王老師微分法建模第1次作業(yè)

1、請解決文中出現(xiàn)的問題。血 管 分 支血液在動物的血管中一刻不停地流動，為了維持血液循環(huán)動物的機(jī)體要提供能量。能量的一部分用于供給血管壁以營養(yǎng)，中一部分用來克服血液流動受到的阻力。消耗的總能量顯然與血管系統(tǒng)的幾何形狀有關(guān)。在長期的生物進(jìn)化過程中，高級動物血管系統(tǒng)的幾何形狀應(yīng)該已經(jīng)達(dá)到消耗能量最小原則下的優(yōu)化標(biāo)準(zhǔn)了。我們不可能討論整個血管系統(tǒng)的幾何形狀，這會涉及太多的生理學(xué)知識。下面的模型只研究血管分支處粗細(xì)血管半徑的比例和分岔角度，在消耗能量最小原則應(yīng)該取什么樣的數(shù)值。模型假設(shè)1.一條粗血管在分支點(diǎn)處分成兩條血管，分支點(diǎn)附近三條血管在同一平面上，有一對稱軸。因?yàn)槿绻辉谝粋€平面上，血管總長度必然

2、增加，導(dǎo)致能量消耗增加，不符合最優(yōu)原則。這是一條幾何上的假設(shè)。 2.在考察血液流動受到的阻力時，將這種流動視為粘性流體在剛性管道中的運(yùn)動。這當(dāng)然是一種近似，實(shí)際上血管是有彈性的，不過這種近似的影響不大，這是一條物理上的假設(shè)。 3.血液對血管壁提供營養(yǎng)的能量隨管壁內(nèi)表面積及管壁所占體積的增加而增加。管壁所占體積又取決于管壁厚度，而厚度近似地與血管半徑成正比。這是一條生理上的假設(shè)。根據(jù)假設(shè)1，血管分支示意圖如圖44所示。一條粗血管與兩條細(xì)血管在點(diǎn)分岔，并形成對稱的幾何形狀。設(shè)粗細(xì)血管半徑分別是和，分岔處夾角是?？疾扉L度為的一段粗血管和長度為的兩條細(xì)血管和，（）的水平和豎直距離為和，如圖所示。再設(shè)血

3、液在粗細(xì)血管中單位時間的流量分別為和，顯然。圖44血管分支示意圖假設(shè)2使我們可以利用流體力學(xué)關(guān)于粘性流體在剛性管道中流動時所受阻力的定律，即阻力與流量的平方成正比，與半徑的4次方成正比。所以血液在粗細(xì)血管中流動的阻力分別為和，是比例系數(shù)。假設(shè)3比較復(fù)雜，需要作進(jìn)一步簡化。對于半徑為、長度為的血管，管壁內(nèi)表面積，管壁所占體積，其中是管壁截面積。記壁厚為，則。設(shè)壁厚近似地與半徑成正比，綜合考慮管壁內(nèi)表面積和管壁所占體積對能量消耗的影響，可假設(shè)單位長度血管壁提供營養(yǎng)的能量為，是比例系數(shù)。能量的消耗與內(nèi)表面積和管壁所占體積都有關(guān)系，綜合起來，可設(shè)，。模型建立根據(jù)上述假設(shè)及對假設(shè)的進(jìn)一步分析，血液從粗血

4、管點(diǎn)流動到細(xì)血管、兩點(diǎn)的過程中，機(jī)體為克服阻力和供養(yǎng)管壁所消耗的能量為（1）由圖44所示的幾何關(guān)系不難得到，（2）將（2）式代入（1）式，并注意到，能量可表示為、和的函數(shù)，即（3）按照最優(yōu)化原則，和的取值應(yīng)使（3）式表示的達(dá)到最小。由和可以得到（4）從方程（4）可解出（5）再由可得（6）將（5）式代入（6）式，則（7）（5）、（7）兩式就是在能量消耗最小原則下血管分岔處幾何形狀的結(jié)果。取和，可以算出和的大致范圍為，（8）模型檢驗(yàn)這里只提供檢驗(yàn)?zāi)Ｐ偷囊粋€依據(jù)。記動物的大動脈和最細(xì)的毛細(xì)血管的半徑分別為和，設(shè)從大動脈到毛細(xì)血管共有次分岔，將（5）式反復(fù)利用次可得（9）的實(shí)際數(shù)值可以測出，例如對狗而

5、言有，由（9）式可知。因?yàn)?，所以按照這個模型，狗的血管應(yīng)有次分岔。又因?yàn)楫?dāng)血管有次分岔時血管總條數(shù)為，所以估計狗應(yīng)有，即條血管。這樣得到的數(shù)據(jù)可以從一個方面驗(yàn)證模型。作業(yè)題1 請寫出的推導(dǎo)過程。4.6 消費(fèi)者的選擇在2.5節(jié)實(shí)物交換模型中曾用無差別曲線族來描述人們對兩種物品的滿意和偏愛程度，用圖形的方法確定兩個人進(jìn)行實(shí)物交換時應(yīng)遵循的途徑。本節(jié)要利用無差別曲線族的概念討論，當(dāng)一個消費(fèi)者用一定數(shù)額的錢去購買兩種商品時怎樣的選擇，即他應(yīng)該分別用多少錢去買這兩種商品。記甲乙兩種商品的數(shù)量分別是和，當(dāng)消費(fèi)者占有它們時的滿意程度，或者說它們給消費(fèi)者帶來的效用，是和的函數(shù)，記作，經(jīng)濟(jì)學(xué)中稱為效用函數(shù)（Ut

6、ility Function）. (常數(shù))的圖形就是無差別曲線族，如圖45，是一族單調(diào)降、下凸、互不相交的曲線。在每一條曲線上（如上的值高于上的值）。曲線下凸的具體形狀反映了消費(fèi)者對甲乙兩種商品的偏愛情況。這里假定消費(fèi)者的效用函數(shù)，即他的無差別曲線族已經(jīng)確定了。圖45無差別曲線族及消費(fèi)者均衡的圖解法設(shè)甲乙兩種商品的單價分別是和（元），消費(fèi)者有（元）錢。當(dāng)消費(fèi)者用這些錢買這兩種商品時所作的選擇，即分別用多少錢買甲和乙，應(yīng)該使效用函數(shù)達(dá)到最大，即得到最大的滿意度。經(jīng)濟(jì)學(xué)上稱這種最優(yōu)狀態(tài)為消費(fèi)者均衡。因?yàn)楫?dāng)消費(fèi)者對兩種商品的購買量分別為和時，他用的錢分別為和，于是問題歸結(jié)為在條件（1）下求比例，使效

7、用函數(shù)達(dá)到最大。圖46無差別曲線族若為上凸函數(shù)這是二元函數(shù)的條件極值問題，用乘子法不難得到最優(yōu)解應(yīng)滿足（2）當(dāng)效用函數(shù)給定后，由（2）式即可確定最優(yōu)比例。作業(yè)題2 請寫出（2）式的推導(dǎo)過程。上述問題也可用圖形法求解。約束條件（1）在圖45上是一條直線。必與無差別曲線族中的某一條曲線相切（圖中是與相切），則、的最優(yōu)值必在切點(diǎn)處取得。（請讀者說明最優(yōu)值不會在與另一條曲線的交點(diǎn)處取得，直線也不會與兩條無差別曲線相切）。圖解法的結(jié)果與（2）式是一致的。因?yàn)樵谇悬c(diǎn)處直線與曲線的斜率相同，而的斜率是（隱函數(shù)求導(dǎo)法則），的斜率是，在點(diǎn)處，即給出（2）式。經(jīng)濟(jì)學(xué)中、稱為邊際效用，即商品購買量增加一個單位時效用

8、函數(shù)的增量。（2）式表明，消費(fèi)者均衡狀態(tài)在兩種商品的邊際效用之比恰等于它們的價格之比時達(dá)到。從以上的討論可以看出，建立消費(fèi)者均衡模型的關(guān)鍵是確定效用函數(shù)。構(gòu)造效用函數(shù)時應(yīng)注意到它必須滿足如下的條件：條件A所確定的一元函數(shù)是單調(diào)減函數(shù)，且曲線呈下凸?fàn)?。這是無差別曲線的特性（見2.5節(jié)）。條件可以用函數(shù)的更直接的條件代替。即條件B，?？梢则?yàn)證，當(dāng)條件B成立時，條件A必成立。請讀者解釋條件B的實(shí)際意義。作業(yè)題3 請寫出，的經(jīng)濟(jì)學(xué)意義，并說明“條件B成立時，條件A必成立”的理由。下面列舉幾個常用的效用函數(shù)，并分析消費(fèi)者均衡狀態(tài)，即最優(yōu)比例的實(shí)際意義。1 若效用函數(shù)為，（3）根據(jù)（2）式可以求得最優(yōu)比例為（4）結(jié)果表明均衡狀態(tài)下購買兩種商品所用錢的比例，與商品價格比的平方根成正比。同時與效用函數(shù)中的參數(shù)、有關(guān)：越大購買商品甲的錢越少，越大購買商品甲的錢越多。這說明在（3）式給出的效用函數(shù)中，參數(shù)和分別表示消費(fèi)者對商品甲和乙的偏愛程度。于是調(diào)整和可以改變消費(fèi)者對兩種商品的愛好傾向，或者說可以改變無差別曲線的具體形狀。2 若效用函數(shù)為，（5）根據(jù)（2）式可以求得最優(yōu)比例為（4）這表明均衡狀態(tài)下購買兩種商品所用錢的比例與價格無關(guān)，而參數(shù)和分別表示消費(fèi)者對商品甲和乙的偏愛程度。3 設(shè)效用函數(shù)為，（7）對（7）式的求解及結(jié)果分析留作習(xí)題6。應(yīng)用這個模型時，可以根據(jù)上面的分析