正弦定理和余弦定理典型例題

1、正弦定理和余弦定理典型例題透析類型一：正弦定理的應(yīng)用：例1已知在中，解三角形.思路點(diǎn)撥:先將已知條件表示在示意圖形上（如圖），可以確定先用正弦定理求出邊，然后用三角形內(nèi)角和求出角，最后用正弦定理求出邊.解析：， ， ，又，總結(jié)升華：1. 正弦定理可以用于解決已知兩角和一邊求另兩邊和一角的問(wèn)題；2. 數(shù)形結(jié)合將已知條件表示在示意圖形上，可以清楚地看出已知與求之間的關(guān)系，從而恰當(dāng)?shù)剡x擇解答方式.舉一反三：【變式1】在中，已知，解三角形?！敬鸢浮扛鶕?jù)三角形內(nèi)角和定理，；根據(jù)正弦定理，；根據(jù)正弦定理，【變式2】在中，已知，求、.【答案】，根據(jù)正弦定理，.【變式3】在中，已知，求【答案】根據(jù)正弦定理，得

2、.例2在，求：和，思路點(diǎn)撥: 先將已知條件表示在示意圖形上（如圖），可以確定先用正弦定理求出角，然后用三角形內(nèi)角和求出角，最后用正弦定理求出邊.解析：由正弦定理得：，（方法一）， 或，當(dāng)時(shí)，（舍去）；當(dāng)時(shí)，（方法二）， ， 即為銳角， ，總結(jié)升華：1. 正弦定理也可用于解決已知兩邊及一邊的對(duì)角，求其他邊和角的問(wèn)題。2. 在利用正弦定理求角時(shí)，因?yàn)?，所以要依?jù)題意準(zhǔn)確確定角的范圍，再求出角.3.一般依據(jù)大邊對(duì)大角或三角形內(nèi)角和進(jìn)行角的取舍.舉一反三：【變式1】在中，求和【答案】， ， 或當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；所以，或【變式2】在中, , 求和；【答案】 ， ， 或當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，（舍去）?！咀兪?】在中

3、，, , 求.【答案】由正弦定理，得., ，即 類型二：余弦定理的應(yīng)用：例3已知中，、，求中的最大角。思路點(diǎn)撥: 首先依據(jù)大邊對(duì)大角確定要求的角，然后用余弦定理求解.解析：三邊中最大，其所對(duì)角最大，根據(jù)余弦定理：， ， 故中的最大角是.總結(jié)升華： 1.中，若知道三邊的長(zhǎng)度或三邊的關(guān)系式，求角的大小，一般用余弦定理；2.用余弦定理時(shí)，要注意公式中的邊角位置關(guān)系.舉一反三：【變式1】已知中, , , 求角.【答案】根據(jù)余弦定理：， 【變式2】在中，角所對(duì)的三邊長(zhǎng)分別為，若，求的各角的大小【答案】設(shè)，根據(jù)余弦定理得：，；同理可得；【變式3】在中，若，求角.【答案】， ， 類型三：正、余弦定理的綜合應(yīng)用例4在中，已知，求及.思路點(diǎn)撥: 畫出示意圖，由其中的邊角位置關(guān)系可以先用余弦定理求邊，然后繼續(xù)用余弦定理或正弦定理求角.解析：由余弦定理得：=求可以利用余弦定理，也可以利用正弦定理：（法一：余弦定理） ，（法二：正弦定理） 又，即總結(jié)升華：畫出示意圖，數(shù)形結(jié)合，正確選用正弦、余弦定理，可以使解答更快、更好.舉一反三：【變式1】在中，已知, , .求和.【答案】由余弦定理得：， 由正弦定理得：，因?yàn)闉殁g角，則為銳