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1、 線性代數(shù)A 試題(A 卷)試卷類別:閉卷 考試時間:120分鐘考試科目:線性代數(shù) 考試時間: 學(xué)號: 姓名: 題號一二三四五六 七總 分得分閱卷人一 單項選擇題(每小題3分,共30分)1設(shè)經(jīng)過初等行變換變?yōu)椋瑒t( ).(下面的分別表示矩陣的秩)。; ; ; 無法判定與之間的關(guān)系。2設(shè)為階方陣且,則( )。 中有一行元素全為零; 有兩行(列)元素對應(yīng)成比例;中必有一行為其余行的線性組合; 的任一行為其余行的線性組合。3. 設(shè)是階矩陣(), ,則下列結(jié)論一定正確的是: ( )4下列不是維向量組線性無關(guān)的充分必要條件是( )存在一組不全為零的數(shù)使得;不存在一組不全為零的數(shù)使得的秩等于;中任意一個向
2、量都不能用其余向量線性表示5設(shè)階矩陣,若矩陣的秩為,則必為( )。1; ; ; .6四階行列式的值等于( )。; ; .7設(shè)為四階矩陣且,則的伴隨矩陣的行列式為( )。; ; ; 8設(shè)為階矩陣滿足,為階單位矩陣,則(); ; ; 9設(shè),是兩個相似的矩陣,則下列結(jié)論不正確的是( )。與的秩相同; 與的特征值相同;與的特征矩陣相同; 與的行列式相同;10設(shè)為階矩陣,則以為特征值是的( )。充分非必要條件; 必要非充分條件;既非充分又非必要條件; 充分必要條件; 二填空題(每小題3分,共18分)1計算行列式。2. _。3二次型對應(yīng)的對稱矩陣為 。4已知,是歐氏空間的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基,則向量在這組基下的
3、坐標(biāo)為 。5已知矩陣的特征值為則_。6設(shè)均為3維列向量,記矩陣,。如果,則 。三(8分) , 求。四(10分)設(shè)向量組,。試求它的秩及一個極大無關(guān)組,并把其余向量用該極大無關(guān)組線性表示。五(12分)討論線性方程組解的情況,并在有無窮多解時求其解。六(14分)設(shè),(1)、求出的所有特征值和特征向量;(2)、求正交矩陣,使得為對角矩陣。七(8分)對任意的矩陣,證明:(1) 為對稱矩陣, 為反對稱矩陣;(2) 可表示為一個對稱矩陣和一個反對稱矩陣之和。線性代數(shù)A參考答案(A卷)一、單項選擇題(每小題3分,共30分)12345678910BCDABDCCCD二、填空題(每小題3分,共18分)1、 25
4、6; 2、 ; 3、;4、 ; 5、 4; 6、 2 。三 解:因為矩陣A的行列式不為零,則A可逆,因此.為了求,可利用下列初等行變換的方法:(6分)所以.(8分)四解:對向量組作如下的初等行變換可得:(5分)從而的一個極大線性無關(guān)組為,故秩2(8分)且,(10分)五解:對方程組的增廣矩陣進(jìn)行如下初等行變換:(1) 當(dāng)即系數(shù)矩陣與增廣矩陣的秩均為3,此時方程組有唯一解.(5分)(2) 當(dāng)系數(shù)矩陣的秩為1,增廣矩陣的秩為2,此時方程組無解.(6分)(3) 當(dāng)此時方程組有無窮多組解.方程組的增廣矩陣進(jìn)行初等行變換可化為故原方程組與下列方程組同解: 令可得上述非齊次線性方程組的一個特解;它對應(yīng)的齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系含有一個元素,令可得為該齊次線性方程組的一個解,它構(gòu)成該齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系.此時原方程組的通解為(12分)六解:(1)由于的特征多項式故的特征值為(二重特征值),。(3分)當(dāng)時,由,即:得基礎(chǔ)解系為,故屬于特征值的所有特征向量為, 不全為零的任意常數(shù)。(6分)當(dāng)時,由,即:得基礎(chǔ)解系為,故屬于特征值的所有特征向量為, 為非零的任意常數(shù)。-(8分)(2)將正交化可得:。再將其單位化得:將單位化得:。(12分)則是的一組單位正交的特征向量,令則是一個正交矩陣,且。(14分)七證明:(1) 因為, 因此為對稱矩陣。(2分)同理,因為,因
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