知識講解三角函數(shù)的概念

1、三角函數(shù)的概念【考綱要求】1.了解任意角的概念和弧度制概念，能進行弧度與角度的互化.2.會表示終邊相同的角；會象限角的表示方法.3.理解任意角三角函數(shù)（正弦、余弦、正切）的定義，熟練掌握三角函數(shù)在各個象限中的符號、特殊角的三角函數(shù)值.4.熟練掌握同角三角函數(shù)的基本關系式和誘導公式并能運用他們解決有關問題.【知識網(wǎng)絡】三角函數(shù)的概念角的概念的推廣、弧度制正弦、余弦的誘導公式同角三角函數(shù)的基本關系式任意角的三角函數(shù)【考點梳理】考點一、角的概念與推廣1任意角的概念：正角、負角、零角2象限角與軸線角：與終邊相同的角的集合：第一象限角的集合：第二象限角的集合：第三象限角的集合：第四象限角的集合：終邊在軸

2、上的角的集合：終邊在軸上的角的集合： 終邊在坐標軸上的角的集合： 要點詮釋： 要熟悉任意角的概念，要注意角的集合表現(xiàn)形式不是唯一的，終邊相同的角不一定相等，但相等的角終邊一定相同，還要注意區(qū)間角與象限角及軸線角的區(qū)別與聯(lián)系.考點二、弧度制1弧長公式與扇形面積公式：弧長，扇形面積（其中是圓的半徑，是弧所對圓心角的弧度數(shù)）.2角度制與弧度制的換算：；要點詮釋：要熟悉弧度制與角度制的互化以及在弧度制下的有關公式.考點三、任意角的三角函數(shù)1. 定義：在角上的終邊上任取一點，記 則, , ，.2. 三角函數(shù)線：如圖，單位圓中的有向線段，分別叫做的正弦線，余弦線，正切線.3. 三角函數(shù)的定義域：，的定義域

3、是；，的定義域是；，的定義域是.4. 三角函數(shù)值在各個象限內(nèi)的符號：要點詮釋：三角函數(shù)的定義是本章內(nèi)容的基礎和出發(fā)點，正確理解了三角函數(shù)的定義，則三角函數(shù)的定義域、三角函數(shù)在各個象限內(nèi)的符號以及同角三角函數(shù)之間的關系便可以得到牢固掌握利用定義求三角函數(shù)值時，也可以自覺地根據(jù)角的終邊所在象限進行分情況討論.三角函數(shù)線是三角函數(shù)的幾何表示，是處理有關三角問題的重要工具，它能把某些繁雜的三角問題形象直觀地表達出來有關三角函數(shù)值的大小比較問題、簡單三角不等式及簡單三角方程的解集的確定等問題的解決常結合使用三角函數(shù)線，這是數(shù)形結合思想在三角中的具體運用.考點四、同角三角函數(shù)間的基本關系式1. 平方關系：

4、.2. 商數(shù)關系：.3. 倒數(shù)關系：要點詮釋：同角三角函數(shù)的基本關系主要用于：（1）已知某一角的三角函數(shù)，求其它各三角函數(shù)值；（2）證明三角恒等式；（3）化簡三角函數(shù)式.三角變換中要注意“1”的妙用，解決某些問題若用“1”代換，如，則可以事半功倍；同時三角變換中還要注意使用“化弦法”、消去法及方程思想的運用.考點五、誘導公式1.的三角函數(shù)值等于的同名三角函數(shù)值，前面加上一個把看成銳角時原函數(shù)值所在象限的符號.2. ，的三角函數(shù)值等于的互余函數(shù)值，前面加上一個把看成銳角時原函數(shù)值所在象限的符號.要點詮釋：誘導公式其作用主要是將三角函數(shù)值轉(zhuǎn)化為角的三角函數(shù)值，本節(jié)公式較多，要正確理解和記憶，誘導公

5、式可以用“奇變偶不變，符號看象限（奇、偶指的是的奇數(shù)倍、偶數(shù)倍）”這個口訣進行記憶.【典型例題】類型一、角的相關概念例1.已知是第三象限角,求角的終邊所處的位置.【答案】是第二或第四象限角【解析】方法一：是第三象限角，即，, 當時，, 是第二象限角，當時，, 是第四象限角，是第二或第四象限角.方法二：由圖知: 的終邊落在二，四象限.【總結升華】（1）要熟練掌握象限角的表示方法本題容易誤認為是第二象限角，其錯誤原因為認為第三象限角的范圍是解決本題的關鍵就是為了湊出的整數(shù)倍，需要對整數(shù)進行分類（2）確定“分角”所在象限的方法：若是第k (1、2、3、4)象限的角，利用單位圓判斷，()是第幾象限角的

6、方法：把單位圓上每個象限的圓弧n等份，并從x正半軸開始，沿逆時針方向依次在每個區(qū)域標上1、2、3、4，再循環(huán)，直到填滿為止，則有標號k的區(qū)域就是角 ()終邊所在的范圍。如：k=3，如下圖中標有號碼3的區(qū)域就是終邊所在位置yx12341234舉一反三：【變式1】已知是第二象限角,求角的終邊所處的位置.【答案】是第一或第二或第四象限角【解析】方法一：是第二象限角，即，, 當時，, 是第一象限角，當時，, 是第二象限角，當時，, 是第四象限角，是第一或第二或第四象限角.方法二：k=2，如下圖中標有號碼2的區(qū)域就是終邊所在位置由圖知：的終邊落在一，二，四象限.【變式2】已知弧長50cm的弧所對圓心角為

7、200度，求這條弧所在的圓的半徑（精確到1cm）.【答案】29cm.類型二、任意角的三角函數(shù)例2. 若，則角在 象限.【答案】第一或第三【解析】方法一：由知（1）或（2）由（1）知在第一象限，由（2）知在第三象限，所以在第一或第三象限.方法二：由有，所以,即當時，為第一象限，當時，為第三象限故為第一或第三象限.方法三：分別令，代入，只有、滿足條件，所以為第一或第三象限.【總結升華】角的象限和角的三角函數(shù)值符號可以相互判定，方法三只能用于選擇題或填空題.舉一反三：【變式1】確定的符號.【答案】原式小于零【解析】因為分別是第三、第四、第一象限的角，所以，所以原式小于零.【變式2】已知，則是第 象限

8、角.【答案】二【解析】，則是第二象限角.【變式3】求的值.【答案】當為第一象限角時，值為3；當為第二、三、四象限角時，值為-1.例3.已知角的頂點在原點，始邊與軸的非負半軸重合，終邊為射線，則的值是（ ） 【答案】【解析】在角的終邊上任取一點，則有，則原式，故選.舉一反三： 【變式】已知角的終邊過點，求、的值【解析】（1）當時，；（2）當時，.類型三、誘導公式例4.已知，求的值.【答案】【解析】.舉一反三：【變式1】計算：【答案】【解析】原式.【變式2】化簡.【答案】【解析】原式.類型四、同角三角函數(shù)的基本關系式例5已知，且求、的值；【答案】；【解析】方法一：由可得：，即，、是方程的兩根，或， ，方法二