線積分與面積分

1、網(wǎng)賺博客：Ch10、線積分與面積分§1、對弧長的線積分一、概念與性質(zhì)1、引例：變密度連續(xù)曲線的質(zhì)量。解：分割：用一系列點將分成若干小弧段，其長度為。近似：在上任取一點，則弧段的質(zhì)量近似為。求和：的質(zhì)量近似為取極限：2、定義：設(shè)為定義在面上光滑曲線弧上的有界函數(shù)，經(jīng)分割、做積、求和，如極限存在，則稱之為在上對弧長的線積分或第一類線積分，記為，。 若為空間曲線弧段，則相應(yīng)地有。 若或為封閉曲線，則記為。 當(dāng)時，的長度。 切記，被積函數(shù)是定義在積分弧段上的。3、性質(zhì) 線性性： 可加性：，其中4、應(yīng)用（以平面曲線為例） 曲線的質(zhì)量 曲線的重心 曲線的轉(zhuǎn)動慣量 二、計算方法1、若的方程為，則證

2、：因弧微分故2、若的方程為，則證：3、若的方程為，則證：4、若空間曲線的方程為，則計算要點：代入；上限一定大于下限。例1、計算間一段??；是折線，解：，故故例2、計算，。解：， 故例3、計算，軸在象限所圍區(qū)域的邊界。解：如圖，故例4、計算，解：，故例5、計算，解：故§2、對坐標(biāo)的線積分一、概念與性質(zhì)1、引例：變力沿有向曲線所做的功。解：分割：用一系列點將分成若干小弧段，上的變力可用恒力近似代替。近似：求和：取極限：2、定義：設(shè)面上的有向光滑曲線，為定義在上的有界函數(shù)，經(jīng)分割、做積、求和，若極限存在，則稱之為在上對的線積分或第二類線積分，記為，顯然引例中的功本定義可推廣為三元函數(shù)在空間有

3、向曲線上的線積分，如，以及。特別地，第二類線積分的積分弧段或有方向。3、性質(zhì) 可加性： 方向性：，其中與方向相反二、計算方法1、若的方程為，當(dāng)時，對應(yīng)地點從的起點變到終點，則2、若的方程為，則 若的方程為，則 其中分別對應(yīng)于的起、終點。3、若空間曲線的方程為，則計算要點：代入；下限與上限分別對應(yīng)于的起點與終點（上限不一定大于下限）。例1、計算，為上從的弧段。解：，故例2、計算，（順時針）。解：故例3、計算，為折線；直線。解：故故例4、計算，為（逆時針方向）解：，故例5、計算，如圖。解：，同樣可得，注：實際上，此積分與路徑無關(guān)。例6、計算，為從直線段。解：故例7、一力場由沿橫軸正方向的常力所構(gòu)成

4、，試求當(dāng)一質(zhì)量為的質(zhì)點沿圓周按逆時針方向移過位于第一象限的那一段弧時力場所作的功。解：，三、兩類線積分的聯(lián)系如圖，設(shè)的方程為而，故同理，例8、化為I類線積分，從解：故例9、設(shè)為曲線相應(yīng)于從0到1的曲線段，化為I類線積分。解：故§3、格林公式及其應(yīng)用一、格林公式1、單連通區(qū)域若區(qū)域內(nèi)任一閉曲線所圍部分都屬于，則稱為單連通區(qū)域，否則稱為復(fù)連通區(qū)域。2、區(qū)域的邊界曲線的正向規(guī)定如下：沿的這個方向行走時，總在左側(cè)。3、格林公式定理1：設(shè)閉區(qū)域由分段光滑曲線圍成，在上一階偏導(dǎo)連續(xù)，則其中為的取正向的邊界曲線。 若為負(fù)向，則 若令，則，即區(qū)域的面積例1、求，是頂點為的三角形正向邊界。解：例2、求

5、，（順時針）。解：例3、求，為從的上半圓周解：此類題的關(guān)鍵在于補充路徑。， 故。例4、求，為沿由逆時針到的半圓。解：，故。例5、計算為不過原點的正向封閉光滑曲線。解：若不包圍原點，則在所圍區(qū)域上一階偏導(dǎo)連續(xù)，由格林公式，若包圍原點，則在上一階偏導(dǎo)不連續(xù)，不可直接用格林公式。取適當(dāng)小的，做圓（順時針），在由()所圍區(qū)域內(nèi)一階偏導(dǎo)連續(xù)，根據(jù)格林公式，從而例6、計算是由表示的負(fù)向閉曲線。解：取適當(dāng)小的，做圓（逆時針），在由()所圍區(qū)域內(nèi)一階偏導(dǎo)連續(xù)，根據(jù)格林公式，從而二、積分與路徑無關(guān)的條件1、設(shè)為區(qū)域內(nèi)任兩點，為從到的任兩條路徑，若，則稱在內(nèi)與路徑無關(guān)，僅與起、終點有關(guān)。2、定理2：設(shè)在單連通區(qū)域

6、內(nèi)一階偏導(dǎo)連續(xù)，則在內(nèi)與路徑無關(guān)的充要條件是。例7、求，為沿從到的一段弧。解：此類題的關(guān)鍵在于重新選擇路徑。，即此積分與路徑無關(guān)，故可重新選擇路徑。不妨取，則注：此題也可像例3一樣，補充路徑后用格林公式。例8、求，為沿上半橢圓由到的弧段。解：即此積分與路徑無關(guān)，故可重新選擇路徑。不妨取為從到的上半圓（不可取為）三、二元函數(shù)的全微分求積問題：1、滿足什么條件，是某個二元函數(shù)的全微分，即；2、存在時，如何求？解：1、是全微分的充要條件為；2、若存在，即，由定理2知，起點為，終點為的積分與路徑無關(guān)，而僅與起、終點有關(guān)，故此積分可記為，可證。取路徑，例9、驗證為某函數(shù)的全微分，并求。解：，故存在，例1

7、0、驗證為某函數(shù)的全微分，并求。解：，故存在，取，則例11、求 （積分與路徑無關(guān)時，可寫成此形式）解：原式例12、求解：原式§4、對面積的曲面積分一、概念與性質(zhì)1、引例：變密度曲面的質(zhì)量。解：，2、定義：設(shè)是定義在光滑曲面上的有界函數(shù)，經(jīng)分割、取點做積、求和，若極限存在，則稱之為在上對面積的曲面積分或第一類曲面積分，記為3、主要性質(zhì)的面積；4、應(yīng)用 曲面質(zhì)量 曲面重心 曲面對坐標(biāo)軸的轉(zhuǎn)動慣量二、計算方法 若的方程為，在面上的投影為，則證：由P121，曲面的面積元素計算要點： 代入曲面方程及；投影。例1、計算解：由定義知，被積分函數(shù)是定義在積分曲面上的，即可將曲面的方程代入被積函數(shù)。例

8、2、計算所圍四面體的邊界。解：，在上，被積函數(shù)，故積分為0，故原式例3、計算所圍區(qū)域的邊界。解：故原式例4、計算在第一卦限部分。解：，（請記住上面的球面面積元素表達(dá)式）例5、計算圍成的閉曲面。解：，同理，故原式例6、求均勻曲面的重心。解：由對稱性，且，故重心為例7、求密度為的均勻半球殼對的轉(zhuǎn)動慣量。解：§5、對坐標(biāo)的曲面積分一、概念與性質(zhì)1、曲面的側(cè)曲面一般為雙側(cè)。對非封閉曲面，如可分為上側(cè)、下側(cè)，可分為右側(cè)、左側(cè)，可分為前側(cè)、后側(cè)。對封閉曲面可分為外側(cè)、內(nèi)側(cè)。2、有向曲面選定了側(cè)的曲面稱為有向曲面，其法向量方向與曲面的側(cè)一致。3、有向曲面在面上的投影設(shè)為有向曲面上的一片小曲面，為在

9、面上投影的面積。若上各點的法向量與軸夾角余弦有相同的符號，則定義在面上的投影類似可定義有向曲面在面上的投影。4、定義設(shè)為定義在有向光滑曲面上的有界函數(shù)。經(jīng)分割、做積、求和，若極限存在，則稱之為在上對坐標(biāo)的面積分或第二類面積分，記為，其和記為。5、性質(zhì)可加性；方向性，為與方向相反的曲面二、計算方法1、若的方程為，取上側(cè) (+)，則，為面上的投影區(qū)域，若取的下側(cè) (-)，則。2、若的方程為，取，則3、若的方程為，取，則計算要點：代入曲面方程；投影（）；側(cè)（）。例1、的下側(cè)。解：例2、所圍區(qū)域的外側(cè)。解：，例3、的外側(cè)。解：，例4、上側(cè)。解：的方程為，對于，如圖，同理，故例5、，其中是平面所圍成區(qū)域邊界的外側(cè)。解：如圖，顯然，又因為面上的投影為0，由定義知，從而，同理，。對于，取上側(cè)，如圖，同理，得，故三、兩類面積分的聯(lián)系設(shè)曲面的方程為，由P121知，得同理，或其中（P51）為上點處法向量的方向余弦。例6、將化成第一類面積分，為在第一卦限部分上側(cè)。解：故§6、高斯公式 通量與散度一、高斯公式定理：設(shè)空間閉區(qū)域由分片光滑的閉曲面圍成，在上一階偏導(dǎo)連續(xù)，則其中是邊界的外側(cè)。若是邊界的內(nèi)側(cè)，則例1、所圍區(qū)域的外側(cè)。解：，故例2、所圍區(qū)域的內(nèi)側(cè)。解：故例3、的下側(cè)。解：此類題的關(guān)鍵是補上一塊曲面將封閉。，其中，上側(cè)由于在面上的投影為0，由定義可得，又顯然，從而，故例4