正多邊形和圓的計(jì)算

1、圓和正多邊形的有關(guān)計(jì)算(30分鐘50分)一、選擇題(每小題4分,共16分)1.(2015·涼山州期末)O的內(nèi)接正三角形和外切正方形的邊長(zhǎng)之比是()A.2B.11C.1D.【解析】選A.如圖所示,連接CO,過點(diǎn)O作OECD于點(diǎn)E,四邊形AMNB是O的外切正方形,O切AB于點(diǎn)C,CFD是O的內(nèi)接正三角形,設(shè)圓的外切正方形的邊長(zhǎng)為a,則CO=,OCE=30°,CE=·cos30°=,O的內(nèi)接正三角形的邊長(zhǎng)為2EC=,a=2.2.(2015·廣州越秀區(qū)期末)如圖,AB與O相切于點(diǎn)B,OA=2,OAB=30°,弦BCOA,則劣弧的弧長(zhǎng)是()A.

2、B.C.D.【解析】選B.連接OB,OC,AB為O的切線,ABO=90°,在RtABO中,OA=2,OAB=30°,OB=1,AOB=60°,BCOA,OBC=AOB=60°,又OB=OC,BOC為等邊三角形,BOC=60°,則劣弧的長(zhǎng)為=.3.如圖,O為正五邊形ABCDE的外接圓,O的半徑為2,則的長(zhǎng)為()A.B.C.D.【解析】選D.如圖所示,O為正五邊形ABCDE的外接圓,O的半徑為2,AOB=72°,的長(zhǎng)為:=.【知識(shí)拓展】正n邊形的有關(guān)計(jì)算(1)邊長(zhǎng):an=2Rn·sin.(2)周長(zhǎng):Pn=n·an.(3

3、)邊心距:rn=Rn·cos.(4)面積:Sn=an·rn·n.(5)每一個(gè)內(nèi)角的度數(shù)為.(6)每一個(gè)外角的度數(shù)為.(7)中心角的度數(shù)為.4.如圖,正方形ABCD中,分別以B,D為圓心,以正方形的邊長(zhǎng)a為半徑畫弧,形成樹葉形(陰影部分)圖案,則樹葉形圖案的周長(zhǎng)為()A.aB.2aC.aD.3a【解析】選A.四邊形ABCD是正方形,B=D=90°.則扇形ABC的弧長(zhǎng)為l=a,同理可求扇形ADC的弧長(zhǎng)為a,樹葉形圖案的周長(zhǎng)為a×2=a.【一題多解】選A.由題意知樹葉形圖案的周長(zhǎng)為以a為半徑的圓周長(zhǎng)的一半,樹葉形圖案的周長(zhǎng)為×2a=a.【互

4、動(dòng)探究】若求陰影部分的面積呢?提示:S陰影=2×=a2.二、填空題(每小題4分,共12分)5.如圖所示,正六邊形ABCDEF內(nèi)接于O,若O的半徑為4,則陰影部分的面積等于_.【解析】正六邊形的六條半徑把正六邊形分成六個(gè)全等的等邊三角形,陰影部分的面積轉(zhuǎn)化為扇形OBD的面積,即為圓面積的.陰影部分的面積為=.答案:如圖,在扇形OAB中,AOB=90°,半徑OA=6,將扇形OAB沿過點(diǎn)B的直線折疊,點(diǎn)O恰好落在上點(diǎn)D處,折痕交OA于點(diǎn)C,求整個(gè)陰影部分的周長(zhǎng)和面積.【解析】連接OD,將扇形OAB沿過點(diǎn)B的直線折疊,點(diǎn)O恰好落在上點(diǎn)D處,OB=BD,OC=CD.又OD=OB,OB

5、D是等邊三角形,C陰影部分=+AC+CD+BD=3+12.OBD是等邊三角形,DBC=OBC=30°.在RtOCB中,tanOBC=,OC=tan30°×6=2.S陰影=S扇形OAB-2SOCB=-2×=9-12.6.如圖,在ABC中,AB=4cm,BC=2cm,ABC=30°,把ABC以點(diǎn)B為中心按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn),使點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到AB邊的延長(zhǎng)線上的點(diǎn)C處,那么AC邊掃過的圖形(圖中陰影部分)的面積是_cm2.【解析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和全等三角形的性質(zhì)可知,AC邊掃過的圖形(圖中陰影部分)的面積=扇形BAA與扇形BCC的面積差,為×(42-

6、22)=5(cm2).答案:57.(2015·密云期末)如圖,邊長(zhǎng)為1的正方形ABCD放置在平面直角坐標(biāo)系中,頂點(diǎn)A與坐標(biāo)原點(diǎn)O重合,點(diǎn)B在x軸上.將正方形ABCD沿x軸正方向作無滑動(dòng)滾動(dòng),當(dāng)點(diǎn)D第一次落在x軸上時(shí),D點(diǎn)的坐標(biāo)是_,D點(diǎn)經(jīng)過的路徑的總長(zhǎng)度是_;當(dāng)點(diǎn)D第2014次落在x軸上時(shí),D點(diǎn)經(jīng)過的路徑的總長(zhǎng)度是_.【解析】如圖,正方形ABCD每滾動(dòng)4次為一個(gè)周期,當(dāng)點(diǎn)D第一次落在x軸上時(shí),正方形ABCD滾動(dòng)2次,D點(diǎn)的坐標(biāo)是(3,0);D點(diǎn)經(jīng)過的路徑的總長(zhǎng)度是+=.每一個(gè)周期中D點(diǎn)經(jīng)過的路徑的總長(zhǎng)度是+×2=,當(dāng)點(diǎn)D第2014次落在x軸上時(shí),D點(diǎn)經(jīng)過的路徑的總長(zhǎng)度是:2

7、013×+=.答案:(3,0)三、解答題(共22分)8.(6分)(2015·官渡期末)如圖,已知O的半徑為8cm,點(diǎn)A為半徑OB延長(zhǎng)線上一點(diǎn),射線AC切O于點(diǎn)C,的長(zhǎng)為.求AOC的度數(shù)和線段AC的長(zhǎng).【解析】設(shè)AOC=n°=,解得:n=60,AOC=60°.AC切O于點(diǎn)C,ACO=90°,A=90°-AOC=30°,AO=2OC=16,AC=8.9.(7分)(2015·南昌期末)如圖,邊長(zhǎng)為4cm的等邊ABC與O等高(即高與直徑相等),O與BC相切于點(diǎn)C,O與AC相交于點(diǎn)E.求:(1)CE的長(zhǎng).(2)陰影部分的面積

8、.【解析】(1)連接OC,并過點(diǎn)O作OFCE于F,且ABC為等邊三角形,邊長(zhǎng)為4,故高為2,即OC=,又ACB=60°,O與BC相切,OCBC,故有OCF=30°,在RtOFC中,可得OF=,FC=,即CE=3.(2)連接OE,S陰影=S扇形OCE-SOCE=-×3×=-.【知識(shí)拓展】與直角三角形有關(guān)的計(jì)算公式(1)直角三角形外接圓半徑等于斜邊的一半(R=).(2)直角三角形內(nèi)切圓半徑等于兩直角邊的和與斜邊差的一半(r=).(3)直角三角形兩條直角邊的乘積等于斜邊與斜邊上的高的乘積,即ab=ch.10.(9分)(2015·龍巖期末)如圖,ABC

9、中,AB=AC,以AB為直徑的O,交BC于點(diǎn)D,交AC于點(diǎn)F,過點(diǎn)D作DEAC,垂足為E.(1)求證:=.(2)求證:DE為O的切線.(3)若CE=2,BAC=60°,求由DC,CF與所圍成圖形的面積S.【解析】(1)連接AD.AB為O的直徑,ADB=90°,即ADBC.AB=AC,CAD=BAD,=,(2)連接OD.AB為O的直徑,AO=BO.ADBC,AB=AC,CD=DB.OD是ABC的中位線,ODAC,DEAC,ODDE.OD是半徑,DE為O的切線.(3)連接OF.AB=AC,OF=OA,BAC=60°,ABC,AFO都是等邊三角形.AFO=C=60

10、76;.OFCD.ODAC,四邊形DCFO是平行四邊形.OD=OF,四邊形DCFO是菱形.C=FOD=60°,OD=DC=CF.DEAC,DC=2CE=4=OD=CF,DE=2.S=S四邊形DCFO-S扇形FOD=4×2-=8-.【備選習(xí)題】1.(2014·內(nèi)蒙古中考)如圖,菱形ABCD的對(duì)角線BD,AC分別為2,2,以點(diǎn)B為圓心的弧與AD,DC相切,則陰影部分面積為()A.2-B.4-C.2-D.4-【解析】選A.如圖,連接AC,BD,相交于點(diǎn)O,設(shè)以B為圓心的弧與AD相切于E點(diǎn),連接BE,則BEAD,菱形ABCD的對(duì)角線BD,AC分別為2,2,S菱形ABCD=

11、·AC·BD=×2×2=2,在RtAOD中,tanDAO=,DAO=30°,ABC=120°,DAB=2DAO=60°,ABD是等邊三角形,BE=OA=,S扇形=··()2=,陰影部分的面積是S菱形ABCD-S扇形=2-.2.(2014·河北中考)如圖,將長(zhǎng)為8cm的鐵絲AB首尾相接圍成半徑為2cm的扇形,則S扇形=_cm2.【解析】由題意可知扇形的弧長(zhǎng)為:l=4cm,所以S扇形=lr=×4×2=4cm2.答案:43.(2014·荊門中考)如圖,在ABCD中,以點(diǎn)A

12、為圓心,AB的長(zhǎng)為半徑的圓恰好與CD相切于點(diǎn)C,交AD于點(diǎn)E,延長(zhǎng)BA與A相交于點(diǎn)F.若的長(zhǎng)為,則圖中陰影部分的面積為_.【解析】連接AC,設(shè)A的半徑為R,CD切A于點(diǎn)C,ACCD,即ACD=90°,在ABCD中,ABCD,BAC=ACD=90°,AB=AC,BAC是等腰直角三角形,B=45°,ADBC,FAD=B=45°,又的長(zhǎng)為,=,解得R=2,D=B=45°,ACD也是等腰直角三角形,即AC=CD=R=2,CAD=45°,S陰影=SACD-S扇形ACE=×2×2-=2-.答案:2-4.(2014·撫

13、順中考)如圖,在矩形ABCD中,E是CD邊上的點(diǎn),且BE=BA,以點(diǎn)A為圓心、AD長(zhǎng)為半徑作A交AB于點(diǎn)M,過點(diǎn)B作A的切線BF,切點(diǎn)為F.(1)請(qǐng)判斷直線BE與A的位置關(guān)系,并說明理由.(2)如果AB=10,BC=5,求圖中陰影部分的面積.【解析】(1)過點(diǎn)A作AGBE,垂足為G,連接AE.四邊形ABCD是矩形,ABCD,BAE=AED.又BE=BA,BAE=AEB,即BAE=AEG.AEG=AED.又AGE=ADE=90°,AE=AE,AEGAED(AAS).AG=AD.直線BE與A相切.(2)連接AF,BF與BG都是A的切線,由切線長(zhǎng)定理得,ABFABG,BAF=BAG,于是S陰影=SABF-S扇形AMF=SABG-S扇形AMG.由(1)知,AG=AD,AG=AD=BC=5.在RtABG中,AG=5,AB=10,ABG=30°,BAG=60°.BG=AB·cosABG=10×=5.S陰影=SABG-S扇形AMG=×5×5-=-.5.(2014·昆明中考)如圖,在ABC中,ABC=90°,D是邊AC上的一點(diǎn),連接BD,使A=21,E是BC上的一點(diǎn),以BE為直徑的圓O經(jīng)過點(diǎn)D.(1)求證:AC是O的切線.(2)若A=60°,O的半