第七講含絕對值的方程及不等式

1、第七講 含絕對值的方程及不等式從數軸上看，一個數的絕對值就是表示這個數的點離開原點的距離但除零以外，任一個絕對值都是表示兩個不同數的絕對值即一個數與它相反數的絕對值是一樣的由于這個性質，所以含有絕對值的方程與不等式的求解過程又出現了一些新特點本講主要介紹方程與不等式中含有絕對值的處理方法 一個實數a的絕對值記作a，指的是由a所唯一確定的非負實數：含絕對值的不等式的性質： (2)a-ba+ba+b；(3)a-ba-ba+b由于絕對值的定義，所以含有絕對值的代數式無法進行統(tǒng)一的代數運算通常的手法是分別按照絕對值符號內的代數式取值的正、負情況，脫去絕時值符號，轉化為不含絕對值的代數式進行運算，即含有

2、絕對值的方程與不等式的求解，常用分類討論法在進行分類討論時，要注意所劃分的類別之間應該不重、不漏下面結合例題予以分析例1 解方程x-2+2x+1=7分析 解含有絕對值符號的方程的關鍵是去絕對值符號，這可用“零掉絕對值符號再求解解(1)當x2時，原方程化為(x-2)+(2x+1)=7，-(x-2)+(2x+1)=7應舍去-(x-2)-(2x+1)=7說明 若在x的某個范圍內求解方程時，若求出的未知數的值不屬于此范圍內，則這樣的解不是方程的解，應舍去例2 求方程x-2x+1=3的不同的解的個數為只含有一個絕對值符號的方程然后再去掉外層的絕對值符號求解x-(2x+1)=3，即 1+x=3，所以 x=

3、2或x=-4 x+(2x+1)=3，即 3x+1=3，的個數為2 例3 若關于x的方程x-2-1=a有三個整數解則a的值是多少？解 若a0，原方程無解，所以a0由絕對值的定義可知x-2-1=±a，所以 x-2=1±a(1)若a1，則x-2=1-a0，無解x-2=1a，x只能有兩個解x=3+a和x=1-a(2)若0a1，則由x-2=1+a，求得x=1-a或x=3+a；由x-2=1-a，求得x=1+a或x=3-a原方程的解為x=3+a，3-a，1+a，1-a，為使方程有三個整數解，a必為整數，所以a只能取0或1當a=0時，原方程的解為x=3，1，只有兩個解，與題設不符，所以a0

4、當a=1時，原方程的解為x=4，0，2，有三個解綜上可知，a=1例4 已知方程x=ax+1有一負根，且無正根，求a的取值范圍解 設x為方程的負根，則-x=ax+1，即所以應有a-1反之，a-1時，原方程有負根設方程有正根x，則x=ax1，即所以a1反之，a1時，原方程有正根綜上可知，若使原方程有一負根且無正根，必須a1例5 設求x+y分析 從絕對值的意義知兩個非負實數和為零時，這兩個實數必須都為零解 由題設有把代入得解之得y=-3，所以x=4故有x+y=4-3=1例6 解方程組分析與解 由得x-y=1或x-y=-1，即x=y+1或x=y-1與結合有下面兩個方程組解()：把x=y+1代入x+2y

5、=3得y+1+2y=3組()的解為同理，解()有故原方程組的解為例7 解方程組解 由得x+y=x-y+2因為x-y0，所以x+y0，所以x+y=x+y 把代入有x+y=x+2，所以y=2將之代入有x-2=x，所以x-2=x， 或 x-2=-x 無解，所以只有解得x=1故為原方程組的解說明 本題若按通常的解法，區(qū)分x+y0和x+y0兩種情形，把方程分成兩個不同的方程x+y=x+2和-(x+y)=x+2，對方程也做類似處理的話，將很麻煩上面的解法充分利用了絕對值的定義和性質，從方程中發(fā)現必有x+y0，因而可以立刻消去方程中的絕對值符號，從而簡化了解題過程例8 解不等式x-5-2x+31 x5，x5

6、-(x-5)-(2x+3)1，-(x-5)-(2x+3)1，(3)當x5時，原不等式化為x-5-(2x+3)1，解之得x-9，結合x5，故x5是原不等式的解的解 例9 解不等式13x-52分析與解 此不等式實際上是解 對3x-51：對3x-52：所以與的公共解應為例 10 解不等式x+3-x-33解 從里往外去絕對值符號，將數軸分為x-3，-3x3，x3三段來討論，于是原不等式化為如下三個不等式組即 x-3即 x3說明 本題也可以由外向內去絕對值符號，由絕對值的意義，解下面兩個不等式分別解出和即可，請同學們自己完成這個解法例11 當a取哪些值時，方程x+2+x-1=a有解？解法1 (1)當x-2時，x+2+x-1=-2x-1-2(-2)-1=3(2)當-2x1時，x+2+x-1=x+2-x+1=3(3)當x1時，x+2+x-1=2x+12·1+1=3所以，只有當a3時，原方程有解解法2 按照絕對值的性質a-ba+b，故x+2+x-1(x+2)-(x-1)=3其中等號當-2x1時成立，所以當a3時，原方程有解練習七1解下列方程：(1)x+3-x-1=x+1；(2)1+x-1=3x；(