AB=2，點 E 在棱 AB 上移動求：當 E 為 AB 的中點時,求點 E 到面 ACD1 的距離；解：設點到平面D1 的距離為 h，在D1 中，D1，D1，故， 而 h=這里點 E 到面 ACD1 的距離不好找故用等體積法解更方便（3） 坐標向量法求點到平面的距離所謂坐標向量法，就是建立適當?shù)目臻g直角坐標系(本文所建立的都是右手直角坐標系)，把向量用坐標來表示，用向量的坐標形式進行向量的運算， 運用坐標法時，必須首先找出三個基向量，并且這三個基向量兩兩垂直,由此建立空間直角坐標系.進而可出求點到面的距離。這是新教材的一大特色。更是近年來高考的熱點之一。例 5

8、：如圖已知正三棱柱的棱長為 2，底面邊長為 1，是的中點. CN=求：當時，求點到平面的距離.解：以，分別為軸、軸，垂直于，的為軸建立空間直角坐標系，則有：、，則，設向量與平面垂直，則有取向量在上的射影長即為到平面的距離，設為，于是從以上可以看出，在構造點到平面的距離時須結合具體的空間圖形特征，選擇恰當?shù)姆椒?，充分發(fā)揮空間圖形的想象力，就一定能克服此類空間距離求解的思維障礙。特別是用坐標向量法求點到平面的距離時不但須要建立恰當?shù)目臻g直角坐標系，以便簡化運算。還須具備很強的計算能力和想象力，這是因為平面法向量通常是不在圖中畫出?？傊畮熒谄綍r解題訓練當中善于歸納總結就一定能培養(yǎng)自己數(shù)學思維的深刻

9、性和靈活性。參考文獻:1 游少華立體幾何距離計算中的一些轉(zhuǎn)化策略中學數(shù)學,2000 年 12 期點 E 在棱 AB 上移動求：當 E 為 AB 的中點時,求點 E 到面 ACD1 的距離；解：設點到平面D1 的距離為 h，在D1 中，D1，D1，故， 而 h=這里點 E 到面 ACD1 的距離不好找故用等體積法解更方便（3） 坐標向量法求點到平面的距離所謂坐標向量法，就是建立適當?shù)目臻g直角坐標系(本文所建立的都是右手直角坐標系)，把向量用坐標來表示，用向量的坐標形式進行向量的運算， 運用坐標法時，必須首先找出三個基向量，并且這三個基向量兩兩垂直,由此建立空間直角坐標系.進而可出求點到面的距離。這是新教材的一大特色。更是近年來高考的熱點之一。例 5：如圖已知正三棱柱的棱長為 2，底面邊長為 1，是的中點. CN=求：當時，求點到平面的距離.解：以，分別為軸、軸，垂直于，的為軸建立空間直角坐標系，則有：、，則，設向量與平面垂直，則有取向量在上的射影長即為到平面的距離，設為，于是從以上可以看出，在構造點到平面的距離時須結合具體的空間圖形特征，選擇恰當?shù)姆椒?，充分發(fā)揮空間圖形的想象力，就一定能克服此類空間距離求解的思維障礙。特別是用坐標