第十章(第一部分)曲線積分

1、第十章 曲線積分與曲面積分（第一部分）曲線積分、對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分（第一型曲線積分）一、對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分的概念1定義 . 2物理意義 表示線密度為的弧段的質(zhì)量.二、對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分的性質(zhì)1線性性質(zhì)：.2可加性：若，則.3的弧長(zhǎng)：.4單調(diào)性：設(shè)在上，. 則.5與積分曲線的方向無(wú)關(guān)性：三、對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分的計(jì)算方法方法：化為定積分計(jì)算（注：下限<上限）（1）若 ；則.（2）若 ；則.（3）若 ；則.（4）若 ；則.注 被積函數(shù)可用積分曲線方程化簡(jiǎn)！四、對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分典型例題例1 計(jì)算，其中為雙曲線從點(diǎn)至點(diǎn)的弧段分析由于本題積分曲線的方程可化為或的形式，但考慮到化為以為積分變量的定積分計(jì)算比較

2、困難，故本題積分曲線應(yīng)采用的形式。解 由于，；所以.注 由于被積函數(shù)定義在曲線上，故滿足曲線的方程。因此，計(jì)算第一型曲線積分時(shí)應(yīng)首先需要利用曲線方程化簡(jiǎn)被積函數(shù)，這是計(jì)算曲線積分的一個(gè)重要知識(shí)點(diǎn).例2 設(shè)為橢圓，其周長(zhǎng)記為，求.分析 由于積分曲線可恒等變形為，而被積函數(shù)中又含有，故可將代入，從而簡(jiǎn)化被積函數(shù)，然后再計(jì)算；對(duì)于積分，由于關(guān)于軸（軸）對(duì)稱，函數(shù)關(guān)于（或關(guān)于）為奇函數(shù)，故有.解 由奇偶對(duì)稱性可知，所以.例3 求，其中.分析 此題若用選取參數(shù)方程計(jì)算，將會(huì)很麻煩。注意到積分曲線是，而由輪換對(duì)稱性可知：，由奇偶對(duì)稱性知：. 故本題有如下簡(jiǎn)單的解法。解 .例4 設(shè)曲線是球面與平面的交線，試

3、求積分解 根據(jù)輪換對(duì)稱性與代入技巧，有 .這里為的長(zhǎng)度，為球面與平面的交線，所以它是圓，現(xiàn)求它的半徑，原點(diǎn)到平面的距離是，因此，的半徑為.五、對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分的應(yīng)用1幾何應(yīng)用 求曲線的弧長(zhǎng).2物理應(yīng)用 質(zhì)量 .質(zhì)心 ，.轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 ，.引力 .、對(duì)坐標(biāo)的曲線積分（第二型曲線積分）一、對(duì)坐標(biāo)的曲線積分的概念1定義 .2物理意義 .變力沿所作的功.二、對(duì)坐標(biāo)的曲線積分的性質(zhì)1線性性質(zhì)：.2可加性：若（方向不變），則.3方向性：設(shè)是的反向曲線弧，則.三、對(duì)坐標(biāo)的曲線積分的計(jì)算方法1直接計(jì)算法（化為定積分計(jì)算）.（注：下限起點(diǎn)，上限終點(diǎn)）（1）設(shè)；從變到；則.（2）設(shè)；從變到；則.（3） 設(shè)；從變到；則

4、.（4）設(shè)；從變到；則.2格林（Green）公式計(jì)算法.（注意使用條件?。ㄟ@里為區(qū)域的正向邊界曲線）3利用積分與路徑無(wú)關(guān)的條件計(jì)算法. 與路徑無(wú)關(guān) ，為區(qū)域內(nèi)任意閉曲線.，單連域，單連域. Newton lebniz公式的推廣。4斯托克斯（Stokes）公式計(jì)算法.（這里是有向曲面的正向邊界曲線） 注 被積函數(shù)可用積分曲線方程化簡(jiǎn)！四、兩類曲線積分之間的聯(lián)系 .其中、為有向曲線弧在點(diǎn)處的切向量的方向角.五、對(duì)坐標(biāo)的曲面積分典型例題例1計(jì)算曲線積分，其中為曲線沿增大的方向。分析 由于，故曲線積分與路徑有關(guān)。又因積分曲線不是封閉的，計(jì)算本題有兩種方法：一是將第二型曲線積分直接轉(zhuǎn)化為定積分計(jì)算；二

5、是采用添補(bǔ)特殊路徑，然后應(yīng)用Green公式計(jì)算。本題采用第一種方法計(jì)算比較簡(jiǎn)便，這里應(yīng)首先將積分曲線的方程改寫(xiě)為，再代入被積函數(shù)中計(jì)算。解 由于，所以.例2計(jì)算曲線積分，其中為有向閉折線，這里的、依次為點(diǎn)、. 分析 本題為沿空間曲線的積分，從所給曲線來(lái)看，可采用參數(shù)法轉(zhuǎn)化為定積分來(lái)計(jì)算，這里關(guān)鍵是要正確寫(xiě)出積分曲線的參數(shù)方程?？紤]到本題為沿空間平面閉曲線的積分，故又可利用斯托克斯（Stokes）公式將曲線積分轉(zhuǎn)化為曲面積分計(jì)算。解法1：化為定積分計(jì)算. 由于（如圖），這里; 從變到.; 從變到. ; 從變到.所以 ；.從而 . 解法2：利用斯托克斯公式計(jì)算. 設(shè)為平面上所圍成部分的上側(cè)，為在坐

6、標(biāo)面上的投影區(qū)域，則；由Stokes公式，得 .例3計(jì)算曲線積分其中為圓周（按逆時(shí)針?lè)较蚶@行）.分析 由于本題積分曲線為圓周，故可首先寫(xiě)出的參數(shù)方程，然后將曲線積分轉(zhuǎn)化為定積分來(lái)計(jì)算；另外，考慮到積分曲線為封閉曲線，故本題又可利用格林公式計(jì)算；此時(shí)應(yīng)注意首先要利用積分曲線方程將被積函數(shù)中的分母化簡(jiǎn)，去掉奇點(diǎn)，使其滿足格林公式的條件。解法1：化為定積分計(jì)算。由于的參數(shù)方程為：，從變到. 則 .解法2：利用格林公式計(jì)算。設(shè)由所圍區(qū)域?yàn)?，則；于是 .例4設(shè)函數(shù)具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，在圍繞原點(diǎn)的任意分段光滑簡(jiǎn)單閉曲線上，曲線積分的值恒為同一常數(shù)。(1) 證明：對(duì)右半平面內(nèi)的任意分段光滑簡(jiǎn)單閉曲線，有；(2)

7、求函數(shù)的表達(dá)式；(3) 設(shè)是圍繞原點(diǎn)的光滑簡(jiǎn)單正向閉曲線，求(1) 證 在右半平面內(nèi)，任取兩點(diǎn)，以為起點(diǎn)，為終點(diǎn)作任意光滑曲線，再以為起點(diǎn)，為終點(diǎn)作圍繞原點(diǎn)的光滑曲線，由題設(shè)知所以，即(2) 解 因?yàn)閷?duì)右半平面內(nèi)任意分段光滑簡(jiǎn)單閉曲線，有，所以 從而有 所以，有 ，比較兩邊的同次冪系數(shù)得，由第一式得 ，代入第二式得 ，于是，. (3) 解 設(shè)為正向閉曲線所圍區(qū)域，由(1) ，利用Green公式和對(duì)稱性，.例5計(jì)算曲線積分 ，其中為在第一象限沿逆時(shí)針?lè)较虻陌雸A弧。分析 本題若直接轉(zhuǎn)化為定積分計(jì)算是比較繁的。我們可以先看，以決定是否用格林公式或其他的方法計(jì)算。解 記，. 則由于，可見(jiàn)所給積分與路徑無(wú)關(guān)。現(xiàn)取，從變到；則有 .或由 ，得 .六、對(duì)坐標(biāo)的曲線積分的物理應(yīng)用 求變力沿曲線所作的功：.例6設(shè)位于點(diǎn)的質(zhì)點(diǎn)對(duì)質(zhì)點(diǎn)的引力大小