第五章定積分

1、第5章 定 積 分積分（integral）思想的起源遠(yuǎn)遠(yuǎn)地先于微分，早在古希臘時期就已經(jīng)萌芽. 我國魏晉時期劉徽的割圓術(shù)，也已孕育著近代積分學(xué)（integral calculus）的思想. 但是直到 17 世紀(jì)后半葉，牛頓和萊布尼茲在總結(jié)諸多前輩成果的基礎(chǔ)上才建立起比較完整的積分學(xué)理論思想體系. 如今它已成為諸多科學(xué)領(lǐng)域的理論基礎(chǔ). 本章主要討論定積分的基本概念、性質(zhì)、變限函數(shù)、微積分基本定理、定積分的計(jì)算、廣義積分等.5.1 定積分的基本概念和性質(zhì) 面積這個詞對于我們最熟悉不過了，買房時需計(jì)算房屋的建筑面積，加工材料時需計(jì)算物體的表面積，測量河流的流量時需計(jì)算河床斷面的面積，設(shè)計(jì)船體時需計(jì)算

2、水線面的面積，對于規(guī)則平面圖形（如三角形，梯形，矩形等） ，我們用初等數(shù)學(xué)的方法就可以求其面積，而對于不規(guī)則的平面圖形，例如將直角梯形 ABCD（見圖 ）的斜邊 AB 換為曲邊（見圖 ） ，雖然只作了少許改動，但卻給我們的計(jì)算帶來很大的困難，用初等數(shù)學(xué)求面積的方法已不再奏效.。實(shí)際上， 因?yàn)槿魏纹矫鎴D形的面積均可表示成若干個如圖 所示的四邊形的面積的代數(shù)和，因此求這種含一條曲邊的四邊形的面積是計(jì)算一般平面圖形面積的關(guān)鍵所在，為了便于今后的討論，我們稱這種含一條曲邊的四邊形為曲邊梯形.。 曲邊梯形的面積 如圖 所示，由連續(xù)曲線所圍成一曲邊梯形 AabB，如何計(jì)算它的面積呢？ 眾所周知，矩形的面積

3、等于底乘以高，而與曲邊梯形最相近且最易計(jì)算面積的平面圖形就是矩形，但由于曲邊梯形在底邊各點(diǎn)處的高在區(qū)間, ab 上是變動的，所以不能直接按矩形的面積公式計(jì)算曲邊梯形的面積. 進(jìn)一步分析可以發(fā)現(xiàn)，雖然曲邊梯形的高f(x) 在區(qū)間a,b上是連續(xù)變化的，但在很小的區(qū)間內(nèi)它的變化很小，近似于不變，因此如果將區(qū)間a,b分成若干個小區(qū)間（見圖 ） ，在每個小區(qū)間上用其中一點(diǎn)處的高近似代替相應(yīng)小曲邊梯形的高，即用“以直代曲”的方法，這樣小曲邊梯形的面積就可以用同底的小矩形的面積近似代替，然后將這些小矩形的面積求和（圖 中陰影部分的面積） ，那么就得到曲邊梯形面積的一個近似值. 怎樣才能將誤仔細(xì)分析可以發(fā)現(xiàn)，

4、 造成誤差的主要原因在于 “以直代曲” ，即將小曲邊梯形的面積用同底的小矩形的面積近似代替. 要減小誤差， 就要盡量使小曲邊梯形的曲邊變化進(jìn)一步更小， 更接近于直邊. 為此， 將區(qū)間, ab分割成更多的小區(qū)間，將原曲邊梯形分割成更多的小曲邊梯形（見圖 ） ，此時小曲邊梯形的曲邊的變化顯然比前者減少了許多. 用同樣的方法又可得到曲邊梯形面積的近似值（見圖 中陰影部分的面積） ，誤差明顯地減少了許多.因此，只要將a,b無限地細(xì)分下去，使得所有小區(qū)間的長度都無限減小，趨于 0，這時所有小矩形面積的和越來越接近曲邊梯形面積的精確值，其極限如果存在即為所求曲邊梯形AabB的面積. 將上面求曲邊梯形面積的

5、思想、方法、歸納如下：（1） 化整為零. 如圖 所示，在區(qū)間a,b 內(nèi)任意插入若干分點(diǎn) a=x0< x1< x2< × × ×< xn-1< xn =b, 把a(bǔ), b分成n個小區(qū)間x0, x1, x1, x2, x2, x3, × × × , xn-1, xn , 它們的長度依次為Dx1= x1-x0 , Dx2= x2-x1 , × × × , Dxn = xn -xn-1 . 經(jīng)過每一個分點(diǎn)作平行于y 軸的直線段, 把曲邊梯形分成n個窄曲邊梯形. （2） 積零為整. 在每

6、個小區(qū)間xi-1, xi 上任取一點(diǎn)x i , 以xi-1, xi 為底、f (x i)為高的窄矩形近似替代第i個窄曲邊梯形(i=1, 2, × × × , n) , 把這樣得到的n個窄矩陣形面積之和作為所求曲邊梯形面積A的近似值, 即A»f (x 1)Dx1+ f (x 2)Dx2+× × ×+ f (x n )Dxn. （3）取極限.求曲邊梯形的面積的精確值: 顯然, 分點(diǎn)越多、每個小曲邊梯形越窄, 所求得的曲邊梯形面積A的近似值就越接近曲邊梯形面積A的精確值, 因此, 要求曲邊梯形面積A的精確值, 只需無限地增加分點(diǎn),

7、 使每個小曲邊梯形的寬度趨于零. 記l=maxDx1, Dx2,× × ×, Dxn , 于是, 上述增加分點(diǎn), 使每個小曲邊梯形的寬度趨于零, 相當(dāng)于令l®0. 所以曲邊梯形的面積為. 定積分的定義 拋開上述問題的具體意義, 抓住它們在數(shù)量關(guān)系上共同的本質(zhì)與特性加以概括, 就抽象出下述定積分的定義. 定義 設(shè)函數(shù)f(x)在a, b上有界, 用分點(diǎn)a=x0<x1<x2< × × ×<xn-1<xn=b把a(bǔ), b分成n個小區(qū)間: x0, x1, x1, x2, × × 

8、5;, xn-1, xn , 記Dxi=xi-xi-1(i=1, 2,× × ×, n). 任x iÎxi-1, xi (i=1, 2,× × ×, n), 作和 . 記l=maxDx1, Dx2,× × ×, Dxn, 如果當(dāng)l®0時, 上述和式的極限存在, 且極限值與區(qū)間a, b的分法和x i的取法無關(guān), 則稱這個極限為函數(shù)f(x)在區(qū)間a, b上的定積分, 記作, 即 .其中f (x)叫做被積函數(shù), f (x)dx叫做被積表達(dá)式, x叫做積分變量, a 叫做積分下限, b 叫做積

9、分上限, a, b叫做積分區(qū)間. 根據(jù)定積分的定義, 曲邊梯形的面積為. 在理解定積分的定義時，應(yīng)注意以下幾個方面： (1)定積分的值只與被積函數(shù)及積分區(qū)間有關(guān), 而與積分變量的記法無關(guān), 即. (2)和通常稱為f (x)的積分和. (3)可積函數(shù)類；有限區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)是可積的；有限區(qū)間上有有限個間斷點(diǎn)的有界函數(shù)是可積的 定積分的幾何意義 根據(jù)定積分的定義，定積分表示如下幾何意義。（1） 如果連續(xù)的被積函數(shù)f (x)0， 則 表示由曲線 y = f (x)， x軸及直線x=a x=b 所圍成的曲邊梯形的面積（見圖 ） ；2） 如果連續(xù)的被積函數(shù)f (x) 0 ，則 表示由曲線 y = f (

10、x)， x軸及直線x=a x=b 所圍成的曲邊梯形的面積的相反數(shù)（見圖 ） （3）如果連續(xù)的被積函數(shù)f (x)正負(fù)不定，則 表示由曲線y = f (x)，x軸及直線x =a =，x=b 所圍成的一些小曲邊梯形的面積的代數(shù)和. 如圖 所示，有 = S2+ S4 -S1 -S3例 】. 用定積分的幾何意義求. 解: 函數(shù)y=1-x在區(qū)間0, 1上的定積分是以y=1-x為曲邊, 以區(qū)間0, 1為底的曲邊梯形的面積. 因?yàn)橐詙=1-x為曲邊, 以區(qū)間0, 1為底的曲邊梯形是一直角三角形, 其底邊長及高均為1, 所以 .5.1.4 定積分的性質(zhì)性質(zhì) 1 如果f(x)在a, b 上可積，則 即定積分的上限

11、與下限互換時，積分值變號. 特別地，當(dāng)a=b 時，有 =0性質(zhì)2 函數(shù)的和(差)的定積分等于它們的定積分的和(差) 即 . 性質(zhì)3 被積函數(shù)的常數(shù)因子可以提到積分號外面 即 . 性質(zhì)4 如果將積分區(qū)間分成兩部分 則在整個區(qū)間上的定積分等于這兩部分區(qū)間上定積分之和 即 . 這個性質(zhì)表明定積分對于積分區(qū)間具有可加性. 性質(zhì)5 如果在區(qū)間a, b上 f (x)£ g(x) 則 (a<b). 性質(zhì)6 （估值定理） 設(shè)M 及m 分別是函數(shù)f(x)在區(qū)間a, b上的最大值及最小值, 則 (a<b). 性質(zhì)7 (定積分中值定理) 如果函數(shù)f(x)在閉區(qū)間a, b上連續(xù), 則在積分區(qū)間a

12、, b上至少存在一個點(diǎn)x , 使下式成立: . 【例 】 計(jì)算解 原式= =0【例 】 不計(jì)算定積分，比較下列積分值的大小 解 因在區(qū)間0,1上，有 ，故由性質(zhì) 5 知 5.2 微積分基本定理利用定積分的定義通過積分和的極限求定積分是相當(dāng)復(fù)雜的，有時甚至根本無法求得積分的精確值，而利用定積分的幾何意義和性質(zhì)也僅能求一些簡單或特殊函數(shù)的積分值，那么能否找到一種行之有效的方法，使我們很方便地求出積分值呢？本節(jié)就來討論這個問題.5.2.1 積分上限函數(shù)設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間a, b上連續(xù), 并且設(shè)x為a, b上的一點(diǎn). 則f(x)在區(qū)間a, x也連續(xù)，從而也可積，根據(jù)定積分與積分變量的選擇無關(guān)的性質(zhì)將

13、，我們把函數(shù)f(x)在部分區(qū)間a, x上的定積分記為， 這樣對任 意x a,b ，都有唯一確定的與之對應(yīng)，因此，是定義于區(qū)間a,b上的函數(shù)， 稱為積分上限函數(shù)，記作F(x) , 即F(x)=，定理1 如果函數(shù)f(x)在區(qū)間a, b上連續(xù), 則函數(shù) F(x)就是f (x)在a, b上的一個原函數(shù). 即F¢(x) (a£x<b).【例 】 求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)（1）F(x) （2）F(x) 解 （1）根據(jù)原函數(shù)存在定理只要將被積函數(shù)中的積分變量直接換為上限x即可，因此F¢(x) =（2） 將 F(x)視為F(x)，u=的復(fù)合函數(shù)，利用復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則得F¢

14、;(x)= =所以F¢(x)= 微積分基本定理 原函數(shù)存在定理將原函數(shù)與定積分兩個不同的概念有機(jī)地聯(lián)系起來，而第 4 章我們介紹了許多求原函數(shù)的方法，那么能否利用原函數(shù)的方法來計(jì)算定積分呢？我們給出以下定理牛頓-萊布尼茨公式 定理3 如果函數(shù)F (x)是連續(xù)函數(shù)f(x)在區(qū)間a, b上的一個原函數(shù), 則 . 此公式稱為牛頓-萊布尼茨公式, 也稱為微積分基本公式牛頓-萊布尼茲公式揭示了定積分與不定積分之間的內(nèi)在聯(lián)系，這使得計(jì)算 的關(guān)鍵轉(zhuǎn)化為求f(x) 的任一原函數(shù)，大大簡化了定積分的計(jì)算，為計(jì)算定積分的精確值提供了一種非常有效的方法. 例1. 計(jì)算. 解: 由于是的一個原函數(shù), 所以

15、例2 計(jì)算. 解 由于arctan x是的一個原函數(shù), 所以 . 例3. 計(jì)算.解: =ln 1-ln 2=-ln 2.例4計(jì)算=-(-1)-(-1)=2.注意 運(yùn)用牛頓-萊布尼茲公式計(jì)算積分時，一定要驗(yàn)證被積函數(shù)在積分區(qū)間上是否滿足連續(xù)的條件，否則計(jì)算結(jié)果會出現(xiàn)錯誤. 如求 的值時，如果按公式（）來計(jì)算，有=ln 1-ln 1=0這個結(jié)果顯然是錯誤的，因 表示圖 中陰影部分的面積，顯然不等于 0. 事實(shí)上，被積函數(shù)在積分區(qū)間 1,1上無界，它在 1,1上不可積. 5.3 常用積分法 微積分基本定理表明， 計(jì)算定積分的關(guān)鍵是求被積函數(shù)的一個用初等函數(shù)表示的原函數(shù)，即求它的不定積分. 本節(jié)主要介

16、紹兩種求不定積分的方法：換元積分法（Integration by Substitution）與分部積分法（Integration by Part）. 5.3.1 定積分的換元積分法 定理 假設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間a, b上連續(xù), 函數(shù)x=j(t)滿足條件: (1)j(a )=a , j(b)=b; (2)j(t)在a, b(或b, a)上具有連續(xù)導(dǎo)數(shù), 且其值域不越出a, b, 則有. 這個公式叫做定積分的換元公式. 證明 由假設(shè)知, f(x)在區(qū)間a, b上是連續(xù), 因而是可積的; f j(t)j¢(t)在區(qū)間a, b(或b, a)上也是連續(xù)的, 因而是可積的. 假設(shè)F(x)是f (

17、x)的一個原函數(shù), 則=F(b)-F(a). 另一方面, 因?yàn)镕j(t)¢=F ¢j(t)j¢(t)= f j(t)j¢(t), 所以Fj(t)是f j(t)j¢(t)的一個原函數(shù), 從而=Fj(b )-Fj(a )=F(b)-F(a). 因此 .例1 計(jì)算 解 要計(jì)算 ，如果能求出 的不定積分，那么再利用牛頓-萊布尼茲公式即可求出 的值. 為此先利用不定積分的換元法求的值。 令 則，則=例2 計(jì)算. 解 令t=cos x, 則 . 提示: 當(dāng)x=0時t=1, 當(dāng)時t=0. 例2 計(jì)算 解 令x=t ，則dx = ，當(dāng)x : 027 時，t :

18、 03 ，于是=+=課堂隨練：計(jì)算定積分 注意 1 利用換元法計(jì)算定積分時，在換元的同時要對積分限作相應(yīng)的調(diào)整，而且所用的換元公式要保證在新的積分區(qū)間上單調(diào)，否則會導(dǎo)致計(jì)算的錯誤. 注意 2 利用換元法計(jì)算定積分時，所選用的換元公式與被積函數(shù)的不定積分選用的換元公式一樣. 定理 （對稱區(qū)間上的定積分） 設(shè)函數(shù) f (x)在區(qū)間a,a上連續(xù)，則有下列積分公式 (1) .(2) 若f (x)為奇函數(shù), 從而 0(3) 若f (x)為偶函數(shù), 從而 利用定理計(jì)算 定積分的分部積分法 設(shè)函數(shù)u(x)、v(x)在區(qū)間a, b上具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)u¢(x)、v¢(x), 由(uv)¢

19、;=u¢v +u v¢得u v¢=u v-u¢v , 式兩端在區(qū)間a, b上積分得, 或.這就是定積分的分部積分公式. 例1 計(jì)算.解 設(shè)u(x)= ln x， v(x) = x ，則由分部積分公式得=1 例1 計(jì)算. 解 . 小結(jié) 到目前為止，我們學(xué)習(xí)了以下幾種計(jì)算定積分的方法： （1）利用定積分的定義通過積分和的極限； （2）利用牛頓-萊布尼茲公式； （3）利用定積分的換元積分法； （4）利用對稱區(qū)間上積分的性質(zhì)； （5）利用定積分分部積分法. 那么，面對，如何合理地利用這些積分方法呢？ 首先看其積分區(qū)間a，b ，如果是對稱區(qū)間，就利用對稱區(qū)間上積分

20、的性質(zhì)來化簡，接著分析被積函數(shù) f(x) 的特點(diǎn)，再利用換元積分法和分部積分法并結(jié)合牛頓-萊布尼茲公式就可以求出定積分的精確值. 5.4 廣義積分 定義1 設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間a, +¥)上連續(xù), 取b>a . 如果極限 存在, 則稱此極限為函數(shù)f(x)在無窮區(qū)間a, +¥)上的反常積分, 記作, 即. 這時也稱反常積分收斂. 如果上述極限不存在, 函數(shù)f(x)在無窮區(qū)間a, +¥)上的反常積分就沒有意義, 此時稱反常積分發(fā)散. 類似地, 設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間(-¥, b 上連續(xù), 如果極限(a<b)存在, 則稱此極限為函數(shù)f(x)在無窮區(qū)間

21、(-¥, b 上的反常積分, 記作, 即. 這時也稱反常積分收斂. 如果上述極限不存在, 則稱反常積分發(fā)散. 設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間(-¥, +¥)上連續(xù), 如果反常積分和都收斂, 則稱上述兩個反常積分的和為函數(shù)f(x)在無窮區(qū)間(-¥, +¥)上的反常積分, 記作, 即 . 這時也稱反常積分收斂. 如果上式右端有一個反常積分發(fā)散, 則稱反常積分發(fā)散. 定義1¢ 連續(xù)函數(shù)f(x)在區(qū)間a, +¥)上的反常積分定義為. 在反常積分的定義式中, 如果極限存在, 則稱此反常積分收斂; 否則稱此反常積分發(fā)散. 類似地, 連續(xù)函數(shù)f(x

22、)在區(qū)間(-¥, b上和在區(qū)間(-¥, +¥)上的反常積分定義為. 例1 計(jì)算反常積分. 解 . 例2 計(jì)算反常積分 (p是常數(shù), 且p>0). 解 . 提示: . 例3 討論反常積分(a>0)的斂散性. 解 當(dāng)p=1時, . 當(dāng)p<1時, . 當(dāng)p>1時, . 因此, 當(dāng)p>1時, 此反常積分收斂, 其值為; 當(dāng)p£1時, 此反常積分發(fā)散. 二、無界函數(shù)的反常積分 定義2 設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間(a, b上連續(xù), 而在點(diǎn)a的右鄰域內(nèi)無界. 取e>0, 如果極限存在, 則稱此極限為函數(shù)f(x)在(a, b上的反常積分,

23、仍然記作, 即. 這時也稱反常積分收斂. 如果上述極限不存在, 就稱反常積分發(fā)散. 類似地, 設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間a, b)上連續(xù), 而在點(diǎn)b 的左鄰域內(nèi)無界. 取e>0, 如果極限存在, 則稱此極限為函數(shù)f(x)在a, b)上的反常積分, 仍然記作, 即. 這時也稱反常積分收斂. 如果上述極限不存在, 就稱反常積分發(fā)散. 設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間a, b上除點(diǎn)c(a<c<b)外連續(xù), 而在點(diǎn)c的鄰域內(nèi)無界. 如果兩個反常積分與都收斂, 則定義. 否則, 就稱反常積分發(fā)散. 瑕點(diǎn): 如果函數(shù)f(x)在點(diǎn)a的任一鄰域內(nèi)都無界, 那么點(diǎn)a稱為函數(shù)f(x)的瑕點(diǎn), 也稱為無界 定義2&

24、#162; 設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間(a, b上連續(xù), 點(diǎn)a為f(x)的瑕點(diǎn). 函數(shù)f(x)在(a, b上的反常積分定義為. 在反常積分的定義式中, 如果極限存在, 則稱此反常積分收斂; 否則稱此反常積分發(fā)散. 類似地,函數(shù)f(x)在a, b)(b為瑕點(diǎn))上的反常積分定義為. 函數(shù)f(x)在a, c)È(c, b (c為瑕點(diǎn))上的反常積分定義為 . 反常積分的計(jì)算: 如果F(x)為f(x)的原函數(shù), 則有 .可采用如下簡記形式: . 類似地, 有 , 當(dāng)a為瑕點(diǎn)時,; 當(dāng)b為瑕點(diǎn)時,. 當(dāng)c (a<c<b )為瑕點(diǎn)時, . 例4 計(jì)算反常積分. 解 因?yàn)? 所以點(diǎn)a為被積函數(shù)

25、的瑕點(diǎn). . 例5 討論反常積分的收斂性. 解 函數(shù)在區(qū)間-1, 1上除x=0外連續(xù), 且. 由于, 即反常積分發(fā)散, 所以反常積分發(fā)散. 6.1 定積分在幾何中的應(yīng)用 本節(jié)我們主要介紹定積分在幾何方面的兩個最基本的應(yīng)用，即求平面圖形的面積以及旋轉(zhuǎn)體的體積. 求平面圖形的面積 正如計(jì)算多邊形面積的關(guān)鍵是計(jì)算三角形的面積（任何一個多邊形都可以分解成若干個三角形）一樣，計(jì)算含有曲邊的一般平面圖形的面積的關(guān)鍵是計(jì)算曲邊梯形的面積，因?yàn)樗梢苑纸鉃橐恍┣吿菪蚊娣e的代數(shù)和. 如圖中平面圖形的面積A等于兩個曲邊梯形面積的差，即 A = 【例 】求由曲線，和直線所圍成的平面圖形的面積. 解 如圖 所示，所圍平面圖形的面積可看作由直線 x =1 x =2 分別與直線y=x 曲線 所圍兩個曲邊梯形面積的差，于是有A=1故所圍成的平面圖形的面積為1.【例 】 求由曲線及直線和軸所圍成的平面圖形的面積. 解 首先求兩曲線的交點(diǎn)，為此解方程得y = 2或 y =4 ，因此交點(diǎn)為(2, 2) 及(8, 4) ，畫出草圖（見圖 ） ，所求平面圖形的面積等于由直線 y =2 ， y= 4分