線性代數(shù)常見試題及解答

1、一、單項(xiàng)選擇題（本大題共10小題，每小題2分，共30分）在每小題列出的四個備選項(xiàng)中只有一個是符合題目要求的，請將代碼填寫在題后的括號內(nèi)。錯選、多選或未選均無分。 1設(shè)1=1，2，1，2=0，5，3，3=2，4，2，則向量組1，2，3的秩是（）A0B1C2D3答案 ：C2若向量組1=（1，t+1，0），2=（1，2，0），3=（0，0，t2+1）線性相關(guān)，則實(shí)數(shù)t=（）A0B1C2D3答案：B3設(shè)A是4×5矩陣，秩（A）=3，則（）AA中的4階子式都不為0BA中存在不為0的4階子式CA中的3階子式都不為0DA中存在不為0的3階子式答案：D4設(shè)向量組1，2，s線性相關(guān)，則必可推出（）A1

2、，2，s中至少有一個向量為零向量B1，2，s中至少有兩個向量成比例C1，2，s中至少有一個向量可以表示為其余向量的線性組合D1，2，s中每一個向量都可以表示為其余向量的線性組合答案：C5.設(shè)可由向量1 =（1，0，0）2 =（0，0，1）線性表示，則下列向量中只能是A.（2，1，1）B.（-3，0，2）C.（1，1，0）D.（0,-1,0）答案：B6.向量組1 ，2 ，s 的秩不為s(s)的充分必要條件是（）A. 1 ，2 ，s 全是非零向量B. 1 ，2， ，s 全是零向量C. 1 ，2， ，s中至少有一個向量可由其它向量線性表出D. 1 ，2， ，s 中至少有一個零向量答案：C7向量組1，

3、2，s，(s2)線性無關(guān)的充分必要條件是（）A1，2，s均不為零向量B1，2，s中任意兩個向量不成比例C1，2，s中任意s-1個向量線性無關(guān)D1，2，s中任意一個向量均不能由其余s-1個向量線性表示答案：D8.已知向量組A：中線性相關(guān)，那么（）A. 線性無關(guān)B. 線性相關(guān)C. 可由線性表示D. 線性無關(guān)答案：B9.向量組的秩為r，且r<s，則（）A. 線性無關(guān)B. 中任意r個向量線性無關(guān)C. 中任意r+1個向量線性相關(guān)D. 中任意r-1個向量線性無關(guān)答案;C10設(shè)向量，下列命題中正確的是（）A若線性相關(guān)，則必有線性相關(guān)B若線性無關(guān)，則必有線性無關(guān)C若線性相關(guān)，則必有線性無關(guān)D若線性無關(guān)，

4、則必有線性相關(guān)答案：B11設(shè)A，B分別為m×n和m×k矩陣，向量組（I）是由A的列向量構(gòu)成的向量組，向量組（）是由（A，B）的列向量構(gòu)成的向量組，則必有（）A若（I）線性無關(guān)，則（）線性無關(guān)B若（I）線性無關(guān)，則（）線性相關(guān)C若（）線性無關(guān)，則（I）線性無關(guān)D若（）線性無關(guān)，則（I）線性相關(guān)D答案：C12向量組的秩不為零的充分必要條件是（）A中沒有線性相關(guān)的部分組B中至少有一個非零向量C全是非零向量D全是零向量答案：B13.設(shè)有向量組A：1，2，3，4，其中1，2，3線性無關(guān)，則（ ）A.1，3線性無關(guān)B.1，2，3，4線性無關(guān)C.1，2，3，4線性相關(guān)D.2，3，4線性相

5、關(guān)答案：A14設(shè)是一個4維向量組，若已知可以表為的線性組合，且表示法惟一，則向量組的秩為（ ）A1B2C3D4答案：C15設(shè)向量組線性相關(guān)，則向量組中（ ）A必有一個向量可以表為其余向量的線性組合B必有兩個向量可以表為其余向量的線性組合C必有三個向量可以表為其余向量的線性組合D每一個向量都可以表為其余向量的線性組合答案：A16.設(shè)1，2，3，4 是三維實(shí)向量，則（ ）A. 1，2，3，4一定線性無關(guān)B. 1一定可由2，3，4線性表出C. 1，2，3，4一定線性相關(guān)D. 1，2，3一定線性無關(guān)答案：C17.向量組1=（1，0，0），2=（1，1，0），3=（1，1，1）的秩為（ ）A.1B.2C

6、.3D.4答案：C18.下列命題中錯誤的是（ ）A.只含有一個零向量的向量組線性相關(guān)B.由3個2維向量組成的向量組線性相關(guān)C.由一個非零向量組成的向量組線性相關(guān)D.兩個成比例的向量組成的向量組線性相關(guān)答案：C19.已知向量組1,2,3線性無關(guān)，1,2,3，線性相關(guān)，則（ ）A.1必能由2,3，線性表出B.2必能由1,3，線性表出C.3必能由1,2，線性表出D.必能由1,2,3線性表出答案：D1.設(shè)3階方陣A=（1，2，3），其中i（i=1,2,3）為A的列向量，若| B |=|（1+22，2，3）|=6，則| A |=( )A.-12B.-6C.6D.124.設(shè)1，2，3，4都是3維向量，則必

7、有( )A.1，2，3，4線性無關(guān)B.1，2，3，4線性相關(guān)C.1可由2，3，4線性表示D.1不可由2，3，4線性表示二、填空題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）請在每小題的空格中填上正確答案。錯填、不填均無分。20.向量組1 =(1,0,0) 2 =(1,1,0), 3 =(-5,2,0)的秩是_.答案：221設(shè)向量1=（1，1，1）T，2=（1，1，0）T，3=（1，0，0）T，=（0，1，1）T，則由1，2，3線性表出的表示式為_.解：因?yàn)樗?2已知1-52+23=，其中1=（3，4，-1），2=（1，0，3），=（0，2，-5），則3=_.答案;23矩陣A=_.答案;224已

8、知向量組1=（1，1，1），2=（1，2，0），3=（3，0，0）是R3的一組基，則向量=（8，7，3）在這組基下的坐標(biāo)是_.解：因?yàn)樗?5設(shè)1=1，2，x,2=-2，-4，1線性相關(guān)，則x=_.答案：26.已知齊次方程組A4×5=0的基礎(chǔ)解系含有3個向量，則R（A）=_.答案：227向量空間V=x=(x1,x2,0)|x1,x2為實(shí)數(shù)的維數(shù)為_.答案：228.已知向量組1=，2=,3=的秩為2，則數(shù)t=_.答案：因?yàn)橹葹?所以29.設(shè)有向量=（1，0，-2），=（3，0，7），=（2，0，6）. 則的秩是_.答案：230已知向量組的秩為2，則數(shù)t= _.答案;3因?yàn)橹葹?，則數(shù)t

9、=331設(shè)向量 _.答案：32設(shè)向量組1=（1，2，3），2=（4，5，6），3=（3，3，3）與向量組1，2，3等價，則向量組1，2，3的秩為 _.答案：3等價的向量組的秩相等，且33已知向量=（3，5，7，9），=（-1，5，2，0），如果+=，則=_.答案：34.設(shè)向量組=（a,1,1）,=（1,-2,1）, =（1,1,-2）線性相關(guān)，則數(shù)a=_.答案：-2因?yàn)?5.向量組_。答案：2因?yàn)?6已知向量組線性相關(guān)，則數(shù)_.答案：137設(shè)向量組，且，則向量組的秩為_.答案：2因?yàn)榫€性無關(guān)，故線性無關(guān)，于是的秩為238.實(shí)數(shù)向量空間V=（x1,x2,x3）|x1+x2+x3=0的維數(shù)是_.答

10、案：239.設(shè)4維向量（3,-1,0,2）T,=（3,1,-1,4）T，若向量滿足2=3，則=_.答案：14.設(shè)=（-1，2，2），則與反方向的單位向量是_.15.設(shè)A為5階方陣，且r(A)=3，則線性空間W=x | Ax=0的維數(shù)是_.三、計算題（本大題共6小題，每小題9分，共54分）40求向量組1=1，-1，2，4，2=0，3，1，2，3=3，0，7，14,4=1，-1，2，0的秩，并求出向量組的一個最大線性無關(guān)組。解：秩為341設(shè)向量組1=（1，-1，2，1）T，2=（2，-2，4，-2）T，3=（3，0，6，-1）T， 4=（0，3，0，-4）T.（1）求向量組的一個極大線性無關(guān)組；（

11、2）將其余向量表為該極大線性無關(guān)組的線性組合.解：秩為3且42求向量組1=，2=，3=，4=的秩與一個極大線性無關(guān)組.解：向量組的秩為2，極大無關(guān)組為43求向量組1=（1，1，1，3）T，2=（-1，-3，5，1）T，3=（3，2，-1，4）T，4=（-2，-6，10，2）T的秩和一個極大線性無關(guān)組.解：向量組的秩為3，極大無關(guān)組為44.求向量組1 =(1,-1,2,4)2 =(0,3,1,2), 3 =(3,0,7,14), 4 =(2,1,5,6), 5 =(1,-1,2,0)的一個極大線性無關(guān)組.解：由于秩為345求向量組=（1，2，1，3），=（4，-1，-5，-6），=（1，-3，-

12、4，-7）的秩和其一個極大線性無關(guān)組.解：向量組的秩為2，極大無關(guān)組為46.設(shè)向量組1=（1，-1，2，4）T，2=（0，3，1，2）T，3=（3，0，7，14）T，4=（1，-1，2，0）T，求向量組的秩和一個極大線性無關(guān)組，并將其余向量用該極大線性無關(guān)組線性表示.解：由于秩為3且47求向量=（3，-1，2）T在基1=（1，1，2）T，2=（-1，3，1）T，3=（1，1，1）T下的坐標(biāo)，并將用此基線性表示.解：向量=（3，-1，2）T在基1=（1，1，2）T，2=（-1，3，1）T，3=（1，1，1）T下的坐標(biāo)為，48求向量組1=（1，4，3，-2），2=（2，5，4，-1），3=（3，9

13、，7，-3）的秩.解：向量組的秩為249.求向量組=(1,1,1,3)T，=(-1,-3,5,1)T，=(3,2,-1,4)T，=(-2,-6,10,2)T的一個極大無關(guān)組，并將向量組中的其余向量用該極大無關(guān)組線性表出.解：秩為3且50.設(shè)向量組為 求向量組的秩，并給出一個極大線性無關(guān)組。解：由于故向量組的秩為2。51設(shè)向量組，求該向量組的秩及一個極大無關(guān)組，并將其余向量用此極大無關(guān)組線性表示解：秩為3且52.設(shè)向量=（3，2），求（T）101.解：53.設(shè)向量組1=（1，2，3，6），2=（1，-1，2，4），3=（-1，1，-2，-8），4=（1，2，3，2）.（1）求該向量組的一個極大線

14、性無關(guān)組；（2）將其余向量表示為該極大線性無關(guān)組的線性組合解：(1)由于（2）54.設(shè)向量組求向量組的秩及一個極大線性無關(guān)組，并用該極大線性無關(guān)組表示向量組中的其余向量。解：秩為3且55設(shè)向量組1,2,3線性無關(guān)，令1=-1+3，2=22-23，3=21-52+33.試確定向量組1，2，3的線性相關(guān)性.解：所以1，2，3的線性相關(guān)24.求向量組1=（1,2，-1,4），2=(9,100,10,4)，3=（-2，-4,2，-8）的秩和一個極大無關(guān)組.四、證明題（本大題6分）56設(shè)向量組1，2，3線性無關(guān)，證明1+2，1-2，3也無關(guān).證明：設(shè)，即，由于1，2，3線性無關(guān)，故有 解之得， 故1+2，1-2，3也線性無關(guān)57設(shè)向量組1，2線性無關(guān)，證明向量組1=1+2，2=1-2也線性無關(guān).證明：設(shè)，即，由于1，2線性無關(guān)，故有 解之得， 故1=1+2，2=1-2也線性無關(guān)58設(shè)向量組1，2，3線性無關(guān)，1=1+2，2=2+3，3=3+1，證明：向量組1