概率考研真題及解答

1、第4章 統(tǒng)計(jì)估值1 （1994年、數(shù)學(xué)三、選擇）設(shè)是來自總體的簡單隨機(jī)樣本，是樣本均值，記，則服從自由度的分布的隨機(jī)變量是（）。. . 答案：選當(dāng)時，服從自由度的分布的隨機(jī)變量應(yīng)為 、由， 而不是、由 。2 （1997年、數(shù)學(xué)三、填空）設(shè)隨機(jī)變量相互獨(dú)立，均服從分布且與分別是來自總體的簡單隨機(jī)樣本，則統(tǒng)計(jì)量服從參數(shù)為（）的（）分布。 答案：參數(shù)為（）的（）分布由相互獨(dú)立，均服從分布，又與分別來自總體，可知與之間均相互獨(dú)立，均服從分布因而，且與相互獨(dú)立，因而服從參數(shù)為的分布。3 （1998年、數(shù)學(xué)三、填空）設(shè)是取自正態(tài)總體的簡單隨機(jī)樣本且，則（），（）時，統(tǒng)計(jì)量服從分布，其自由度為（）。答案：（

2、），（）時，統(tǒng)計(jì)量服從分布，其自由度為（）由統(tǒng)計(jì)量設(shè)即由可知，且 若統(tǒng)計(jì)量服從分布，則由，可知自由度為且服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，即，。4 （1999年、數(shù)學(xué)三、證明）設(shè)是取自正態(tài)總體的簡單隨機(jī)樣本，證明統(tǒng)計(jì)量服從自由度為的分布。證明：記（未知），易見，由于和相互獨(dú)立，可見，從而 由正態(tài)總體樣本方差的性質(zhì)，知 由于與獨(dú)立、與以及與獨(dú)立，可見與獨(dú)立。于是，由服從分布的隨機(jī)變量的結(jié)構(gòu)，知 。5 （2001年、數(shù)學(xué)三、填空）設(shè)總體X服從正態(tài)分布,而是來自總體的簡單隨機(jī)樣本，則隨機(jī)變量 服從（ ）分布，參數(shù)為（ ）。 答案 填：F; (10,5)且顯然此二者相互獨(dú)立，則： 6 （2001年、數(shù)學(xué)四、計(jì)算）設(shè)總

3、體X服從正態(tài)分布，從中抽取簡單隨機(jī)樣本，（），其樣本均值為，求統(tǒng)計(jì)量的數(shù)學(xué)期望E(Y)。解： 7 （1998年、數(shù)學(xué)一、計(jì)算）設(shè)容量為n的簡單隨機(jī)樣本取自總體N ( 3.4, 36 ),且樣本均值在區(qū)間(1.4,5.4)內(nèi)的概率不小于0.95,問樣本容量n至少應(yīng)取多大？解：設(shè)是取自總體的簡單隨機(jī)樣本，則： 又由于： 則：，查表得即知樣本容量n至少應(yīng)取35.8 （1993年、數(shù)學(xué)三、填空）設(shè)總體的方差為，據(jù)來自的容量為的簡單隨機(jī)樣本，測得均值為，則的期望的置信度近似等于的置信區(qū)間為（）。 答案：填據(jù)題意可知，且，由，即，查表得，可知 因而總體的期望的置信度近似等于的置信區(qū)間為。9 （1996年、

4、數(shù)學(xué)三、填空）由來自正態(tài)總體，容量為的簡單隨機(jī)樣本，若得到樣本均值，則未知參數(shù)的置信度為的置信區(qū)間為（）。 答案：填據(jù)題意可知，又由，得，即。10 （2000年、數(shù)學(xué)三、計(jì)算）假設(shè)是總體的簡單隨機(jī)樣本值，已知服從正態(tài)分布。（1）求的數(shù)學(xué)期望（記為）；（2）求的置信度為的置信區(qū)間；（3）利用上述結(jié)果求的置信度為的置信區(qū)間。解：（1）的概率密度為： ，于是，（令） （2）當(dāng)置信度時，。標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的水平為的分位數(shù)為。故由，可得 其中 于是，有 從而就是的置信度為的置信區(qū)間。（3）由函數(shù)的嚴(yán)格遞增性，可見 因此的置信度為的置信區(qū)間為。11 （1997年、數(shù)學(xué)一、計(jì)算）設(shè)總體X的概率密度為 其中未知參

5、數(shù)，是取自總體的簡單隨機(jī)樣本，用矩法估計(jì)和極大似然估計(jì)法求的估計(jì)量。解： 令，解得：，此即的矩估計(jì)量。設(shè)似然函數(shù)對此式取對數(shù)，即：且令可得，此即的極大似然估計(jì)量。12 （1999年、數(shù)學(xué)一、計(jì)算）設(shè)總體X的概率密度為： 設(shè)是取自總體的簡單隨機(jī)樣本。（1）求的估計(jì)量；（2）的方差D()。解：（1），令得的矩估計(jì)量。 （2）經(jīng)計(jì)算可得： 13 （2000年、數(shù)學(xué)一、計(jì)算)設(shè)某種元件的使用壽命X的概率密度為 其中為未知參數(shù)。由設(shè)是X的一組樣本觀測值，求參數(shù)的最大似然估計(jì)值。解：似然函數(shù)為： 取對數(shù)得： 由于，則單調(diào)增加，因必須滿足因此當(dāng)取中的最小值時，取最大值，所以的最大似然估計(jì)值為：=min14 （1991年、數(shù)學(xué)三、計(jì)算）設(shè)總體的概率密度為 據(jù)來自總體的簡單隨機(jī)樣本，求未知參數(shù)的最大似然估計(jì)量。解：由得總體的樣本的似然函數(shù) 再取對數(shù)得： 再求對的導(dǎo)數(shù)：令，得所以