線(xiàn)性代數(shù)完美總結(jié)版

1、線(xiàn)性代數(shù)及其應(yīng)用一、行列式1、余子式，代數(shù)余子式2、幾個(gè)定理(定理2.2，2.3，2.4) 按行展開(kāi)：按列展開(kāi)：定理2.4 ；.3、行列式的性質(zhì) (1) . (2) 若行列式的某一列(行)可以拆成兩列(行)之和，則行列式可以拆成兩個(gè)行列式之和，即.(2) 若行列式有兩列(行)成比例，則行列式等于零.(3) 初等變換性質(zhì)4、行列式計(jì)算：三角化法(性質(zhì))；降階法(性質(zhì)+展開(kāi)定理)；范德蒙德、三對(duì)角行列式的結(jié)論.5、分塊矩陣的行列式二、矩陣1、矩陣及其運(yùn)算(加法、數(shù)乘、乘法、冪、轉(zhuǎn)置、方陣的行列式、分塊運(yùn)算)(1) 乘法的結(jié)合律(2) 方陣的冪的求解 (3) 轉(zhuǎn)置的性質(zhì)：(4) 方陣的行列式： (5

2、) 分塊運(yùn)算(轉(zhuǎn)置、乘法-例3.13、3.14)2、初等變換及初等矩陣(1) 左行右列(矩陣的初等變換可用矩陣乘法來(lái)表示)(2) 初等矩陣都是可逆的，且初等矩陣的逆仍是初等矩陣，即3、可逆矩陣(1) 定義、性質(zhì)(2) 伴隨矩陣 (3) 判定：可逆(4) 逆矩陣的求法 (5) 分塊矩陣的逆 (6) 矩陣方程的求解：，其中可逆.法1 .法2 .4、矩陣的秩與矩陣的相抵(1) 矩陣的秩與性質(zhì)(101頁(yè)，105-107頁(yè)) ； 子矩陣的秩不會(huì)超過(guò)原矩陣的秩； ； ； ； 或；若，則，其中，. 設(shè)，則(2) 求矩陣的秩 (理論依據(jù)：矩陣的初等變換不改變矩陣的秩)(行階梯形矩陣)，則的非零行的個(gè)數(shù).(3)

3、 矩陣的相抵(等價(jià)) ，其中可逆. 或.三、線(xiàn)性空間1、向量組的線(xiàn)性相關(guān)性的判斷(命題4.2、4.3、4.4、4.5、定理4.1、4.2、4.4)(1) 證明方法- (2) 基本結(jié)論 判斷向量組線(xiàn)性相關(guān)（命題4.2，命題4.3(2),定理4.1及推論1，定理4.2）充要：線(xiàn)性相關(guān)其中至少有一個(gè)向量可由其余向量線(xiàn)性表示.充分：線(xiàn)性相關(guān)判斷向量組線(xiàn)性無(wú)關(guān)（命題4.3(3)，命題4.4的推論）2、等價(jià)向量組(1) ()可由()線(xiàn)性表示，則() ().(2) ()與()等價(jià)，則()().3、子空間的驗(yàn)證(1) 非空、加法和數(shù)量乘法的封閉；(2) 命題4.1(生成子空間)-例4.9，例4.354、向量組

4、的秩及極大無(wú)關(guān)組(命題4.6，定理4.4及推論2)、(線(xiàn)性)子空間的基與維數(shù)(1) 寫(xiě)成列向量作初等行變換，確定向量組的秩與極大無(wú)關(guān)組.(2) 對(duì)于，則， 即生成子空間的維數(shù)與基就是向量組的秩與極大無(wú)關(guān)組.5、坐標(biāo)的概念、基變換公式與坐標(biāo)變換公式坐標(biāo)：在基下的坐標(biāo).基變換公式：坐標(biāo)變換公式：或四、線(xiàn)性方程組(含參量、不含參量)1、解的情況(1) 若是方陣，則(2) 齊次線(xiàn)性方程組有非零解.若是方陣，則齊次線(xiàn)性方程組有非零解.2、解的結(jié)構(gòu)齊次：(1) 解空間、基礎(chǔ)解系所含向量的個(gè)數(shù)(2) 基礎(chǔ)解系不唯一，的線(xiàn)性無(wú)關(guān)的解均可作為的一個(gè)基礎(chǔ)解系.(2) 結(jié)構(gòu)式：通解=基礎(chǔ)解系的任意線(xiàn)性組合非齊次：(

5、1) 非-非=齊(2) 結(jié)構(gòu)式：通解=特解導(dǎo)出組的通解五、線(xiàn)性變換1、線(xiàn)性變換的驗(yàn)證 (定義5.4)2、線(xiàn)性變換在一個(gè)基下的矩陣(定義5.7)、命題5.83、線(xiàn)性變換在不同基下的矩陣之間的關(guān)系(相似) 定理5.9六、內(nèi)積空間1、內(nèi)積的概念、長(zhǎng)度、正交(正交向量組必線(xiàn)性無(wú)關(guān))2、施密特正交化3、正交矩陣(1) 定義、性質(zhì)；(2) 階實(shí)矩陣是正交矩陣的充要條件是的列(行)向量組是的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交基. (命題6.2)七、矩陣的相似對(duì)角形1、特征值和特征向量的定義、性質(zhì)(1) ；(2) 與具有相同的特征值(特征向量未必相同)；已知可逆)矩陣特征值特征向量(3) ；.(4) 屬于不同特征值的特征向量線(xiàn)性無(wú)

6、關(guān)(定理5.3、定理5.4及推論).2、相似矩陣的定義、性質(zhì)(秩、行列式、跡、特征值相等，但特征向量未必相同)相似的判定：若與可對(duì)角化(實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣)，且與具有相同的特征值，則與相似.若與相似，則矩陣多項(xiàng)式與也相似.3、矩陣的相似對(duì)角化可對(duì)角化有個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)的特征向量數(shù)域內(nèi)有個(gè)特征值，每一個(gè)特征值的幾何重?cái)?shù)等于代數(shù)重?cái)?shù)(充分條件) 有個(gè)互不相同的特征值可對(duì)角化4、實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣 (1) 特征值：階實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣有個(gè)實(shí)特征值. (2) 特征向量：實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣的屬于不同特征值的特征向量正交. (3) 實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣必正交相似于實(shí)對(duì)角矩陣(幾何重?cái)?shù)等于代數(shù)重?cái)?shù)). (4) 若與均為實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣，則與正交相似(相似)與具有相同的特征值.(正交相似既相似，又合同)八、二次型1、二次型的矩陣及秩(對(duì)稱(chēng))2、矩陣的合同：合同必相抵；正交相似既相似，又合同實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣合同的正慣性指數(shù)與秩相同3、化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形(不唯一)-正交替換法、配方法(滿(mǎn)秩線(xiàn)性替換)4、慣性定理：實(shí)二次型的規(guī)范形唯一(正、負(fù)慣性