極坐標(biāo)和參數(shù)方程知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

1、第一部分：坐標(biāo)系與參數(shù)方程【考綱知識(shí)梳理】1平面直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)伸縮變換設(shè)點(diǎn)P(x,y)是平面直角坐標(biāo)系中的任意一點(diǎn),在變換的作用下,點(diǎn)對(duì)應(yīng)到點(diǎn),稱(chēng)為平面直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)伸縮變換,簡(jiǎn)稱(chēng)伸縮變換.2.極坐標(biāo)系的概念(1)極坐標(biāo)系如圖(1)所示,在平面內(nèi)取一個(gè)定點(diǎn),叫做極點(diǎn),自極點(diǎn)引一條射線,叫做極軸;再選定一個(gè)長(zhǎng)度單位,一個(gè)角度單位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆時(shí)針?lè)较?,這樣就建立了一個(gè)極坐標(biāo)系.注:極坐標(biāo)系以角這一平面圖形為幾何背景,而平面直角坐標(biāo)系以互相垂直的兩條數(shù)軸為幾何背景;平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的點(diǎn)與坐標(biāo)能建立一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系,而極坐標(biāo)系則不可.但極坐標(biāo)系和平面直角坐標(biāo)系都是平面坐標(biāo)

2、系.(2)極坐標(biāo)設(shè)M是平面內(nèi)一點(diǎn),極點(diǎn)與點(diǎn)M的距離|OM|叫做點(diǎn)M的極徑,記為;以極軸為始邊,射線為終邊的角叫做點(diǎn)M的極角,記為.有序數(shù)對(duì)叫做點(diǎn)M的極坐標(biāo),記作M.一般地,不作特殊說(shuō)明時(shí),我們認(rèn)為可取任意實(shí)數(shù).特別地,當(dāng)點(diǎn)M在極點(diǎn)時(shí),它的極坐標(biāo)為。和直角坐標(biāo)不同,平面內(nèi)一個(gè)點(diǎn)的極坐標(biāo)有無(wú)數(shù)種表示.如果規(guī)定,那么除極點(diǎn)外,平面內(nèi)的點(diǎn)可用唯一的極坐標(biāo)表示;同時(shí),極坐標(biāo)表示的點(diǎn)也是唯一確定的.3.極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的互化(1)互化背景:把直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)作為極點(diǎn),x軸的正半軸作為極軸,并在兩種坐標(biāo)系中取相同的長(zhǎng)度單位,如圖(2)所示:(2)互化公式:設(shè)M是坐標(biāo)平面內(nèi)任意一點(diǎn),它的直角坐標(biāo)是,極坐標(biāo)是,

3、于是極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化公式如表:點(diǎn)M直角坐標(biāo)極坐標(biāo)互化公式在一般情況下,由確定角時(shí),可根據(jù)點(diǎn)M所在的象限最小正角.4.常見(jiàn)曲線的極坐標(biāo)方程曲線圖形極坐標(biāo)方程圓心在極點(diǎn),半徑為的圓圓心為,半徑為的圓圓心為,半徑為的圓過(guò)極點(diǎn),傾斜角為的直線(1) (2) 過(guò)點(diǎn),與極軸垂直的直線過(guò)點(diǎn),與極軸平行的直線注:由于平面上點(diǎn)的極坐標(biāo)的表示形式不唯一,即都表示同一點(diǎn)的坐標(biāo),這與點(diǎn)的直角坐標(biāo)的唯一性明顯不同.所以對(duì)于曲線上的點(diǎn)的極坐標(biāo)的多種表示形式,只要求至少有一個(gè)能滿(mǎn)足極坐標(biāo)方程即可.例如對(duì)于極坐標(biāo)方程點(diǎn)可以表示為等多種形式,其中,只有的極坐標(biāo)滿(mǎn)足方程.二、參數(shù)方程1.參數(shù)方程的概念一般地,在平面直角坐標(biāo)

4、系中,如果曲線上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)都是某個(gè)變數(shù)的函數(shù),并且對(duì)于的每一個(gè)允許值,由方程組所確定的點(diǎn)都在這條曲線上,那么方程就叫做這條曲線的參數(shù)方程,聯(lián)系變數(shù)的變數(shù)叫做參變數(shù),簡(jiǎn)稱(chēng)參數(shù),相對(duì)于參數(shù)方程而言,直接給出點(diǎn)的坐標(biāo)間關(guān)系的方程叫做普通方程.2.參數(shù)方程和普通方程的互化(1)曲線的參數(shù)方程和普通方程是曲線方程的不同形式,一般地可以通過(guò)消去參數(shù)而從參數(shù)方程得到普通方程.(2)如果知道變數(shù)中的一個(gè)與參數(shù)的關(guān)系,例如,把它代入普通方程,求出另一個(gè)變數(shù)與參數(shù)的關(guān)系,那么就是曲線的參數(shù)方程,在參數(shù)方程與普通方程的互化中,必須使的取值范圍保持一致.注：普通方程化為參數(shù)方程，參數(shù)方程的形式不一定唯一。應(yīng)用參數(shù)

5、方程解軌跡問(wèn)題，關(guān)鍵在于適當(dāng)?shù)卦O(shè)參數(shù)，如果選用的參數(shù)不同，那么所求得的曲線的參數(shù)方程的形式也不同。3圓的參數(shù)如圖所示，設(shè)圓的半徑為，點(diǎn)M從初始位置出發(fā)，按逆時(shí)針?lè)较蛟趫A上作勻速圓周運(yùn)動(dòng)，設(shè)M，則。這就是圓心在原點(diǎn)，半徑為的圓的參數(shù)方程，其中的幾何意義是轉(zhuǎn)過(guò)的角度。圓心為，半徑為的圓的普通方程是，它的參數(shù)方程為：。4橢圓的參數(shù)方程以坐標(biāo)原點(diǎn)為中心，焦點(diǎn)在軸上的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為其參數(shù)方程為，其中參數(shù)稱(chēng)為離心角；焦點(diǎn)在軸上的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是其參數(shù)方程為其中參數(shù)仍為離心角，通常規(guī)定參數(shù)的范圍為。注：橢圓的參數(shù)方程中，參數(shù)的幾何意義為橢圓上任一點(diǎn)的離心角，要把它和這一點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)角區(qū)分開(kāi)來(lái)，除了在四個(gè)頂點(diǎn)處

6、，離心角和旋轉(zhuǎn)角數(shù)值可相等外（即在0到的范圍內(nèi)），在其他任何一點(diǎn)，兩個(gè)角的數(shù)值都不相等。但當(dāng)時(shí)，相應(yīng)地也有，在其他象限內(nèi)類(lèi)似。5雙曲線的參數(shù)方程以坐標(biāo)原點(diǎn)為中心，焦點(diǎn)在軸上的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)議程為其參數(shù)方程為，其中。焦點(diǎn)在軸上的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是其參數(shù)方程為，其中以上參數(shù)都是雙曲線上任意一點(diǎn)的離心角。6拋物線的參數(shù)方程以坐標(biāo)原點(diǎn)為頂點(diǎn)，開(kāi)口向右的拋物線的參數(shù)方程為7直線的參數(shù)方程經(jīng)過(guò)點(diǎn)，傾斜角為的直線的普通方程是而過(guò)，傾斜角為的直線的參數(shù)方程為。注：直線參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義：過(guò)定點(diǎn)，傾斜角為的直線的參數(shù)方程為，其中表示直線上以定點(diǎn)為起點(diǎn)，任一點(diǎn)為終點(diǎn)的有向線段的數(shù)量，當(dāng)點(diǎn)在上方時(shí)，0；當(dāng)點(diǎn)在下

7、方時(shí)，0；當(dāng)點(diǎn)與重合時(shí)，=0。我們也可以把參數(shù)理解為以為原點(diǎn)，直線向上的方向?yàn)檎较虻臄?shù)軸上的點(diǎn)的坐標(biāo)，其單位長(zhǎng)度與原直角坐標(biāo)系中的單位長(zhǎng)度相同?！疽c(diǎn)名師透析】一、坐標(biāo)系（一）平面直角坐標(biāo)系中的伸縮變換例在同一平面直角坐標(biāo)系中，已知伸縮變換（1）求點(diǎn)經(jīng)過(guò)變換所得的點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）點(diǎn)B經(jīng)過(guò)變換得到點(diǎn)，求點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）求直線經(jīng)過(guò)變換后所得到直線的方程；（4）求雙曲線經(jīng)過(guò)變換后所得到曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)。（二）極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化例2在極坐標(biāo)系中，如果為等邊三角形ABC的兩個(gè)頂點(diǎn)，求頂點(diǎn)C的極坐標(biāo)。（三）求曲線的極坐標(biāo)方程例已知P，Q分別在AOB的兩邊OA，OB上，AOB=，POQ的面積為8，求PQ

8、中點(diǎn)M的極坐標(biāo)方程。（四）極坐標(biāo)的應(yīng)用例如圖，點(diǎn)A在直線x=4上移動(dòng)，OPA為等腰直角三角形，OPA的頂角為OPA（O，P，A依次按順時(shí)針?lè)较蚺帕校?，求點(diǎn)P的軌跡方程，并判斷軌跡形狀。二、參數(shù)方程（一）把參數(shù)方程化為普通方程例已知曲線C： （t為參數(shù)）， C：（為參數(shù)）。（1）化C，C的方程為普通方程，并說(shuō)明它們分別表示什么曲線；（2）若C上的點(diǎn)P對(duì)應(yīng)的參數(shù)為，Q為C上的動(dòng)點(diǎn)，求中點(diǎn)到直線 （t為參數(shù)）距離的最小值。（二）橢圓參數(shù)方程的應(yīng)用在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)是橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求的最大值解答： （三）直線參數(shù)方程的應(yīng)用例過(guò)點(diǎn)作傾斜角為的直線與曲線交于點(diǎn)，求的值及相應(yīng)的的

9、值。解析：（四）圓的參數(shù)方程的應(yīng)用例已知曲線C的參數(shù)方程是為參數(shù))，且曲線C與直線=0相交于兩點(diǎn)A、B（1）求曲線C的普通方程；（2）求弦AB的垂直平分線的方程（3）求弦AB的長(zhǎng)【感悟高考真題】1在極坐標(biāo)系中，點(diǎn)（2，）到圓 的圓心的距離為( )（A）2 (B) (C) （D) 2在極坐標(biāo)系中，圓的圓心的極坐標(biāo)是（ ）（A） （B） （C） （D）3在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線的參數(shù)方程為,在極坐標(biāo)系（與直角坐標(biāo)系xOy有相同的長(zhǎng)度單位，且以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，以x軸正半軸為極軸）中，曲線的方程為的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為_(kāi)4直角坐標(biāo)系xOy中，曲線的參數(shù)方程為在極坐標(biāo)系（與直角坐標(biāo)系xOy取相同的長(zhǎng)度單位，且以原

10、點(diǎn)O為極點(diǎn)，以x軸正半軸為極軸）中，曲線的方程為的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為_(kāi)5.（1）（坐標(biāo)系與參數(shù)方程選做題）若曲線的極坐標(biāo)方程為=，以極點(diǎn)為原點(diǎn)，極軸為x軸正半軸建立直角坐標(biāo)系，則該曲線的直角坐標(biāo)方程為 .6（2011·陜西高考理科·T15C）直角坐標(biāo)系中，以原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，設(shè)點(diǎn)A，B分別在曲線：（為參數(shù)）和曲線：上，則的最小值為 7（坐標(biāo)系與參數(shù)方程選做題）直角坐標(biāo)系中，以原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，設(shè)點(diǎn)A，B分別在曲線：（為參數(shù)）和曲線：上，則的最小值為 8.（2011.天津高考理科.T11）.已知拋物線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）若斜率為1的直

11、線經(jīng)過(guò)拋物線的焦點(diǎn)，且與圓相切，則=_.9.（坐標(biāo)系與參數(shù)方程選做題）已知兩曲線參數(shù)方程分別為和，它們的交點(diǎn)坐標(biāo)為 .10（2）在直角坐標(biāo)系xOy中，直線的方程為x-y+4=0，曲線C的參數(shù)方程為.（I）已知在極坐標(biāo)系（與直角坐標(biāo)系xOy取相同的長(zhǎng)度單位，且以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，以x軸正半軸為極軸）中，點(diǎn)P的極坐標(biāo)為，判斷點(diǎn)P與直線l位置關(guān)系；（II）設(shè)點(diǎn)Q是曲線C上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求它到直線l的距離的最小值.11.選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程（本小題滿(mǎn)分10分）在平面直角坐標(biāo)系中，求過(guò)橢圓（為參數(shù)）的右焦點(diǎn)，且與直線（為參數(shù)）平行的直線的普通方程。12.（2011·新課標(biāo)全國(guó)高考理科

12、3;23）在直角坐標(biāo)系xOy 中，曲線C1的參數(shù)方程為（為參數(shù)）M是C1上的動(dòng)點(diǎn)，P點(diǎn)滿(mǎn)足,P點(diǎn)的軌跡為曲線C2()求C2的方程()在以O(shè)為極點(diǎn)，x 軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，射線與C1的異于極點(diǎn)的交點(diǎn)為A，與C2的異于極點(diǎn)的交點(diǎn)為B，求.13.（2011·新課標(biāo)全國(guó)高考文科·23）在直角坐標(biāo)系xOy 中，曲線C1的參數(shù)方程為（為參數(shù)）M是C1上的動(dòng)點(diǎn)，P點(diǎn)滿(mǎn)足,P點(diǎn)的軌跡為曲線C2()求C2的方程()在以O(shè)為極點(diǎn)，x 軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，射線與C1的異于極點(diǎn)的交點(diǎn)為A，與C2的異于極點(diǎn)的交點(diǎn)為B，求.14.（2011&

13、#183;遼寧高考理科·23）（本小題滿(mǎn)分10分）（選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1的參數(shù)方程為，曲線C2的參數(shù)方程為.在以O(shè)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，射線l：=a與C1，C2各有一個(gè)交點(diǎn)當(dāng)a=0時(shí)，這兩個(gè)交點(diǎn)間的距離為2，當(dāng)a=時(shí)，這兩個(gè)交點(diǎn)重合（I）分別說(shuō)明C1，C2是什么曲線，并求出a與b的值；（II）設(shè)當(dāng)=時(shí)，l與C1，C2的交點(diǎn)分別為A1，B1，當(dāng)a=-時(shí)，l與C1，C2的交點(diǎn)為A2，B2，求四邊形A1A2B2B1的面積15. 極坐標(biāo)和參數(shù)方程（t為參數(shù)）所表示的圖形分別是（D）A. 直線、直線 B. 直線、圓 C. 圓、圓 D

14、. 圓、直線16極坐標(biāo)方程（p-1）（）=（p0）表示的圖形是（A）兩個(gè)圓 （B）兩條直線 （C）一個(gè)圓和一條射線 （D）一條直線和一條射線17在極坐標(biāo)系（，）（0  <2）中，曲線= 與 的交點(diǎn)的極坐標(biāo)為_(kāi)18 已知P為半圓C:（為參數(shù)，）上的點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1,0），O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)M在射線OP上，線段OM與C的弧的長(zhǎng)度均為。（I）以O(shè)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，求點(diǎn)M的極坐標(biāo)；（II）求直線AM的參數(shù)方程?！究键c(diǎn)模擬演練】一、選擇題1已知極坐標(biāo)平面內(nèi)的點(diǎn)P，則P關(guān)于極點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)分別為 ()A.，(1，) B.，(

15、1，) C.，(1，) D.，(1，)2在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)P的直角坐標(biāo)為(1，)若以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，則點(diǎn)P的極坐標(biāo)可以是()A. B. C. D.3在直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)C(3，)，若以O(shè)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸，則點(diǎn)C的極坐標(biāo)(，)(>0，<<0)可寫(xiě)為_(kāi)4過(guò)點(diǎn)平行于極軸的直線的極坐標(biāo)方程是()Acos4 Bsin4 Csin Dcos 答案：C5曲線的參數(shù)方程是(t是參數(shù)，t0)，它的普通方程是()A(x1)2(y1)1 By Cy1 Dy16直線cos2關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)的直線方程為()Acos2 Bsin2 Csin2 D2si

16、n7已知直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，則直線l的斜率為 ()A1 B1 C. D8直線3x4y90與圓：，(為參數(shù))的位置關(guān)系是 ()A相切 B相離 C直線過(guò)圓心 D相交但不過(guò)圓心9設(shè)直線過(guò)極坐標(biāo)系中的點(diǎn)M(2,0)，且垂直于極軸，則它的極坐標(biāo)方程為_(kāi)10在極坐標(biāo)系中，直線sin2被圓4截得的弦長(zhǎng)為_(kāi)二、填空題11在極坐標(biāo)系中，直線截圓2cos(R)所得的弦長(zhǎng)是_12直線2x3y10經(jīng)過(guò)變換可以化為6x6y10，則坐標(biāo)變換公式是_13（皖南八校2011屆高三第二次聯(lián)考）已知平面直角坐標(biāo)系xOy內(nèi)，直線l的參數(shù)方程式為（t為參數(shù)），以O(shè)x為極軸建立極坐標(biāo)系（取相同的長(zhǎng)度單位），圓C的極坐標(biāo)方程為，則直線l的圓C的位置關(guān)系是 。14.已知曲線的參數(shù)方程為,分別以t和為參數(shù)得到兩條不同的曲線,這兩條曲線公共點(diǎn)個(gè)數(shù)為 .15.已知2x2+