第五講.平面向量的解題技巧

1、第五講 平面向量的解題技巧【例題解析】1. 向量的概念，向量的基本運(yùn)算(1)理解向量的概念，掌握向量的幾何意義，了解共線向量的概念.(2)掌握向量的加法和減法.(3)掌握實(shí)數(shù)與向量的積，理解兩個(gè)向量共線的充要條件.(4)了解平面向量的基本定理，理解平面向量的坐標(biāo)的概念，掌握平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算.(5)掌握平面向量的數(shù)量積及其幾何意義,了解用平面向量的數(shù)量積可以處理有關(guān)長(zhǎng)度、角度和垂直的問(wèn)題,掌握向量垂直的條件.(6)掌握平面兩點(diǎn)間的距離公式.例1（2007年北京卷理）已知是所在平面內(nèi)一點(diǎn)，為邊中點(diǎn)，且，那么（）命題意圖:本題考查能夠結(jié)合圖形進(jìn)行向量計(jì)算的能力解： 故選A例2在中，M為BC的中點(diǎn)，

2、則_.（用表示）命題意圖: 本題主要考查向量的加法和減法,以及實(shí)數(shù)與向量的積.解：，所以,.例3（2006年廣東卷）如圖1所示，D是ABC的邊AB上的中點(diǎn)，則向量( )（A） （B） （C） （D）命題意圖: 本題主要考查向量的加法和減法運(yùn)算能力.解：，故選A.例4 ( 2006年重慶卷)與向量=的夾解相等，且模為1的向量是 ( )(A) (B) 或（C） （D）或命題意圖: 本題主要考查平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算和用平面向量處理有關(guān)角度的問(wèn)題.解：設(shè)所求平面向量為由另一方面,當(dāng)當(dāng)故平面向量與向量=的夾角相等.故選B. 例5設(shè)向量與的夾角為，且，則_命題意圖: 本題主要考查平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算和平面向量

3、的數(shù)量積,以及用平面向量的數(shù)量積處理有關(guān)角度的問(wèn)題.解: 例6.已知向量，是不平行于軸的單位向量，且，則= （） （A） （B） （C） （D） 命題意圖: 本題主要考查應(yīng)用平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算和平面向量的數(shù)量積,以及方程的思想解題的能力.解:設(shè)，則依題意有故選B.例7.設(shè)平面向量、的和.如果向量、，滿足，且順時(shí)針旋轉(zhuǎn)后與同向，其中，則（ ）（A） （B）（C） （D）命題意圖: 本題主要考查向量加法的幾何意義及向量的模的夾角等基本概念.常規(guī)解法：， 故把2 (i=1,2,3)，分別按順時(shí)針旋轉(zhuǎn)30后與重合，故，應(yīng)選D.巧妙解法：令=，則=，由題意知=，從而排除B，C，同理排除A，故選(D).點(diǎn)

4、評(píng)：巧妙解法巧在取=，使問(wèn)題簡(jiǎn)單化.本題也可通過(guò)畫圖,利用數(shù)形結(jié)合的方法來(lái)解決.2. 平面向量與三角函數(shù),解析幾何等問(wèn)題結(jié)合(1) 平面向量與三角函數(shù)、三角變換、數(shù)列、不等式及其他代數(shù)問(wèn)題，由于結(jié)合性強(qiáng)，因而綜合能力較強(qiáng)，所以復(fù)習(xí)時(shí)，通過(guò)解題過(guò)程，力爭(zhēng)達(dá)到既回顧知識(shí)要點(diǎn)，又感悟思維方法的雙重效果，解題要點(diǎn)是運(yùn)用向量知識(shí)，將所給問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問(wèn)題求解.(2)解答題考查圓錐曲線中典型問(wèn)題，如垂直、平行、共線等，此類題綜合性比較強(qiáng)，難度大.例8設(shè)函數(shù)f(x)=a-b,其中向量a=(m,cos2x),b=(1+sin2x,1),xR,且函數(shù)y=f(x)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，（）求實(shí)數(shù)m的值；（）求函數(shù)f(x)

5、的最小值及此時(shí)x的值的集合.解：（），由已知，得（）由（）得，當(dāng)時(shí)，的最小值為，由，得值的集合為例2設(shè)函數(shù).其中向量.（）求實(shí)數(shù)的值;（）求函數(shù)的最小值.解：（），得（）由（）得，當(dāng)時(shí)，的最小值為例9（2007年湖北卷理16）已知的面積為，且滿足，設(shè)和的夾角為（I）求的取值范圍；（II）求函數(shù)的最大解：（）設(shè)中角的對(duì)邊分別為，則由，可得，（），即當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，例10已知ABC的三個(gè)頂點(diǎn)的直角坐標(biāo)分別為A(3,4)、B(0,0)、(c,0) （1）若c=5，求sinA的值；（2）若A為鈍角，求c的取值范圍；解：（1），若c=5， 則，sinA；（2）A為鈍角，則解得，c的取值范圍是例11在中，角

6、的對(duì)邊分別為（1）求；（2）若，且，求解：（1） 又解得，是銳角（2），又例12.設(shè)函數(shù)，其中向量, . （）求函數(shù)的最大值和最小正周期； （）將函數(shù)的圖像按向量平移，使平移后得到的圖像關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)成中心對(duì)稱，求長(zhǎng)度最小的.命題意圖:本小題主要考查平面向量數(shù)量積的計(jì)算方法、三角公式、三角函數(shù)的性質(zhì)及圖像的基本知識(shí)，考查推理和運(yùn)算能力. 解：()由題意得，f(x)·()=(sinx,cosx)·(sinxcosx,sinx3cosx) sin2x2sinxcosx+3cos2x2+cos2xsin2x2+sin(2x+).所以，f(x)的最大值為2+，最小正周期是.（）由si

7、n(2x+)0得2x+k.，即x,kZ，于是（，2），kZ.因?yàn)閗為整數(shù)，要使最小，則只有k1，此時(shí)（，2）即為所求.例13已知向量(sin，1)，(1，cos)，（）若，求；（）求的最大值命題意圖:本小題主要考查平面向量數(shù)量積和平面向量的模的計(jì)算方法、以及三角公式、三角函數(shù)的性質(zhì)等基本知識(shí)，考查推理和運(yùn)算能力.解：（）若，則sincos0，由此得 tan1()，所以 ；（）由(sin，1)，(1，cos)得，當(dāng)sin()1時(shí)，|ab|取得最大值，即當(dāng)時(shí)，|ab|最大值為1例14（2006年陜西卷）如圖，三定點(diǎn)三動(dòng)點(diǎn)D、E、M滿足 （I）求動(dòng)直線DE斜率的變化范圍；（II）求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程。

8、命題意圖:本小題主要考查平面向量的計(jì)算方法、三角公式、三角函數(shù)的性質(zhì)及圖像和圓錐曲線方程的求法等基本知識(shí)，考查推理和運(yùn)算能力.解法一: 如圖, ()設(shè)D(x0,y0),E(xE,yE),M(x,y).由=t, = t , yxOMDABC11212BE圖3知(xD2,yD1)=t(2,2). 同理 . kDE = = = 12t.t0,1 , kDE1,1.() =t (x+2t2,y+2t1)=t(2t+2t2,2t1+2t1)=t(2,4t2)=(2t,4t22t). , y= , 即x2=4y. t0,1, x=2(12t)2,2.即所求軌跡方程為: x2=4y, x2,2解法二: ()

9、同上.() 如圖, =+ = + t = + t() = (1t) +t, = + = +t = +t() =(1t) +t, = += + t= +t()=(1t) + t = (1t2) + 2(1t)t+t2 .設(shè)M點(diǎn)的坐標(biāo)為(x,y),由=(2,1), =(0,1), =(2,1)得 消去t得x2=4y, t0,1, x2,2.故所求軌跡方程為: x2=4y, x2,2例15（2006年全國(guó)卷II）已知拋物線x24y的焦點(diǎn)為F，A、B是拋物線上的兩動(dòng)點(diǎn)，且（0）過(guò)A、B兩點(diǎn)分別作拋物線的切線，設(shè)其交點(diǎn)為（）證明·為定值；（）設(shè)ABM的面積為S，寫出Sf()的表達(dá)式，并求S的最

10、小值命題意圖:本小題主要考查平面向量的計(jì)算方法、和圓錐曲線方程,以及函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用等基本知識(shí)，考查推理和運(yùn)算能力.解：()由已知條件，得F(0，1)，0設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)由，即得(x1，1y)(x2，y21)， 將式兩邊平方并把y1x12，y2x22代入得y12y2 解、式得y1，y2，且有x1x2x224y24，拋物線方程為yx2，求導(dǎo)得yx所以過(guò)拋物線上A、B兩點(diǎn)的切線方程分別是yx1(xx1)y1，yx2(xx2)y2，即yx1xx12，yx2xx22解出兩條切線的交點(diǎn)M的坐標(biāo)為(，)(，1) 所以·(，2)·(x2x1，y2y1)(x22x12)

11、2(x22x12)0.所以·為定值，其值為0()由()知在ABM中，F(xiàn)MAB，因而S|AB|FM|FM|因?yàn)閨AF|、|BF|分別等于A、B到拋物線準(zhǔn)線y1的距離，所以|AB|AF|BF|y1y222()2于是S|AB|FM|()3，由2知S4，且當(dāng)1時(shí)，S取得最小值4【專題訓(xùn)練與高考預(yù)測(cè)】一、選擇題1已知的值為（ ）A6B6CD2已知ABC中，點(diǎn)D在BC邊上，且則的值是（ ）ABC3D03把直線按向量平移后，所得直線與圓相切，則實(shí)數(shù)的值為（ A ）A39B13C21D394給出下列命題：·=0，則=0或=0. 若為單位向量且/，則=|·.··

12、=|3. 若與共線，與共線，則與共線.其中正確的個(gè)數(shù)是（ ）A0B1C2D35.在以下關(guān)于向量的命題中，不正確的是（ ）A.若向量a=(x，y)，向量b=(y，x)(x、y0)，則abB.四邊形ABCD是菱形的充要條件是=，且|=|C.點(diǎn)G是ABC的重心，則+=0D.ABC中，和的夾角等于180°A6.若O為平行四邊形ABCD的中心， = 4e1, = 6e2,則3e22e1等于（ ）A. B. C. D.7.將函數(shù)y=x+2的圖象按a=（6，2）平移后，得到的新圖象的解析式為（ ）A.y=x+10B.y=x6 C.y=x+6D.y=x108.已知向量m=(a,b)，向量mn且|m|

13、=|n|,則n的坐標(biāo)為A.（a, b）B.( a,b)C.(b, a)D.( b, a)9.給出如下命題：命題（1）設(shè)e1、e2是平面內(nèi)兩個(gè)已知向量，則對(duì)于平面內(nèi)任意向量a,都存在惟一的一對(duì)實(shí)數(shù)x、y，使a=xe1+ye2成立；命題（2）若定義域?yàn)镽的函數(shù)f(x)恒滿足f(x)=f(x),則f(x)或?yàn)槠婧瘮?shù)，或?yàn)榕己瘮?shù).則下述判斷正確的是（ ）A.命題（1）（2）均為假命題B.命題（1）（2）均為真命題C.命題（1）為真命題，命題（2）為假命題D.命題（1）為假命題，命題（2）為真命題10若|a+b|=|a-b|，則向量a與b的關(guān)系是（ ）A. a=或b= B.|a|=|b| C. ab=0

14、 D.以上都不對(duì)11O是平面上一 定點(diǎn)，A、B、C是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足 則P的軌跡一定通過(guò)ABC的（ ）A外心B內(nèi)心C重心D垂心12 若, , 則=（ ）A 4 B 15 C 7 D 3二、填空題1已知與的夾角為60°，則與的夾角余弦為 .2 已知（4,2,x），(2,1,3),且，則x .3 向量 ，則和所夾角是 4 已知A(1, 0, 0), B(0, 1, 0 ), C(0, 0, 1), 點(diǎn)D滿足條件：DBAC, DCAB, AD=BC, 則D的坐標(biāo)為 .5 設(shè)是直線，是平面，向量在上，向量在上，則所成二面角中較小的一個(gè)的大小為 三、解答題1.ABC中，三個(gè)內(nèi)角

15、分別是A、B、C，向量時(shí)，求.2.在平行四邊形ABCD中，A（1，1），點(diǎn)M是線段AB的中點(diǎn)，線段CM與BD交于點(diǎn)P.（1）若求點(diǎn)C的坐標(biāo)；（2）當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)P的軌跡.3.平面內(nèi)三個(gè)力，作用于同丄點(diǎn)O且處于平衡狀態(tài)，已知，的大小分別為1kg，kg，、的夾角是45°，求的大小及與夾角的大小.4.已知a，b都是非零向量，且a+3b與7a5b垂直，a4b與7a2b垂直，求a與b的夾角.5.設(shè)a=(1+cos,sin), b=(1cos,sin),c=(1,0),(0,)(,2),a與c的夾角為1，b與c的夾角為2,且12=，求sin.6.已知平面向量a=（，1），b=（，）.(1)證明：ab

16、；(2)若存在實(shí)數(shù)k和t，使得x=a+(t23)b,y=ka+tb,且xy，試求函數(shù)關(guān)系式k=f(t);(3)根據(jù)（2）的結(jié)論，確定k=f(t)的單調(diào)區(qū)間.【參考答案】一、選擇題1.B 2D 3A4A5. 答案：C提示：若點(diǎn)G是ABC的重心，則有+=0，而C的結(jié)論是+=0，顯然是不成立的，選C.6.B 7.B 8.C 9.A 10. C 11B 12D二、填空題1 2 2 360° 4（1，1，1）或 53解：由, ,有，, 解得, 4.解：設(shè)D(x, y, z), 則，（x-1, y, z）,(-1, 0, 1), (-1,1, 0), (0, -1, 1) 又DBAC-x+z=0

17、, DCAB-x+y=0, AD=BC 聯(lián)立解得x=y=z=1或x=y=z=所以D點(diǎn)為（1，1，1）或。三、解答題1，2.解：（1）設(shè)點(diǎn)C坐標(biāo)為（, 又,即. . 即點(diǎn)C（0，6）. （2）解一：設(shè)，則 . ABCD為菱形.故點(diǎn)P的軌跡是以（5，1）為圓心，2為半圓去掉與直線的兩個(gè)交點(diǎn). 解法二： D的軌跡方程為.M為AB中點(diǎn), 的比為 .設(shè).的軌跡方程 .整理得.故點(diǎn)P的軌跡是以（5，1）為圓心，2為半徑的圓去掉與直線的兩個(gè)交點(diǎn).3.設(shè)與的合力為，則|F|=|F3|.FF1F2F3OF1OF2=45° FF1O=135°.在OF1F中，由余弦定理=.又由正弦定理，得.F1OF=30° 從而F1與F3的夾角為150°.答：F3的大小是（+1）kg,F1與F3的夾角為150°.4.解：a+3b與7a5b垂直，a4b與7a2b垂直，(a+3b)·(7a5b)=0，(a4b)·(7a2b) =0. 即 兩式相減：a·b=|b|2，代入得|a|2=|b|2.cos=.=60°，即a與b的夾角為60°.5.解：a=(2cos2,2sin