線性代數(shù)公式大全-

1、線性代數(shù)公式大全1、行列式1. n 行列式共有 n 2 個元素,展開后有 n ! 項,可分解為 2n行列式;2. 代數(shù)余子式的性質(zhì):、A ij 和 a ij 的大小無關(guān);、某行(列的元素乘以其它行(列元素的代數(shù)余子式為 0;、某行(列的元素乘以該行(列元素的代數(shù)余子式為 A ;3. 代數(shù)余子式和余子式的關(guān)系: M = ( 1 i + j AA = ( 1i + jMijijijij4. 設(shè) n 行列式 D :將 D 上、下翻轉(zhuǎn)或左右翻轉(zhuǎn),所得行列式為 D ,則 D = ( 1 n ( n 1D ;21 1n ( n 1將 D 順時針或逆時針旋轉(zhuǎn) 90o,所得行列式為 D 2 ,則 D 2 =

2、( 1 2 D ;將 D 主對角線翻轉(zhuǎn)后(轉(zhuǎn)置,所得行列式為 D 3 ,則 D 3 = D ;將 D 主副角線翻轉(zhuǎn)后,所得行列式為 D 4 ,則 D 4 = D ;5. 行列式的重要公式:、主對角行列式:主對角元素的乘積;n ( n 1、副對角行列式:副對角元素的乘積 × (12;、上、下三角行列式( = :主對角元素的乘積;:副對角元素的乘積 × (1 n ( n 1、 和 2 ;、拉普拉斯展開式:A O = AC =、C A = O A= ( 1m nC B O B B O B C 、范德蒙行列式:大指標減小指標的連乘積;、特征值;n6.對于 n 階行列式 A ,恒有:

3、 E A = n+ (1kS k n k ,其中 S k 為 k 階主子式;k =17. 證明 A = 0 的方法:、 A = A ;、反證法;、構(gòu)造齊次方程組 Ax = 0 ,證明其有非零解;、利用秩,證明 r ( A < n ;、證明 0是其特征值;2、矩陣1. A 是 n 階可逆矩陣: A 0(是非奇異矩陣;r ( A = n (是滿秩矩陣 A 的行(列向量組線性無關(guān);齊次方程組 Ax = 0 有非零解;b R n, Ax = b 總有唯一解; A 與 E等價; A 可表示成若干個初等矩陣的乘積;1A 的特征值全不為0;A T A 是正定矩陣;A 的行(列向量組是R n的一組基;A

4、 是 R n中某兩組基的過渡矩陣;2.對于n階矩陣A:AA*=A*A= A E無條件恒成立;3.( A1 *= ( A* 1( A1 T= ( A T 1( A* T= ( A T *( AB T=B T A T( AB*=B*A*( AB 1=B1A14.矩陣是表格,推導(dǎo)符號為波浪號或箭頭;行列式是數(shù)值,可求代數(shù)和;5.關(guān)于分塊矩陣的重要結(jié)論,其中均A、B可逆:A1A2若A=,則:O As、A=A12L A s;A1A1、A1=2A O 1A1、=OO BO A 1O、=1B O AA C 1A1、=OO B;OA s1O;(主對角分塊B1B1;(副對角分塊O A1 CB1;(拉普拉斯B1A

5、 O 1A1O、=11B1;(拉普拉斯C BB CA3、矩陣的初等變換與線性方程組E r O;1. 一個m×n矩陣A,總可經(jīng)過初等變換化為標準形,其標準形是唯一確定的:F=OOm×n 等價類:所有與A等價的矩陣組成的一個集合,稱為一個等價類;標準形為其形狀最簡單的矩陣;對于同型矩陣A、B,若r(A=r(B A B;2.行最簡形矩陣:、只能通過初等行變換獲得;、每行首個非 0元素必須為 1;、每行首個非 0 元素所在列的其他元素必須為 0;3.初等行變換的應(yīng)用:(初等列變換類似,或轉(zhuǎn)置后采用初等行變換1 、若(A,Er( E , X ,則A可逆,且X=A1;c、對矩陣(A,B

6、做初等行變化,當A變?yōu)镋時,B就變成A1B,即:(A,B( E , A1B ;r、求解線形方程組:對于n個未知數(shù)n個方程Ax=b,如果(A,b( E , x ,則A可逆,且x=A1b;4.初等矩陣和對角矩陣的概念:、初等矩陣是行變換還是列變換,由其位置決定:左乘為初等行矩陣、右乘為初等列矩陣;212、 =,左乘矩陣 A , 乘 A 的各行元素;右乘, 乘 A 的各列元素;Oiin1 1 1、對調(diào)兩行或兩列,符號 E ( i , j ,且 E ( i , j 1= E ( i , j ,例如: 1 = 1 ;1 111 111、倍乘某行或某列,符號 E ( i ( k ,且 E ( i ( k

7、1= E ( i ( ,例如:k=( k 0 ;kk111 k 11k、倍加某行或某列,符號 E ( ij ( k ,且 E ( ij ( k 1= E ( ij ( k ,如:1=1( k 0 ;115. 矩陣秩的基本性質(zhì):、 0 r ( A m × n min( m , n ;、 r ( A T = r ( A ;、若 A B ,則 r ( A = r ( B ;、若 P 、 Q 可逆,則 r ( A = r ( PA = r ( AQ = r ( PAQ ;(可逆矩陣不影響矩陣的秩、 max( r ( A , r ( B r ( A , B r ( A + r ( B ;(、

8、r ( A + B r ( A + r ( B ;(、 r ( AB min( r ( A , r ( B ;(、如果 A 是 m × n 矩陣, B 是 n × s 矩陣,且 AB = 0 ,則:(、 B 的列向量全部是齊次方程組 AX = 0 解(轉(zhuǎn)置運算后的結(jié)論;、 r ( A + r ( B n、若 A 、 B 均為 n 階方陣,則 r ( AB r ( A + r ( B n ;6. 三種特殊矩陣的方冪:、秩為 1 的矩陣:一定可以分解為列矩陣(向量 × 行矩陣(向量的形式,再采用結(jié)合律;1 a c 、型如 0 1 b 的矩陣:利用二項展開式;1n二項展

9、開式: ( a + b n = C n 0 a n + C 1n a n 1 b 1 + L + C n m a n m b m + L + C n n 1 a 1 b n 1 + C n n b n =C n m a m b n m ; m =0注:、 ( a + b n 展開后有 n +1 項;、 C n m = n ( n 1 LL ( n m +1 =n !C n 0 = C n n= 11 2 3 L mm !( n m !n、組合的性質(zhì): C n m= C n n mC n m+ 1 = C nm+ C nm 1C n r= 2nrC n r= nC n r 11;r =0、利用特

10、征值和相似對角化:7. 伴隨矩陣:n r ( A = n* r ( A = n 1 ;、伴隨矩陣的秩: r ( A =1r ( A < n 13* 1 、伴隨矩陣的特征值： A ( AX = X , A = A A * A X = A X ； 、 A* = A A1 、 A* = A n1 8. 關(guān)于 A 矩陣秩的描述： 、 r ( A = n ， A 中有 n 階子式不為 0， n +1 階子式全部為 0；（兩句 話）、 r ( A < n ， A 中有 n 階子式全部為 0；、 r ( A n ， A 中有 n 階子式不為 0； 9. 線性方程組： Ax = b ，其中 A 為

11、 m × n 矩陣，則： 、 m 與方程的個數(shù)相同，即方程組 Ax = b 有 m 個方程； 、 n與方程組得未知數(shù)個數(shù)相同，方程組 Ax = b 為 n元方程； 10. 線性方程組 Ax = b 的求解：、對增廣矩陣 B 進行初等行 變換（只能使用初等行變換）；、齊次解為對應(yīng)齊次方程組 的解；、特解：自由變量賦初值后求得； 11. 由 n個未知數(shù) m 個方程的方程組構(gòu)成 n 元線性方程： a11 x1 + a12 x2 +L+ a1 n x n = b1 a 21 1 x +a 、 22 x +L+ a 2 2n x n = b2 ； n a a11 a M x+a m1 1 LL

12、LLLLLLLLL x +L + a x =b m2 2 nm n a 12 、 21 a 22 L a1 n L a 2n x1 b1 x b 2 a m1 a M m2 O M MM = 2 Ax = b（向量方程， A 為 m × n 矩陣， m 個方程， n 個未知數(shù)） La x mn m b m 、 (a 1 a L a) 2 x1 x n M 2 = （全部按列分塊，其中 = 2 b1 b M ）； x n b n 、 a1 x1 + a2 x2 +L + a n xn = （線性表出） 、有解的充要條件： r ( A = r ( A, n （ n為未知數(shù)的個數(shù)或維數(shù)）

13、4、向量組的線性相關(guān)性 1.m 個 n 維列向量所組成的向量組 A ： 1 , 2 ,L, m 構(gòu)成 n × m 矩陣 A = (1 , 2 ,L, m ； T m 個 n 維行向量所組成的向量組 B ： 1 , 2 , L, m 構(gòu)成 m × n 矩陣 B T = 2 ； M T T T 1 T m 含有有限個向量的有序向量組與矩陣一一對應(yīng)； 2. 、向量組的線性相關(guān)、無關(guān)Ax = 0 有、無非零解；（齊次線性方程組） 、向量的線性表出 Ax = b是否有解；（線性方程組） 、向量組的相互線性表示 AX = B 是否有解；（矩陣方程） 矩陣 Am T × 3.

14、n 與 Bl ×n 行向量組等價的充分必要條件是：齊次方程組 Ax = 0 和 Bx = 0 同解；( P101 例 14 4. 5. r ( A A = r ( A ；( P101 例 15 、 線性相關(guān) n維向量線性相關(guān)的幾何意義： =0； 、 , 線性相關(guān) , 坐標成比例或共線（平行）； 4 、 , , 線性相關(guān) 6. , , 共面； 線性相關(guān)與無關(guān)的兩套定理： 若 1 , 2 , L, s 線性相關(guān)，則 1 , 2 , L, s , s+1 必線性相關(guān)； 若 1 , 2 , L, s 線性無關(guān)，則 1 , 2 , L, s1 必線性無關(guān)；（向量的個數(shù)加加減減，二者為對偶） 若

15、 r 維向量組 A 的每個向量上添上 n r 個分量，構(gòu)成 n 維向量組 B ： 若 A 線性無關(guān)，則 B 也線性無關(guān)；反之若 B 線性相關(guān)，則 A 也線性相關(guān)；（向量組的維數(shù)加加減減）簡 言之：無關(guān)組延長后仍無關(guān)，反之，不確定； 7. 向量組 A （個數(shù)為 r ）能由向量組 B （個數(shù)為 s ）線性表示，且 A 線性無關(guān)，則 r s (二版 P74 定理 7；向量組 A 能由向量組 B 線性表示，則 r ( A r ( B ；（ P86 定理 3）向量組 A 能由向量組 B 線性表示 AX = B 有解； r ( A = r ( A, B （ P85 定理 2） 向量組 A 能由向量組 B

16、等價 r ( A = r ( B = r( A, B （ P85 定理 2 推論） 8. 方陣 A 可逆 存在有限個初等矩陣 P1 , P2 ,L, Pl ，使 A = P1 P2 LPl ； r 、矩陣行等價： A B c PA = B （左乘， P 可逆） Ax = 0 與 Bx = 0 同解 、矩陣列等價： A B AQ = B （右乘， Q 可逆）；、矩 陣等價： A B PAQ = B （ P 、 Q 可逆）； 9. 對于矩陣 Am × n 與 Bl × n ：、若 A 與 B 行等價，則 A 與 B 的行秩相等； 、若 A 與 B 行等價，則 Ax = 0 與

17、Bx = 0 同解，且 A 與 B 的任何對應(yīng)的列向量組具有相同的線性相關(guān) 性；、矩陣的初等變換不改變矩陣的秩；、矩陣 A 的行秩等于列秩； 10. 若 Am × s Bs × n = Cm × n ，則： 、 C 的列向量組能由 A 的列向量組線性表示， B 為系數(shù)矩陣；、 C 的行向量組能由 B 的行向量組線性表示， AT 為系數(shù)矩陣；（轉(zhuǎn)置） 11. 齊次方程組 Bx = 0 的解一定是 ABx = 0 的解，考試中可以直接作為定理使用，而無需證明； 、 ABx = 0 只有零解 Bx = 0 只有零解；、 Bx = 0 有非零解 ABx = 0 一定存在非

18、零解； 12. 設(shè)向量組 Bn × 論） r : b1 , b2 , L, br 可由向量組 An × s : a1 , a2 ,L, as 線性表示為：（ P110 題 19 結(jié) ( b1 , b2 ,L , br = (a1 , a 2 ,L, a s K （ B = AK ） 其中 K 為 s × r ，且 A 線性無關(guān)，則 B 組線性無關(guān) r ( K = r ；（ B 與 K 的列向量組具有相同線性 相關(guān)性）（必要性：Q r = r ( B = r ( AK r ( K , r ( A = m 、 Q 的列向量線性無關(guān)； r( K r, r( K = r ；充分性：反證 法） （ 87 r(P A =） n 、 P 的行向量線性無關(guān)； 注：當 r = s 時， K 為方陣，可當作 定理使用； 13. 、對矩陣 Am × n ，存在 Qn× m ， AQ = Em 、對 矩陣 Am × n ，存在 Pn × m ， PA = En 14. 1 , 2 ,L, s 線性相關(guān) 存在一組不全為 0 的數(shù) k1 , k x1 (1 ,