知識要點空間直角坐標系

1、第5講 空間直角坐標系知識梳理1.右手直角坐標系右手直角坐標系的建立規(guī)則：軸、軸、軸互相垂直，分別指向右手的拇指、食指、中指；已知點的坐標作點的方法與步驟（路徑法）：沿軸正方向（時）或負方向（時）移動個單位，再沿軸正方向（時）或負方向（時）移動個單位，最后沿軸正方向（時）或負方向（時）移動個單位，即可作出點已知點的位置求坐標的方法：過作三個平面分別與軸、軸、軸垂直于，點在軸、軸、軸的坐標分別是，則就是點的坐標2、在軸上的點分別可以表示為，在坐標平面，內(nèi)的點分別可以表示為;3、點關(guān)于軸的對稱點的坐標為點關(guān)于軸的對稱點的坐標為；點關(guān)于軸的對稱點的坐標為；點關(guān)于坐標平面的對稱點為；點關(guān)于坐標平面的對

2、稱點為；點關(guān)于坐標平面的對稱點為；點關(guān)于原點的對稱點。4. 已知空間兩點，則線段的中點坐標為5空間兩點間的距離公式已知空間兩點，則兩點的距離為 ，特殊地,點到原點的距離為;5以為球心,為半徑的球面方程為特殊地,以原點為球心,為半徑的球面方程為重難點突破重點:了解空間直角坐標系，會用空間直角坐標系表示點的位置，會推導(dǎo)和使用空間兩點間的距離公式難點:借助空間想象和通過與平面直角坐標系的類比，認識空間點的對稱及坐標間的關(guān)系重難點: 在空間直角坐標系中，點的位置關(guān)系及空間兩點間的距離公式的使用1借助空間幾何模型進行想象，理解空間點的位置關(guān)系及坐標關(guān)系問題1：點到軸的距離為 解析借助長方體來思考，以點為

3、長方體對角線的兩個頂點，點到軸的距離為長方體一條面對角線的長度，其值為2將平面直角坐標系類比到空間直角坐標系問題2：對于任意實數(shù)，求的最小值解析在空間直角坐標系中，表示空間點到點的距離與到點的距離之和，它的最小值就是點與點之間的線段長，所以的最小值為。3利用空間兩點間的距離公式，可以解決的幾類問題(1)判斷兩條相交直線是否垂直(2)判斷空間三點是否共線(3)得到一些簡單的空間軌跡方程熱點考點題型探析考點1: 空間直角坐標系題型1: 認識空間直角坐標系例1 （1）在空間直角坐標系中，表示 （ ） A軸上的點 B過軸的平面 C垂直于軸的平面 D平行于軸的直線（2）在空間直角坐標系中，方程表示A在坐

4、標平面中，1，3象限的平分線 B平行于軸的一條直線 C經(jīng)過軸的一個平面 D平行于軸的一個平面【解題思路】認識空間直角坐標系,可以類比平面直角坐標系,如在平面直角坐標系坐標系中, 方程表示所有橫坐標為1的點的集合 解析（1）表示所有在軸上的投影是點的點的集合，所以表示經(jīng)過點且垂直于軸的平面 （2）方程表示在任何一個垂直于軸的一個平面內(nèi)，1，3象限的平分線組成的集合【名師指引】(1)類比平面直角坐標系,可以幫助我們認識空間直角坐標系 (2)要從滿足某些特殊條件的點的坐標特征去思考問題。如：經(jīng)過點且垂直于軸的平面上的點都可表示為題型2: 空間中點坐標公式與點的對稱問題例2 點關(guān)于軸的對稱點為，點關(guān)于

5、平面的對稱點為，則的坐標為 【解題思路】類比平面直角坐標系中的對稱關(guān)系，得到空間直角坐標系中的對稱關(guān)系解析因點和關(guān)于軸對稱, 所以點和的豎坐標相同,且在平面的射影關(guān)于原點對稱,故點的坐標為,又因點和關(guān)于平面對稱, 所以點坐標為 【名師指引】解決空間點的對稱問題,一要借助空間想象,二要從它們在坐標平面的射影找關(guān)系,如借助空間想象,在例2中可以直接得出點為點關(guān)于原點的對稱點,故坐標為【新題導(dǎo)練】1已知正四棱柱的頂點坐標分別為，則的坐標為 。解析正四棱柱過點A的三條棱恰好是坐標軸，的坐標為（2，2，5）2平行四邊形的兩個頂點的的坐標為，對角線的交點為，則頂點C的坐標為 , 頂點D的坐標為 解析由已知

6、得線段的中點為,線段的中點也是,由中點坐標公式易得，3已知，記到軸的距離為，到軸的距離為，到軸的距離為，則（ ）A B C D解析借助長方體來思考, 、分別是三條面對角線的長度。，選C考點2：空間兩點間的距離公式題型：利用空間兩點間的距離公式解決有關(guān)問題XAYBOZP例3 如圖：已知點，對于軸正半軸上任意一點，在軸上是否存在一點，使得恒成立？若存在，求出點的坐標；若不存在，說明理由。【解題思路】轉(zhuǎn)化為距離問題，即證明解析設(shè) ，對于軸正半軸上任意一點，假設(shè)在軸上存在一點，使得恒成立，則即，解得：所以存在這樣的點，當點為時，恒成立【名師指引】在空間直角坐標系中，利用距離可以證明垂直問題。此外，用距

7、離還可以解決空間三點共線問題和求簡單的點的軌跡?！拘骂}導(dǎo)練】4已知，當兩點間距離取得最小值時，的值為 （ ） A19 B C D解析當時，取得最小值5已知球面，與點，則球面上的點與點距離的最大值與最小值分別是 。解析球心，球面上的點與點距離的最大值與最小值分別是9和36已知三點，是否存在實數(shù)，使A、B、C共線？若存在，求出的值；若不存在，說明理由。解析 ，因為，所以，若三點共線，有或，若，整理得：，此方程無解；若，整理得：，此方程也無解。所以不存在實數(shù)，使A、B、C共線。搶分頻道基礎(chǔ)鞏固訓(xùn)練1將空間直角坐標系(右手系)畫在紙上時，我們通常將軸與軸，軸與軸所成的角畫成（ ）A B C D解析：選

8、B2. 點在平面上的投影點的坐標是 （ ）A B C D 解析：兩點的縱坐標、豎坐標不變，選B3. 三棱錐中，此三棱錐的體積為（ ）A1 B2 C3 D 6解析 兩兩垂直，4（2007山東濟寧模擬）設(shè)點B是點A(2,-3,5)關(guān)于平面的對稱點，則|AB|等于( )A10 B C D38 解析 A點A(2,-3,5)關(guān)于平面的對稱點為,5（2007年湛江模擬）點關(guān)于軸的對稱點為， 關(guān)于平面的對稱點為，則= 解析 ，6正方體不在同一表面上的兩頂點P（-1，2，-1），Q（3，-2，3），則正方體的體積是 解析 不共面，為正方體的一條對角線，正方體的棱長為4，體積為64 綜合提高訓(xùn)練7空間直角坐標系

9、中，到坐標平面，的距離分別為2，2，3的點有A.1個 B.2個 C.4個 D.8個解析：8個。分別為（3，2，2）、（3，2，-2）、（3，-2，2）、（3，-2，-2）、（-3，2，2）、（-3，2，-2）、（-3，-2，2）、（-3，-2，-2）8（2007山東昌樂模擬）三角形的三個頂點的坐標為，則的形狀為（ ）A正三角形 B銳角三角形 C直角三角形 D鈍角三角形解析 C9(2008年佛岡一中模擬)已知空間直角坐標系中有一點，點是平面內(nèi)的直線上的動點，則兩點的最短距離是（ ）A B C3 D 解析因為點B在平面內(nèi)的直線上，故可設(shè)點B為，所以，所以當時，AB取得最小值，此時點B為。BXACYDZOQP10如圖，以棱長為的正方體的三條棱為坐標軸，建立空間直角坐標系，點在正方體的對角線上，點在正方體的棱上。（1）當點為