彈簧類問題的求解

1、i彈簧類問題的求解由于涉及到的彈簧彈力是變力，學生往往對彈力大小和方向的變化過程缺乏清晰的分 析，不能建立與之相關的物理模型，導致解題思路不清、效率低下，錯誤率較高。下面我們 歸納六類問題探求解法。一、“輕彈簧”類問題在中學階段，凡涉及的彈簧都不考慮其質量，稱之為"輕彈簧"，是一種常見的理想化物理模型。由于“輕彈簧”質量不計，選取任意小段彈簧分析，其兩端所受張力一定平衡，否 則，這小段彈簧的加速度會無限大。故：輕質彈簧中各部分間的張力處處相等，均等于彈簧兩端的受力。彈簧一端受力為 F,另一端受力一定也為 F。若是彈簧秤，則彈簧秤示數(shù)為 F。例1、如圖所示，一個彈簧秤放在光滑

2、的水平面上，外殼質量m不能忽略，彈簧及掛鉤質量不計，施加水平方向的力Fi、F2,且Fl>F2則彈點簧秤沿水平方向的加速度為 ,彈簧秤的讀數(shù) 飛 嬴荷分析與解 以整個彈簧秤為研究對象：利用牛頓運動定律Fi F2F1 F2 maa m僅以輕質彈簧為研究對象：則彈簧兩端的受力都是Fi,所以彈簧秤的讀數(shù)為 Fi說明F2作用在彈簧秤外殼上，并沒有作用在彈簧左端，彈簧左端的受力是由外殼內側 提供的。二、彈簧彈力瞬時問題因彈簧（尤其是軟質彈簧）其形變發(fā)生改變過程需要一段時間，在瞬間內形變量可以認為不變。因此，在分析瞬時變化時，可以認為彈力大小和方向不變，即彈簧的彈力瞬間不突 變。例2、如圖所示，木塊

3、A與B用一輕彈簧相連，豎直放在木塊C上，三者靜置于地面，A、B、C的質量之比是1 ： 2 ： 3.設所有接觸面都光滑，當沿水平方向迅速抽出木塊C的瞬時，木塊 A和B的加速度分別是aA=, aB=分析與解 由題意可設A、B、C的質量分別為 m、2m、3m以木塊A為研究對象，抽出木塊 C前，木塊A受到重力和彈力一對平衡力，抽出木塊 C的瞬時，木塊 A受到重力和彈力的大小和方向均沒變，故木塊 A的 瞬時加速度為0以木塊AB為研究對象，由平衡條件可知，木塊C對木塊B的作用力FcB=3mg以木塊B為研究對象，木塊 B受到重力、彈力和 Fcb三力平衡，抽出木塊 C的瞬時， 木塊B受到重力和彈力的大小和方向

4、均沒變， Fcb瞬時變?yōu)?,故木塊C的瞬時合外力為豎 直向下的3mg。瞬時加速度為1.5g說明 區(qū)別不可伸長的輕質繩中張力瞬間可以突變 三、彈簧長度的變化問題設勁度系數(shù)為k的彈簧受到壓力為一F i時壓縮量為一x i,彈簧受到拉力為F 2時伸長 量為x 2,此時的“”號表示壓縮的含義。若彈簧受力由壓力F1變?yōu)槔 2,彈簧長由胡克定律有:F i = k (x 1)度將由壓縮量X 1變?yōu)樯扉L量為X 2 ,長度增加量為X 1 + X 2F 2 = k x 2.Fi(F2)=kxi(X2) 即： F = kZx表示的物理含義加 簧 “ 彈EWWV10;。M H 變2) gm說明彈簧受力的變化與彈簧長

5、度的變化也同樣遵循胡克定律，此時x是彈簧長度的改變量，并不是形變量。例3、如圖所示，勁度系數(shù)為 ki的輕質彈簧兩端分別與質量為 mi、 m2的物塊1、2拴接，勁度系數(shù)為k2的輕質彈簧上端與物塊 2拴接，下端 壓在桌面上(不拴接)，整個系統(tǒng)處于平衡狀態(tài).現(xiàn)施力將物塊1緩慢地豎 直上提，直到下面那個彈簧的下端剛脫離桌面 .在此過程中，物塊2的重力 勢能增加了 ,物塊1的重力勢能增加了 .分析與解 由題意可知：彈簧k 2長度的增加量就是物塊2的高度增 加量，彈簧k 2長度的增加量與彈簧k 1長度的增加量之和就是物塊1的高 度增加量，由物體的受力平衡可知：彈簧k2的彈力將由原來的壓力(m 1 +m 2

6、)k i的彈力將由原來的壓力m ig變?yōu)槔 2 g,彈力改變量也為(m i +所以1、2彈簧的伸長量分別為(m1+m2)g和(m1+m2)gk,k2故物塊2的重力勢能增加了 一 m2 (m1+m2)g2, k2物塊1的重力勢能增加了( 工工)m1 (m1+m2)g2k1 k2四、彈力變化的運動過程分析彈簧的彈力是一種由形變而決定大小和方向的力， 當題目中出現(xiàn)彈簧時， 要注意彈力的 大小與方向時刻要與當時的形變相對應。 在題目中一般應從彈簧的形變分析入手， 先確定彈 簧原長位置、現(xiàn)長位置及臨界位置， 找出形變量x與物體空間位置變化的幾何關系， 分析形 變所對應的彈力大小、方向，彈性勢能也是與

7、原長位置對應的形變量相關。 以此來分析計算 物體運動狀態(tài)的可能變化結合彈簧振子的簡諧運動， 分析涉及到彈簧物體的變加速度運動， 往往能達到事半功倍 的效果。此時要先確定物體運動的平衡位置， 區(qū)別物體的原長位置， 進一步確定物體運動為 簡諧運動。結合與平衡位置對應的回復力、加速度、速度的變化規(guī)律， 則很容易分析物體的 運動過程例4、如圖所示，質量為 m的物體A用一輕彈簧與下方地面上質量也為 m的物體B相連，開始時A和B均處于靜止狀態(tài)，此時彈簧壓縮量為xo, 一條不可伸長的輕繩繞過輕滑輪， 一端連接物體 A、另一端C握在手中， 各段繩均處于剛好伸直狀態(tài)，A上方的一段繩子沿豎直方向且足夠長?，F(xiàn)在C端

8、施水平恒力F而使A從靜止開始向上運動。(整個過 程彈簧始終處在彈性限度以內)(1)如果在C端所施恒力大小為 3mg ,則在B物塊剛要離開地 面時A的速度為多大？(2)若將B的質量增加到2m,為了保證運動中 B始終不離開 地面，則F最大不超過多少？分析與解由題意可知：彈簧開始的壓縮量Xomg在B物塊剛要離開地面時彈簧的伸長量也是X0 mgk(1)若F=3mg,在彈簧伸長到xo時，B開始離開地面, 等，F(xiàn)所做的功等于A增加的動能及重力勢能的和。即此時彈簧彈性勢能與施力前相1 _ 2F 2x0 mg 2x0 - mv可解得:V 2 2gXo(2)所施力為恒力F0時，物體B不離開地面，類比豎直彈簧振子

9、，物體A在豎直方向上除了受變化的彈力外，再受到恒定的重力和拉力。故物體 A做簡諧運動。在最低點：F0 mg+kx 0=mai式中k為彈簧勁度系數(shù)，ai為在最低點A的加速度。在最高點，B恰好不離開地面，此時彈簧被拉伸，伸長量為2x0,則：K (2x0) +mg F0=ma2考慮到：kx0=mg簡諧運動在上、下振幅處ai=a2,口 3mg解得：F0=2也可以利用簡諧運動的平衡位置求恒定拉力F0。物體A做簡諧運動的最低點壓縮量為x。，最高點伸長量為 2x0,則上下運動中點為平衡位置，即伸長量為&所在處。2由： mg k F0解得：F0=-mg說明 區(qū)別原長位置與平衡位置。與原長位置對應的形變

10、量與彈力大小、方向、彈性勢 能相關；與平衡位置對應的位移量與回復大小、方向、速度、加速度相關。五、與彈簧相關的臨界問題通過彈簧相聯(lián)系的物體，在運動過程中經常涉及到一些臨界極值問題： 如物體速度達到 最大；彈簧形變量達到最大時兩物體速度達到相同； 使物體恰好要離開地面；相互接觸的物 體恰好要脫離等等。此類題的解題關鍵是利用好臨界條件，得到解題有用的物理量和結論例5、如圖所示，A、B兩木塊疊放在豎直輕彈簧上，已知木塊A、B質量分別為0.42 kg和0.40 kg,彈簧的勁度系數(shù) k=100 N/m ,若在木塊 A上作用一個豎直向 上的力F,使A由靜止開始以 0.5 m/s2的加速度豎直向上做勻加速

11、運動 (g=10 m/s2).(1)使木塊A豎直做勻加速運動的過程中，力F的最大值；(2)若木塊由靜止開始做勻加速運動，直到A、B分離的過程中，彈簧的彈性勢能減少了0.248 J,求這一過程F對木塊做的功。分析與解確定兩物體分離的臨界點，即N =0時，恰好分離.此題難點和失分點在于能否通過對此物理過程的分析后, 當彈簧作用下的兩物體加速度、速度相同且相互作用的彈力x,當F=0 (即不加豎直向上 F力時)，設A、B疊放在彈簧上處于平衡時彈簧的壓縮量為kx=(mA+mB)g 即(mA+mB)g x對A施加F力，分析A、B受力如右圖所示對 A F+N-m Ag=m Aa5對 B kx '-N

12、-m Bg=mBa'可知，當NW0時，AB有共同加速度a=a',由式知欲使 A勻加速運動，隨N減小F增大.當N=0時，F(xiàn)取得了最大值Fm,即 Fm=m A (g+a)=4.41 N,mB(a+g)x'= B' 切 d k又當N=0時，A、B開始分離，由式知,此時，彈簧壓縮量 kx'=mB(a+g)AB 共同速度v2 =2a(x-x')由題知，此過程彈性勢能減少了Wp=Ep=0.248 J設F力功Wf,對這一過程應用功能原理12 .Wf=2( mA+mB)v +(mA+mB)g(x-x')-Ep可知，Wf=9.64X10-2 J聯(lián)立，且注意

13、到 Ep=0.248 J六、彈力做功與彈性勢能的變化問題彈簧彈力做功等于彈性勢能的減少量。彈簧的彈力做功是變力做功，求解一般可以用以下四種方法：1、因該變力為線性變化，可以先求平均力，再用功的定義進行計算；2、利用Fx圖線所包圍的面積大小求解；3、用微元法計算每一小段位移做功， 再累加求和；4、據(jù)動能定理和能量轉化和守恒定律求解。由于彈性勢能僅與彈性形變量有關，彈性勢能的公式高考中不作定量要求，因此，在求彈力做功或彈性勢能的改變時，一般以能量的轉化與守恒的角度來求解。特別是涉及到兩個物理過程中的彈簧形變量相等時，往往彈性勢能的改變可以抵消，或替代求解。例6、如圖所示，擋板 P固定在足夠高的水平

14、桌面上，小物塊A和B大小可忽略，它們分別帶為+qa和+Qb的電荷量，質量分別為m a和m b o兩物塊由絕緣的輕彈簧相連，一個不可伸長的輕繩跨過滑輪，一端與B連接，另一端連接輕質小鉤。整個裝置處于場強為E、方向水平向左的勻強電場中，A、B開始時靜止，已知彈簧的勁度系數(shù)為k,不計一切摩擦及A、B間的庫侖力，A、B所帶電荷量保持不變，B不會碰到滑輪。M的物塊C并由靜止釋放，可使物塊 A對擋板P的壓力恰C下降的最大距則當A剛離開擋(1)若在小鉤上掛質量為 為零，但不會離開 P,求物塊 離h(2)若C的質量為2M, 板P時，B的速度多大？分析與解通過物理過程的分析可知：當A剛離開擋板P時，彈力恰好與A所受電場力平衡，彈簧伸長量一定，前后兩次改變物塊C質量，在第2問對應的物理過程中，彈簧長度的變化及彈性勢能的改變相同，可以替代求解。設開始時彈簧壓縮量為 xi由平衡條件：kxi EQb可得x1 -EQbk設當A剛離開檔板時彈簧的伸長量為x2 :由：kx2 EQa可得x2 -EQak故C下降的最大距離為：h x1 x2由一式可解得h E(QB QA)k(2)由能量轉化守恒定律可知：C下落h過程中，C重力