立體幾何中的向量方法

1、復(fù)習(xí)課: 立體幾何中的向量方法（2）教學(xué)目標(biāo)重點：線與線，線與面,面與面之間的平行、垂直、夾角及距離.難點：直線的方向向量和平面的法向量應(yīng)用，線與面的夾角范圍及空間距離的轉(zhuǎn)化.能力點：通過求解的過程，突出對推理能力、運算能力、分析能力和抽象概括的綜合考查.教育點：提高學(xué)生數(shù)形結(jié)合思想，分類討論思想，轉(zhuǎn)化與化歸思想，培養(yǎng)學(xué)生良好的數(shù)學(xué)素養(yǎng).自主探究點：例題及變式的解題思路的探尋.易錯點：“線”與“面”之間所成的角的范圍，特別是二面角范圍的確定要通過圖形觀察，學(xué)生不易掌握點到面的向量距離公式易記混.學(xué)法與教具1.學(xué)法：講授、討論法. 2.教具：多媒體.一、【知識結(jié)構(gòu)】 用向量方法證明平行與垂直問題

2、立體幾何中的向量方法直線的方向向量與平面的法向量用向量方法求空間角用向量方法求空間距離二、【知識梳理】1用向量方法證明平行，可轉(zhuǎn)化為證明兩條直線平行即證明兩條直線的方向向量共線，方法有三種：(1)在平面內(nèi)找一個與直線的方向向量共線的向量；(2)將直線的方向向量用平面中的兩個不共線向量線性表示；(3)證明直線的方向向量與平面的法向量垂直2利用向量證明垂直可轉(zhuǎn)化為證明兩條直線垂直，方法有三種：(1)證明這條直線的方向向量與平面內(nèi)不共線的兩個向量垂直；(2)證明直線的方向向量與平面的法向量共線(3)證明面面垂直可以轉(zhuǎn)化為證明線面垂直，也可轉(zhuǎn)化為證明兩個平面的法向量垂直3空間角：（1）利用向量求線線角

3、的關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化為直線的方向向量之間的角.（2）利用向量求線面角的關(guān)鍵轉(zhuǎn)是化為直線的方向向量與平面的法向量之間的角.（3）利用向量求二面角的方法分為二類：一類是找到或作出二面角的平面角，然后利用向量法計算其大??；另一類是利用二面角的兩個平面的法向量所成的角與二面角平面角的關(guān)系去求.（空間角的求法是高考的重點，每年必考，因此應(yīng)熟練掌握空間角的求法）4空間距離包括點面距、線面距、面面距重點是點面距，線面距、面面距都可轉(zhuǎn)化為點面距求法有：(1)直接作出表示點面距離的垂線段求解；(2)等體積變換；(3)利用平面的法向量求解三、【范例導(dǎo)航】例1如圖,在四棱錐中, 平面,是的中點.ABCDPE()證明:平面;

4、()若直線與平面所成的角和與平面所成的角相等,求四棱錐的體積.【分析】利用向量法進(jìn)行垂直證明及體積的計算，是常見的向量法解立體幾何的題型，注意坐標(biāo)系的建法，四棱錐的高就是點的豎坐標(biāo).【解答】以A為坐標(biāo)原點,所在直線分別為建 立空間直角坐標(biāo)系.設(shè)則相關(guān)的各點坐標(biāo)為: ()易知因為 所以而是平面內(nèi)的兩條相交直線,所以平面()由題設(shè)和()知,分別是,的法向量,而與 平面所成的角和與平面所成的角相等,所以 由()知,由故 解得. 又梯形的面積為,所以四棱錐的體積為 . 【點評】本題考查空間線面垂直關(guān)系的證明,考查空間角的應(yīng)用,及幾何體體積計算.第一問只要證明即可,第二問算出梯形的面積和棱錐的高, 建立

5、空間直角坐標(biāo)系,求得幾體的高，由算得體積.例2如圖,四棱錐中,底面為菱形,底面,是上的一點,.(1)證明:平面;(2)設(shè)二面角為,求與平面所成角的大小.【分析】本題主要是考查了四棱錐中關(guān)于線面垂直的證明以及線面角的求解的運用.從題中的線面垂直以及邊長和特殊的菱形入手得到相應(yīng)的垂直關(guān)系和長度,并加以證明和求解. 【解答】設(shè),以為原點,為軸,為軸建立空間直角坐標(biāo)系,則,設(shè),. ()證明:由得, 所以, ,所以, 所以, ,所以平面; () 設(shè)平面的法向量為,又,由,得,設(shè)平面的法向量為,又，,由,得,由于二面角為,所以,解得. 所以,平面的法向量為,所以與平面所成角的正弦值為,所以與平面所成角為.

6、 【點評】該題從命題的角度來看,整體上題目與我們平時練習(xí)的題有些相似,底面也是特殊的菱形,一個側(cè)面垂直于底面的四棱錐問題,那么創(chuàng)新的地方就是點的位置的選擇是一般的三等分點,這樣的解決對于學(xué)生來說就是比較有點難度的,因此最好使用空間直角坐標(biāo)系解決該問題為好.例3如圖,在長方體中為中點.()求證:()在棱上是否存在一點,使得平面?若存在,求的長;若不存在,說明理由.【分析】 本題是用向量法解幾何題的常見題型垂直、長度、線面角、二面角，但本題是用線面角、二面角做已知求線段的長，提問較新穎，做法沒大的變化，要注意書寫格式.【解答】(1)以點A為原點建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè),則 ,故 (2)假設(shè)在棱上存在

7、一點,使得平面,則 設(shè)平面的法向量為,則有,取,可得：,要使平面,只要 ,又平面,存在點使平面,此時. 【點評】本題考查直線與直線、直線與平面以及二面角等基礎(chǔ)知識、考查空間想象能力、推理論證能力、運算求解能力,考查函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、轉(zhuǎn)化與化歸的思想. 題目設(shè)計的較新穎，充分考察了學(xué)生用向量法解題的能力變式訓(xùn)練：在長方體中為中點.若二面角的大小為,求的長 解：連接,由長方體,得 ,由(1)知,故平面. 是平面的法向量,而,由（2）知：平面的法向量為 則 二面角是,所以, 即四、【解法小結(jié)】1. 用空間坐標(biāo)向量解立體幾何問題一般有下列四個步驟：(1)根據(jù)幾何圖形特征建立適當(dāng)坐標(biāo)系； (

8、2)寫出定點坐標(biāo)，設(shè)出動點坐標(biāo)，求出相關(guān)向量坐標(biāo)；(3) 進(jìn)行相關(guān)向量的坐標(biāo)運算，得到相應(yīng)結(jié)果；(4)將向量結(jié)果轉(zhuǎn)化為幾何中的結(jié)論.2. 利用法向量求直線與平面所成的角的步驟為（1）建立空間直角坐標(biāo)系 （2）求直線的方向向量（3）求平面的法向量 （4）計算：設(shè)線面角為，則3. 利用法向量求二面角的步驟為：(1)確定兩平面的法向量；(2)求兩法向量的夾角的余弦值；(3)確定二面角的范圍；(4)確定二面角與面面角的關(guān)系：二面角范圍的確定要通過圖形觀察，法向量一般不能體現(xiàn)出來4.利用平面的法向量求點到平面的距離的步驟：（1）求出該平面的一個法向量為： （2）是平面外一點，找出從點出發(fā)到平面的一條斜線

9、段.(是平面內(nèi)一點)（3）則點到平面的距離為：五、【布置作業(yè)】必做題：1.課本P119 B組 32.四棱錐中，底面ABCD為平行四邊形，底面（I）證明：；（II）若PD=AD，求二面角的余弦值3. 在三棱錐中，為的中點，平面，垂足落在線段上，已知，（）證明：；（）在線段上是否存在點，使得二面角為直二面角？若存在，求出的長；若不存在，請說明理由必做題答案: 2.（II） 3.（）存在點M符合題意，選做題：在中，,是上的高，沿把折起，使.（）證明：平面平面；（）設(shè)為的中點，求與夾角的余弦值.選做題答案：六、【教后反思】本教案首先以結(jié)構(gòu)圖呈現(xiàn)立體幾何中的向量方法的三個應(yīng)用證明平行、垂直，求角和距離，其次復(fù)習(xí)三個應(yīng)用的相關(guān)知識方法、步驟，使知識網(wǎng)絡(luò)化，從整體上把握向量法在立幾中的應(yīng)用；其次