電動(dòng)力學(xué)5教案

1、第五章 電磁波的輻射本章重點(diǎn)：1、電磁場(chǎng)的矢勢(shì)和標(biāo)勢(shì)的引入、規(guī)范不變性； 2、達(dá)郎伯方程及推遲勢(shì)的物理意義； 3、矢勢(shì)的展開(kāi)和偶極輻射； 4、電磁場(chǎng)的動(dòng)量守恒。本章難點(diǎn)：1、矢勢(shì)的展開(kāi)和偶極輻射公式的導(dǎo)出； 2、電磁場(chǎng)的動(dòng)量密度張量的引入和意義。引言一 電磁輻射不穩(wěn)定的電荷、電流激發(fā)的電磁場(chǎng)隨時(shí)間變化。有一部分電磁場(chǎng)以波的形式脫離場(chǎng)源向外運(yùn)動(dòng)，這被稱為電磁波的輻射。本章主要研究高頻交變電流產(chǎn)生的電磁輻射。二 引入矢勢(shì)和標(biāo)勢(shì)可以更方便的求解電磁輻射問(wèn)題與靜電場(chǎng)引入電勢(shì)、靜磁場(chǎng)引入標(biāo)勢(shì)相似，為了便于求解普適的場(chǎng)方程，在變化情況下仍然可以引入勢(shì)的概念。但是，由于電場(chǎng)的旋度不為零，這里引入的失勢(shì)、標(biāo)勢(shì)

2、與靜電場(chǎng)情況有很大的不同。三 輻射問(wèn)題的本質(zhì)也是邊值問(wèn)題變化電荷、電流分布激發(fā)電磁場(chǎng)，電磁場(chǎng)又反過(guò)來(lái)影響電荷、電流分布。空間電磁場(chǎng)的分布就在這一對(duì)矛盾相互制約下形成的。變化的電荷、電流分布一般具有邊界，因此在求解時(shí)要考慮它們的邊界條件和邊值關(guān)系。但是，一般情況下這種的邊界情況很復(fù)雜，使得電荷、電流分布無(wú)法確定，因此使得求解問(wèn)題無(wú)法進(jìn)行。在本章我們僅討論電荷、電流分布為已知的輻射問(wèn)題。§5.1 電磁場(chǎng)的矢勢(shì)和標(biāo)勢(shì)一 用勢(shì)描述電磁場(chǎng)本節(jié)使用最普遍的電磁場(chǎng)方程引入矢勢(shì)然后討論電磁輻射問(wèn)題（僅討論均勻介質(zhì)）。（1）矢勢(shì)的引入由于（與靜電場(chǎng)相同），可以引入矢勢(shì)，使得注意： 與靜電場(chǎng)不同的是，這

3、里引入的矢勢(shì)與時(shí)間相關(guān)； 矢勢(shì)的意義與靜電場(chǎng)情況相同，即：（2）標(biāo)勢(shì)的引入在變化電磁場(chǎng)情況，不能象靜電場(chǎng)那樣直接引入標(biāo)量勢(shì)函數(shù)。但是，由 和電場(chǎng)的旋度方程可以得到：， 移項(xiàng)并合并得：因此可以引入標(biāo)量勢(shì)函數(shù)，使得 ，引入后電場(chǎng)強(qiáng)度： 二 規(guī)范變換和規(guī)范不變性1 失勢(shì)和標(biāo)勢(shì)的不唯一性同靜電場(chǎng)相同，這里引入的矢勢(shì)和標(biāo)勢(shì)也不唯一，但是矢勢(shì)和標(biāo)勢(shì)在變化電磁場(chǎng)情況相互間有一定的關(guān)系。2 規(guī)范變換l 規(guī)范：給定一組稱為一種規(guī)范；l 規(guī)范變換：不同規(guī)范之間滿足的變換關(guān)系稱為規(guī)范變換。兩種規(guī)范間的變換關(guān)系式：證明：由于和，和沒(méi)有改變電場(chǎng)和磁場(chǎng)強(qiáng)度，所以 ，即。又：=， 故l 規(guī)范不變性：在規(guī)范變換下電磁場(chǎng)的強(qiáng)度

4、、方程保持不變的性質(zhì)。l 規(guī)范場(chǎng)：運(yùn)動(dòng)方程具有規(guī)范不變性的場(chǎng)稱為規(guī)范場(chǎng)。3 兩種規(guī)范要使勢(shì)函數(shù)減少任意性，必須給出，它的值被稱為規(guī)范的輔助條件。值選擇是任意的，但若選擇的好，可使電磁場(chǎng)的解簡(jiǎn)單，基本方程對(duì)稱或物理意義明顯。庫(kù)侖規(guī)范 規(guī)范條件： （即定義為無(wú)源場(chǎng)）。在這一條件下的稱為庫(kù)侖規(guī)范。在庫(kù)侖規(guī)范下，為橫場(chǎng)，縱場(chǎng)。因此，電場(chǎng)的橫場(chǎng)部分完全有決定，而縱場(chǎng)部分完全有決定。在這種情況下，由電荷、電流的瞬時(shí)分布求解，與靜電場(chǎng)的電勢(shì)類似，因此稱為庫(kù)侖場(chǎng)。滿足的方程： （即滿足拉普拉斯方程）證明：，。洛侖茲規(guī)范規(guī)范條件：。后面將看到在洛侖茲規(guī)范下，所滿足的方程具有高度的對(duì)稱性，這種對(duì)稱性將滿足相對(duì)論的

5、協(xié)變性，有很重要的理論意義。滿足的方程： （即滿足波動(dòng)方程）證明： =，。三 達(dá)朗貝爾方程1 真空中的達(dá)朗貝爾方程 證明：將， 代入麥克斯韋方程： 并利用： 得到達(dá)朗貝爾方程。（詳細(xì)證明過(guò)程由學(xué)生自己補(bǔ)齊）2 庫(kù)侖規(guī)范下的達(dá)朗貝爾方程可見(jiàn)滿足泊松方程，與靜電情況類似，即空間某處的在時(shí)刻的值由電荷在時(shí)刻的分布給出，不能直觀的反映電磁相互作用傳播是非超距的特性。3 洛侖茲規(guī)范下的達(dá)朗貝爾方程 l 反映了電磁場(chǎng)的波動(dòng)性洛侖茲規(guī)范下的達(dá)朗貝爾方程是兩個(gè)波動(dòng)方程，因此由它們求出的及均為波動(dòng)形式，反映了電磁場(chǎng)的波動(dòng)性。l 兩個(gè)方程具有高度的對(duì)稱性且相互獨(dú)立 求出一個(gè)解，另一個(gè)解就迎任而解。在下一節(jié)我們將看

6、到，洛侖茲條件下達(dá)朗貝爾方程的解直接反映出電磁相互作用需要時(shí)間。基于這些考慮，在研究輻射問(wèn)題時(shí)，一般都是采用洛侖茲條件下的達(dá)朗貝爾方程。4 用兩種規(guī)范求解平面電磁波（1）用庫(kù)侖規(guī)范求解因?yàn)槭窃谧杂煽臻g討論問(wèn)題，考慮解的唯一性，=0是唯一的解。庫(kù)侖規(guī)范下的達(dá)朗貝爾方程化為：， 其解為：，由可推出 。因此得到：（2）用洛侖茲規(guī)范求解從洛侖茲規(guī)范下的達(dá)朗伯方程直接可以得到矢勢(shì)和標(biāo)勢(shì)的平面波解：，得到；由，和得到： ；由，得：，與上一章的解完全一致。如果加上這一條件，則得，兩種規(guī)范就完全一致了。在這種情況下，是唯一確定的。§5.2推遲勢(shì)本節(jié)討論空間存在電荷和電流分布情況下洛侖茲達(dá)朗伯方程的解

7、。一 標(biāo)勢(shì)的達(dá)朗伯方程的解標(biāo)勢(shì)方程中為已知。若較復(fù)雜，直接得到一般解比較困難。本節(jié)先從一個(gè)點(diǎn)電荷出發(fā)，然后由迭加原理得到解。1 點(diǎn)電荷在空間激發(fā)的標(biāo)勢(shì)設(shè)點(diǎn)電荷處于原點(diǎn)，考慮對(duì)稱性取球坐標(biāo)且與無(wú)關(guān)。標(biāo)勢(shì)的達(dá)朗伯方程化為： 當(dāng)時(shí)，令這個(gè)類似于一維波動(dòng)方程的解可以表示為：則：，代表向外傳播的球面波，代表向內(nèi)收斂的球面波。由于是討論輻射問(wèn)題可令：，然后與點(diǎn)電荷的電勢(shì)類比有：。若點(diǎn)電荷不在原點(diǎn)而在空間點(diǎn)，則 。連續(xù)的電荷分布在空間產(chǎn)生的電勢(shì)二 矢勢(shì)的解1 矢勢(shì)的解由于滿足的方程形式上與滿足的方程一樣，所以的解應(yīng)當(dāng)是：2 、滿足洛侖茲條件 0。三 推遲勢(shì)及其物理意義1 推遲勢(shì)勢(shì)函數(shù)在空間點(diǎn)，時(shí)刻的值依賴于

8、時(shí)刻的電荷、電流分布，即空間勢(shì)的建立與場(chǎng)源相比推遲了。具有這樣特性的勢(shì)稱為推遲勢(shì)。2 電磁相互作用需要時(shí)間空間點(diǎn)，時(shí)刻的電磁場(chǎng)由時(shí)刻的電荷、電流分布決定。也就是說(shuō)電荷、電流產(chǎn)生的物理作用是經(jīng)歷了時(shí)間后才到達(dá)觀察點(diǎn)，即場(chǎng)的建立需要時(shí)間，而相互作用的傳播速度在真空中為C。§53電偶極輻射l 電磁波是從變化的電荷、電流系統(tǒng)輻射出來(lái)的。宏觀上，主要是利用載有高頻交變電流的天線產(chǎn)生輻射，微觀上，一個(gè)做變速運(yùn)動(dòng)的帶電粒子即可產(chǎn)生輻射。l 為了簡(jiǎn)單，本節(jié)僅討論電荷分布以一定頻率做周期運(yùn)動(dòng)，且電荷體系線度遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于電荷到觀測(cè)點(diǎn)的距離的情況。一 計(jì)算輻射場(chǎng)的一般公式設(shè)電荷、電流分布為隨時(shí)間做正弦或余弦變

9、化，即： 將此式代入推遲勢(shì)的公式后得到（）：令 ，則：上式表示一種時(shí)諧波，這是計(jì)算輻射場(chǎng)矢勢(shì)的一般公式。與穩(wěn)恒電流磁場(chǎng)相比這里附加了一個(gè)因子 ，稱為推遲相因子。用同樣方法可以得到：=。根據(jù)洛侖茲條件可以得到矢勢(shì)與標(biāo)勢(shì)的關(guān)系：，因此只要求出矢勢(shì)即可得到標(biāo)勢(shì)。由上面的結(jié)果得到的電磁場(chǎng)也是時(shí)諧電磁場(chǎng)，即必然有：，如果討論的區(qū)域有關(guān)系式：。二 矢勢(shì)的展開(kāi)1在小電荷、電流區(qū)域的級(jí)數(shù)展開(kāi)設(shè)場(chǎng)點(diǎn)到小區(qū)域電荷、電流中某源點(diǎn)的距離（小區(qū)域的線度），則有（為坐標(biāo)原點(diǎn)到場(chǎng)點(diǎn)的距離）。將在點(diǎn)展開(kāi)： 其中為方向單位矢量。因?yàn)?，所以僅取前兩項(xiàng)而舍去高次項(xiàng)得到： 所以 2求解的一般公式因?yàn)?，所以分母中的可以舍去。但是要注?/p>

10、，相因子中的不能輕易舍去。主要原因是：，相位相對(duì)不一定是小量。利用， 上式即為在的條件下輻射場(chǎng)的一般公式。當(dāng)時(shí)，上式可以僅取積分中的第一項(xiàng)，有：，此式代表的是偶極輻射。3與的關(guān)系 在滿足，的前提下，按與的關(guān)系還可分為三種情況： （1）（近區(qū)），傳播時(shí)間（輻射場(chǎng)的周期）。在這一區(qū)域內(nèi)變化電磁場(chǎng)與靜場(chǎng)性質(zhì)類似。 （2）（感應(yīng)區(qū)） 過(guò)度區(qū)域，電磁場(chǎng)的行為很復(fù)雜，本教材不涉及這方面的內(nèi)容。 （3）（遠(yuǎn)區(qū)） 電磁波在脫離了場(chǎng)源后的傳播區(qū)域，也是我們主要討論的內(nèi)容。 三偶極輻射 1用表示偶極輻射矢勢(shì)公式由，考慮，得到偶極輻射矢勢(shì)公式： 2偶極輻射的電場(chǎng)強(qiáng)度和磁感應(yīng)強(qiáng)度因?yàn)椋?（其中用到，），考慮遠(yuǎn)區(qū)條件，

11、即, 所以有： ，于是。利用可以得到。由此我們得到在條件下偶極輻射的磁感應(yīng)強(qiáng)度： 利用得到偶極輻射的磁感應(yīng)強(qiáng)度： 若選球坐標(biāo)，讓沿軸，則： 討論：（1）電場(chǎng)沿經(jīng)線振蕩，磁場(chǎng)沿緯線振蕩，傳播方向、電場(chǎng)方向、磁場(chǎng)方向相互正交構(gòu)成右手螺旋關(guān)系；（2）電場(chǎng)、磁場(chǎng)正比于，因此它是空間傳播的球面波，且為橫電磁波（TEM波），在 時(shí) 可以近似為平面波；（3）要注意如果（）不能被滿足，可以證明電場(chǎng)不再與傳播方向垂直，即電力線不再閉合，但是磁力線仍閉合。這時(shí)傳播的是橫磁波（TM波）四輻射能流、角分布和輻射功率l 平均能流密度矢量：l 角分布： l 平均功率：P=，與電磁波的頻率4次方成正比。§5.7電

12、磁場(chǎng)的動(dòng)量電磁場(chǎng)與帶電物質(zhì)之間存在相互作用，帶電物質(zhì)在受到電磁場(chǎng)作用時(shí)動(dòng)量會(huì)發(fā)生變化。由于動(dòng)量守恒，電磁場(chǎng)必然也具有動(dòng)量。一電磁場(chǎng)的動(dòng)量密度和動(dòng)量流密度矢量1. 帶電物體受到的電磁力 已知洛侖茲力公式：，則帶電物體受到的電磁力為：令代表帶電物體的動(dòng)量，根據(jù)牛頓第二定律有：。2. 電磁場(chǎng)的動(dòng)量守恒定律設(shè)在區(qū)域V電磁場(chǎng)的動(dòng)量為。l 考慮全空間動(dòng)量守恒，則在全空間帶電物體動(dòng)量的增加率應(yīng)該與電磁場(chǎng)動(dòng)量的減少率相等，即： +l 若對(duì)于有限區(qū)間，則在區(qū)域V內(nèi) +，考慮電磁場(chǎng)通過(guò)界面發(fā)生動(dòng)量轉(zhuǎn)移，則單位時(shí)間流入界面的動(dòng)量應(yīng)該等于區(qū)域內(nèi)總動(dòng)量的變化率，即：?jiǎn)挝粫r(shí)間流入V內(nèi)的動(dòng)量=+。3. 用電磁場(chǎng)量表示洛侖茲力公式將麥?zhǔn)戏匠檀肼鍋銎澚讲⒖紤]=0和=0=上式中：1）, 2）= =（）其中用到（考慮均勻介質(zhì)）：l=，l3）同理：=（）由此得：+4. 動(dòng)量密度與動(dòng)量流密度張量令：, ，則洛侖茲力公式化為： 對(duì)帶電體系所在區(qū)域V積分得： 而根據(jù)動(dòng)量守恒有：+，因?yàn)殡姶艌?chǎng)在V內(nèi)的動(dòng)量 ， 所以稱為動(dòng)量密度（矢量）。因?yàn)閱挝粫r(shí)間流出V的動(dòng)量流，